湖南省湘西自治州四校2024届高二数学第二学期期末联考模拟试题含解析

湖南省湘西自治州四校2024届高二数学第二学期期末联考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若,则A．－70 B．28 C．－26 D．402．已知命题p：∃x∈R，x2-x+1≥1．命题q：若a2＜b2，则a＜b，下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．3．如果（，表示虚数单位），那么()A．1 B． C．2 D．04．某巨型摩天轮．其旋转半径50米，最高点距地面110米，运行一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮，则第35分钟时他距地面大约为（）米．A．75 B．85 C．100 D．1105．已知命题：，，若是真命题，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中,方程表示在x轴、y轴上的截距分别为的直线,类比到空间直角坐标系中,在轴、轴、轴上的截距分别为的平面方程为()A． B．C． D．7．已知定义在上的函数满足，且函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．8．若复数，则复数在复平面内的对应点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．已知，R，且，则（）A． B． C． D．10．为了落实中央提出的精准扶贫政策，永济市人力资源和社会保障局派人到开张镇石桥村包扶户贫困户，要求每户都有且只有人包扶，每人至少包扶户，则不同的包扶方案种数为（）A． B． C． D．11．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种12．下列有关命题的说法正确的是A．“”是“”的充分不必要条件B．“x=2时，x2－3x+2=0”的否命题为真命题C．直线：，：，的充要条件是D．命题“若，则”的逆否命题为真命题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，若展开式的常数项的值不大于15，则a取值范围为________.14．若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________.15．将极坐标方程化为直角坐标方程得________．16．若函数为奇函数，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和．假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．18．（12分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴正半轴重合,直线的参数方程为：（为参数，），曲线的极坐标方程为:.（1）写出曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点,直线过定点,若，求直线的斜率.19．（12分）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少？（2）现需要倒出不少于的溶液，当时，能实现要求吗？请说明理由．20．（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）若，求函数的单调区间；（3）设函数，且在区间内存在单调递减区间，求实数的取值范围．21．（12分）已知复数.（1）若是纯虚数，求；（2）若，求.22．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1方程为ρ=2sinθ.C2的参数方程为（1）写出曲线C1的直角坐标方程和C（2）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到曲线C

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

令t＝x﹣3，把等式化为关于t的展开式，再求展开式中t3的系数．【题目详解】令t＝x﹣3，则（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，可化为（t+1）5﹣3（t+3）4＝a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，则a3＝＝10﹣36＝﹣1．故选C．【题目点拨】本题主要考查了二项式定理的应用，指定项的系数，属于基础题．2、B【解题分析】

先判定命题的真假，再结合复合命题的判定方法进行判定.【题目详解】命题p：∃x=1∈R，使x2-x+1≥1成立．故命题p为真命题；当a=1，b=-2时，a2＜b2成立，但a＜b不成立，故命题q为假命题，故命题p∧q，￢p∧q，￢p∧￢q均为假命题；命题p∧￢q为真命题，故选：B．【题目点拨】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，特称命题，不等式与不等关系，难度中档．3、B【解题分析】分析：复数方程左边分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，利用复数相等求出即可详解：解得故选点睛：本题主要考查了复数相等的充要条件，运用复数的乘除法运算法则求出复数的表达式，令其实部与虚部分别相等即可求出答案．4、B【解题分析】分析：设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B，由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（35）的值即可．详解：设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A=50，B=110﹣50=60，T==21，∴ω=，即f（t）=50sin（t+φ）+60，又因为f（0）=110﹣100=10，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=50sin（t+）+60，∴f（35）=50sin（×35+）+60=1．故选B．点睛：已知函数的图象求解析式(1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求．5、A【解题分析】分析：先写出命题的否定形式，将其转化为恒成立问题，求出的值.详解：命题：，，则为，是真命题，即恒成立，的最大值为1，所以故选A.点睛：含有一个量词的命题的否定命题命题的否定6、A【解题分析】

平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是.【题目详解】由类比推理得：若平面在轴、轴、轴上的截距分别为，则该平面的方程为：，故选A.【题目点拨】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令，看是否为.7、B【解题分析】

利用函数奇偶性和单调性可得，距离y轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.【题目详解】因为函数满足，且函数在上是减函数，所以可知距离y轴近的点，对应的函数值较小；，且，所以，故选B.【题目点拨】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.8、B【解题分析】

