西藏昌都市第四高级中学2022届高三一模数学（理）试题(含答案)

西藏昌都市第四高级中学2022届高三一模数学（理）试题

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、若集合4=卜|2/+》_15<o}，8={T,—2,0,2,4},则A8=（）

A.{-2,0,2,4}B.{-2,0,2}C.{0,2}D.{0,2,4}

2、z（l+2i）=3—4i，则|z|=（）

A.2B.瓜C.石D，3

3、2021年某省高考体育百米测试中，成绩全部介于12秒与18秒之间，抽取其中100个样本，将

测试结果按如下方式分成六组：第一组［12,13）,第二组［13,14）,…，第六组［17,18］,得到如下的

频率分布直方图.则该100考生的成绩的平均数和中位数（保留一位小数）分别是（）

4、已知a«（）,兀），且sin2a=；，则sin（a+：J的值为（）

A巡C.1D.娓

366V

5、为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进

入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（）

A.6种B.8种C.20种D.24种

6、已知实数。=log23,b=V,c=log,2,则这三个数的大小关系正确的是（）

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

22

7、双曲线E与椭圆C:三+工=1焦点相同且离心率是椭圆C离心率的G倍，则双曲线E的标准

62

方程为（）

2222

A.X2-^=1B.y2-2x2=\C.—-^-=1D.---y2=i

3223

8、记S〃为等差数列｛〃〃｝的前〃项和，已知§5=0，4=6,贝川)

2

A.%=12—〃B.=16C.Sn=2n-iOnD.5I0=50

9、已知函数/(x)=sins-Gcoss3>0)的图象向左平移三个单位长度后得到函数g(x)的图象

6

关于y轴对称，则。的最小值为()

2

A.lB.2C.-D.5

3

10、己知函数y=2&的图象上一点P,A(l,0),5(2,1),贝1」|必|+|尸3|的最小值为()

A.2B.夜C.3D.20

11、已知数列｛叫的首项=1,%>0,前”项和5“满足5；-5,,+葭「$1-255_1=0,则数

列｛“"｝的前"项和S,,为()

A."(〃+DB.2"-'C.21-1D.r-l

2

12、已知函数f(x)是定义在(—0,0)5。,。)的奇函数，当xe(0,w)时，xf'(x)<f(x),则不等式

5/(2—x)+(x—2)/(5)<0的解集为()

A.(^»,-3)u(3,+oo)B.(-3,0)u(0,3)

C.(-3,0)5。,7)D.(-3,2)52,7)

二、填空题

13、已知向量a=(T,加)，b=(l,—2)，且(。一28)_16，则机=.

14、函数/(x)=e、+e在点(1J⑴)处的切线方程为.

15、二项式(x+5)6的展开式中的常数项为.

三、解答题

22

16、已知产为双曲线匕1-4=1(4>0力>0)的右焦点，过点/向双曲线E的一条渐近线引垂

a'b-

线，垂足为A,且交另一条渐近线于点8,若IOFRFBI，则双曲线E的离心率是.

17、在ABC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且ccos8+8cosC=3acos8.

(1)求cos8的值；

(2)若。=2，的面积为28，求边长a的值.

18、已知椭圆的两焦点分别为(-1,0)和(1,0),短轴的一个端点为(0,6).

(1)求椭圆的标准方程；

（2）椭圆上是否存在一点尸使得PE?若存在求△PKK的面积，若不存在，请

说明理由.

19、致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞

赛”活动.并对某年级的1。0位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表.规定：成

绩在［80,100］内，为成绩优秀.

成绩[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数510152520205

⑴根据以上数据完成2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别

有关；

优秀非优秀合计

男10

女35

合计

（2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分"趣味活动方

案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为，（每次抽奖互不影

响，且P的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中

奖2次学分加10分.若学生甲成绩在［80,100］内，请列出其本次读书活动额外获得学分

数X的分布列并求其数学期望.

参考公式：长=______一从)’________

n-a+b+c+d-

(a+£»)(c+d)(a+c)(/?+d)

附表:

P(K2>k)

[}0.1500.1000.0500.0100.005

“02.0722.7063.8416.6357.879

20、如图，在四棱锥p—ABCD中，底面48CD是矩形，M是PD的中点，PD上BM，

9=3，AB=4，AC=5，PD=30-

p

⑴证明：以上平面人尤。；

(2)求点A到平面MCD的距离.

21、已知函数/(x)=ac—lnx(aeR).

(1)当a=2时，求函数/(x)的极值;

(2)若对Vxe((),•+<»)，/(x)〉0恒成立，求a的取值范围.

22、在平面直角坐标系中，直线/的参数方程为(其中t为参数).现以坐

标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为夕=6cos/

(1)写出直线/普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)过点且与直线/平行的直线4交C于48两点，求|AB|.

23、已知函数/(x)=|2x—4|+|x+2|.

⑴解关于x的不等式/(x)>10:

(2)求满足21+4的实数x的取值范围.

参考答案

1、答案：B

解析：集合A={乂2》2+%—15<0}=卜|一3Vx<.

因为8={_4,-2,0,2,4},所以AB={-2,0,2).

故选：B

2、答案：C

解析：z(l+2i)=3-4i,

3一4小一_方,

l+2i(l+2i)(l-2i)

22

..,|Z|=7(-D+(-2)=V5.

故选：C.

3、答案：C

解析：100名考生成绩的平均数

x=12.5x0.10+13.5x0.15+14.5x0.15+15.5x0.30+16.5x0.25+17.5x0.05=15.1.因为前三组频率直

方图面积和为0.10+0.15+0.15=0.4,前四组频率直方图面积和为0.10+0.15+0.15+0.30=0.7,

所以中位数位于第四组内，设中位数为小则(4-15)x0.30=0.1,解得4x15.3,故选C.

4、答案：D

解析：由sin2a=；，得2sinacosa=g，则(sina+cosa)?=l+2sinacosa=g,

又ae(0,7i),2sinacosa>0»所以sina>0,cosa>0所以sina+cosa>0，则

.2G

sina+cosa=-----,

3

▽兀1.it.兀后、近2乖)瓜

乂sincc+--sinacos—+cosasin—=---(sina+cosa)=x------=------

I4；442233

故选：D.

5、答案：B

解析：由题意知，当甲第一个出场时，不同演讲的方法有C；用=4(种)；

当甲第二个出场时，不同演讲方法有C；A；=4(种)，

所以所求的不同演讲方法有4+4=8(种)，故选B.

6、答案：A

解析：y=log2x在定义域上单调递增，

33

log23>log2也=log2V-

2

)，=1竿3%在定义域上单调递增,

.1.0=log31<log32<log33=1,

/.0<c<1,

\_

又〃=22=V2€

「1

.\a>b>c,

故选：A.

7、答案：C

解析：由题知，椭圆£+[=1的焦点坐标为(2,0)和(-2,0),离心率为4.设双曲线E的标准方

程为《•-"•=1(。＞0,6＞0),则/+属=4且2=^x6,解得〃=/=2,所以双曲线后的标

a2h2a3

02

准方程为三-匕=1,故选c

22

8、答案：D

解析：设等差数列｛%｝的公差为d,由题知户=5q+10d=0,解得卜=~4,

'[«6=a1+5d=61d=2

所以，a”=-4+2(〃—1)=2〃—6，Sn—=5〃，

2

则4o=2x10—6=14,S1O=1O-5X1O=5O.

故选：D.

9、答案：D

解析：f(x)=sin<yx-5/3cosa>x=2sincox--

g(x)=2sin[o(x+E)-=2sin(ox+妇-巴).又函数g(x)的图象关于y轴对称，则

3JI63J

竺一¥=也+巴，k£Z,.•.0=6氏+5,keZ.口＞0,.•.当々=0时，@有最小值5,故选D.

632

10、答案:c

解析：如图，函数y=26的图象即曲线V=4x的图象在X轴上和X轴上方的部分，

点A为抛物线的焦点，抛物线的准线为x=-l.过点?作准线的垂线，垂足为点。，过点8作准线

的垂线，垂足为点C,贝l」|PA|=|PQ|,|E4|+|PBHPQ|+|P3以BC|=3,即|A4|+|PB|的最小值

解析•：由S；-S“+S,3-S,i-2sAl=0得2S“=S,"2S„S„_,+器+,即

2

2Sn=(S„-5„.1)+(5„-5„_1),所以2s“=4；+“，，所以2s角+a,用，两式作差，得

2a“+i+4什1一(%+4)，即碌1_%+1=片+%，所以_；=(""+g)所以

。”+1—%=1或%+1+4〃=0，又4>0，故4+1-%=1，所以数列｛〃〃｝是以1为首项，1为公差的

等差数列，所以数列｛%｝的前〃项和s.=ap,故选A.

12、答案：D

解析：由已知得当xe(0,+oo)时，xf'(x)-/(%)<0.

令g(x)=幺△，则当xe(0,M)时，g'(x)=^'(X)~fM<0,

XX

所以g(x)在(0,4^0)上为单调递减函数.

由f(x)是定义在(9,0)50,E)的奇函数，得g(-%)=比0=丁里=以2=g(x),

-x-xX

故g(x)是定义在(-oo,0)u(0,+co)的偶函数，且g(x)的图象关于y轴对■称.

令〃(x)=g(x-2),.•.函数"(x)=g(x-2)=/区一2)在(2,他))上为减函数，

x-2

且函数以x)图象关于直线x=2对称，当xe(2,+oo)时，x-2e(0,+oo),则

5/(2-x)+(x-2)/(5)<0,即(x-2)•/(5)<-5/(2-x),即(x-2)/(5)<5f(x-2),

幽<以匕2,也刍<丝乌即〃(7)<W),得2<x<7.