把复数为标准形式，写出对应点的坐标．【题目详解】，对应点，在第二象限．故选B．【题目点拨】本题考查复数的几何意义，属于基础题．9、B【解题分析】

取特殊值排除ACD选项，由指数函数的单调性证明不等式，即可得出正确答案.【题目详解】当时，，则A错误；在上单调递减，，则，则B正确；当时，，则C错误；当时，，则D错误；故选：B【题目点拨】本题主要考查了由条件判断不等式是否成立，属于中档题.10、C【解题分析】

先分组再排序，可得知这人所包扶的户数分别为、、或、、，然后利用分步计数原理可得出所求方案的数目.【题目详解】由题意可知，这人所包扶的户数分别为、、或、、，利用分步计数原理知，不同的包扶方案种数为，故选C.【题目点拨】本题考查排列组合的综合问题，考查分配问题，求解这类问题遵循先分组再排序的原则，再分组时，要注意平均分组的问题，同时注意分步计数原理的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11、D【解题分析】每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有种，应选D.12、D【解题分析】A选项不正确，由于可得，故“”是“”的必要不充分条件；B选项不正确，“时，”的逆命题为“当时，”，是假命题，故其否命题也为假；C选项不正确，若两直线平行，则，解得；D选项正确，角相等时函数值一定相等，原命题为真命题，故其逆否命题为真，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由二项式定理及展开式通项得：，又，所以，又时，展开式无常数项，即a取值范围为，得解．【题目详解】由二项式定理可得：展开式的常数项为，又展开式的常数项的值不大于15，则，又，所以，又时，展开式无常数项，即a取值范围为，故答案为：．【题目点拨】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．14、【解题分析】，，设，设，那么，恒成立，所以是单调递减函数，当时，，当时，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以在时，取得最大值，，即，解得：或，写出区间为，故填：.15、【解题分析】

在曲线极坐标方程两边同时乘以，由可将曲线的极坐标方程化为普通方程.【题目详解】在曲线极坐标方程两边同时乘以，得，化为普通方程得，即，故答案为：.【题目点拨】本题考查曲线极坐标方程与普通方程之间的转化，解题时充分利用极坐标与普通方程之间的互化公式，考查运算求解能力，属于中等题.16、【解题分析】

根据函数奇偶性的定义和性质建立方程求出a的值，再将1代入即可求解【题目详解】∵函数为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即f（﹣x），∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x﹣a），即2x2+（2a﹣1）x﹣a＝2x2﹣（2a﹣1）x﹣a，∴2a﹣1＝0，解得a．故故答案为【题目点拨】本题主要考查函数奇偶性的定义和性质的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程是解决本题的关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】

(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1.由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验．故P(A1)＝所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝，P(B2)＝由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）由，得，由此能求出曲线C的直角坐标方程；（2）把代入，整理得，由，得，能求出直线l的斜率．【题目详解】（1）曲线C的极坐标方程为，所以.即，即.（2）把直线的参数方程带入得设此方程两根为，易知,而定点M在圆C外，所以，，，，可得，∴，所以直线的斜率为-1.【题目点拨】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19、（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°（2）不能实现要求，详见解析【解题分析】

（1）当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．（2）当时，设剩余的液面为，比较与60°的大小后发现在上，计算此时倒出的液体体积，比小，从而得出结论．【题目详解】（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．解法一：此时，梯形的面积等于，因为，所以，，即，解得，．所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°．③解法二：此时，的面积等于图①中没有液体部分的面积，即，因为，所以，即，解得，．所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45°．（2）如图④，当时，设上液面为，因为，所以点F在线段上，④此时，，,剩余溶液的体积为，由题意，原来溶液的体积为，因为，所以倒出的溶液不满．所以，要倒出不少于的溶液，当时，不能实现要求．【题目点拨】本题考查三角函数的实际应用，解题关键是确定倾斜后容器内的溶液的液面位置，然后才能计算解决问题．20、（1）；（2）单调递增区间为，，单调递减区间为；（3）．【解题分析】试题分析：（1）由切点坐标及切点处的导数值为，即可列出方程组，求解，的值；（2）在的条件下，求解和，即可得到函数的单调区间；（3）在区间内存在单调递减区间，即在区间内有解，由此求解的取值范围．试题解析：（1），由题意得，即．（2）由（1）得，（），当时，，当时，，当时，．所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．（3），