5x—27—2x—2

依据函数〃(x)的图象关于直线x=2对称，得当xe(f0,2)时，不等式57(2-x)+(x-2)./(5)<0的

解集为-3<x<2,故原不等式的解集为(-3,2)u(2,7),故选D.

13、答案：-7

解析：向量a=(-4,根)，b-(1,-2)>且(a-

:1a-2b>b=a-b-2b°=(-4-2m)-2x5=0,

则m=—7,

故答案为：-7.

14、答案：y=ex+e

解析：/(x)=eA+e>/⑴=2e，r(x)=e*,Z=/")=e,

.,.切线的方程为：y-2e=e(x-l)>即丫="+6,

故答案为：y=ex+e.

15、答案：15

令6-二〃=0得厂=4，

2

所以展开式的常数项为C：=15，

故答案为：15

16、答案：—

3

解析：如图所示，过尸向另一条渐近线引垂线，垂足为。.

由题意得，双曲线的渐近线方程为卜=±2犬，

a

则F(c,O)到渐近线的距离d=严।=b,

yja2+b2

即|弘|=|k0=匕，

则|OARO£)|=a,\AB\=b+c,

一O所为等腰三角形

二。为08的中点，:\OB\=2a,

ABLOA,

08F=|。412+1AB/=储+s+c)2,

即4a2=°2+(b+c)2,整理得c?—bc-2Z?2=0,

.\c=2bf

贝ij2a=Gc,e=$=26..

a3

17、答案：(1)cosB=—;(2)a=3-

3

解析：(1)在ABC中，由正弦定理一3_=_2_=_J,设，=々，

sin4sinBsinCsinA

则。=AsinA，b=ksir\B，c=ZsinC，

代入ccos3+bcosC=3acos8，

可得Z(sinCcosB+sinBcosC)=3ksinAcosB，

所以sin(C+3)=3sinAcosB，sin(C+B)=sinA，

化简得sinA=3sinA8s3，

因为A,3W(0,TT),sinA>0»sinB>0»

所以cosB=—;

3

(2)由(1)可知'sinB>0>sinB=>/l-cos2B=,

T71

^S^ABC=-acsinB，

所以J_e2.逑=2近，解得a=3-

23

Y22

18、答案：（1）—+^V=1

43

（2）椭圆上不存在点P,使得P[J_PK，理由见解析

解析：（I）椭圆的两焦点分别为（-1,0）和（1,0）,短轴的一个端点为（0,6/

/.c=Lb=A/3,

:.a=Nb~+c2=2,

22

椭圆的标准方程为：土+二=1;

43

（2）假设椭圆上存在点尸（与,%）,使得P耳，P心，

则P/P6=(—1—无。，―%>(1—%―%)=0,

即片+y；=1,

片+尤=1

联立片常_，得：*=-8,此方程无解.

丁不一

.•.椭圆上不存在点P,使得产£1PF2.

19、答案：（1）列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关

（2）分布列见解析，期望值为2.5分

解析：（1）

优秀非优秀合计

男104050

女153550

合计2575100

假设分此次竞赛成绩与性别无关.

心嚼ye

所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关;

⑵

P(X=5)=C/3=3,

2448

P(x=io)=4y

X的分布列为：

ErEH

Q013

期望值E(X)=5X』+10X~!~=L=2.5(分)

8162

20、答案：(1)证明见解析

(2)还

2

解析：(1)证明：在矩形A8CD中，AB=4，AC=5，可得BC4)=3,

所以242+92=^02,即弘，")，

连接BD,

P

又点M是PD的中点，PDA.BM，可得PB=BD=5,

所以"2+.2=心2，即融

又ABAD=A，所以R4_L平面ABCD.

(2)因为Q4J_AB，AB±AD，PA(4。=4所以45,平面外。.

又CD//AB，所以CO_L平面PAD,

因为MDu平面以。，所以CDLMD，

设点A到平面MCD的距离为h,

又M是PD的中点，所以M到平面ACD的距离为J_PA=』

22

因为^A-MCD=^M-ACD，

—x—x4x^3LX/J=J-X—x4x3x—，解得h=3叵',

3223222

即点A到平面MCD的距离为迪.

2

21、答案：（1）极小值为i+m2,无极大值；（2）（；，+8）

解析：（1）函数/（x）的定义域为（0,+8）,

当a=2时，f（x）=2—L=^^（x>0）.由f（x）=0，得％=」.

xx2

当X变化时，/'（X）,/（X）的变化情况如下表

X

H)2IT

f(x)-0+

f(x)单调递减极小值单调递增

所以/（X）在（0,；）上单调递减，上单调递增,

所以函数/（X）的极小值为/（S=l+ln2,无极大值.

（2）对Vxe（0,+oo），/（x）>0恒成立，即对Vxe（0,+oo），a>也二恒成立.

令〃（%）=见^，则〃'（x）=^~~.由4