探索三角形相似的条件（培优篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）

专题4.16探索三角形相似的条件（培优篇）（专项练习）

一、单选题

知识点一、探索三角形相似的条件

1.如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZB=30°,点尸是AC的中点，过点尸的直线/截下的

三角形与相似，这样的直线/的条数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.在“ABC与中，有下列条件：①得=算；②券7=务；③4=/4；

LJLJG15CAC

@ZC=ZC.若从中任取两个组成一组，则AA5C〜AA夕C'的概率（）

A.-B.—C.—D.—

2345

3.如图所示，给出下列条件：匚々=乙43；「NXDC=NJC5；口一=——；

CDBC

AC2=ADAB.其中单独能够判定△即CsA/co的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

4.如图所示，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条

件：□□APB-DEPC；□□APE=DAPB；DP是BC的中点；E1BPE]BC=2E]3.其中能推出

□ABPEKECP的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.如图，四边形A8CD是正方形，E是CD边的中点，户是8c边上的一动点，下列条件中，，

□ABP不与DECP相似的是（）

A.BP=PCB.ZAPE=90

C.ZAPB=ZEPCD.BP=2PC

知识点二、三角形相似的证明

6.A48C和A4'?C'符合下列条件，其中使AABC与AAEC'不相似的是（）

A.ZA=ZA'=45°,N8=26°,N8'=109°

B.AB=1,AC=1.5,BC=2,A'B'=n,A'C'=S,B'C=}6

153

C.NA=NB；AB=1.5,AC=—,A'B'=-,B'C'=2.1

142

D.BC=a,AC=b,AB=c,B'C'=8,AC=M,A'B-五

7.在三角形纸片ABC中，AB=8,BC=4,AC=6,按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分

的三角形与DABC相似的是（)

7

8.将矩形0/8C如图放置，。为坐标原点，若点N（-1,2）,点5的纵坐标是,，则点C

的坐标是（）

393

A.（4,2）B.（3,-）C.（3,-）D.（2,-）

242

9.如图，在矩形纸片N8CZ）中，AB=6,8c=10,点E在。上，将口8。£沿8E折叠，点

C恰落在边上的点尸处；点G在Z尸上，将口/186沿8G折叠，点N恰落在线段3尸上

3

的点〃处，有下列结论：：）「EBG=45。；DAG+DF=FG,QODEFQOABG；05ABG=^SFGH.其

中正确的是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，在正方形N8CD中，E是4。的中点，尸是8上一点，且CF=3ED.则图中相

似三角形的对数是（）

A.1B.2C.3D.）4

11.如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，DBAE=OBCE,OAED=DCED,

点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F,则；口四边形ABCD是正方形；

□□CEGIJDFEC；CIC是BG的中点；口当AE=2EF时FG=3EF正确的有几个（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

12.如图，在AABC中，点。、G分别在8C、A8边上，AO与CG相交H,如果

GB=GC,AO平分N3AC,那么下列三角形中不与A4?C相似的是（）

A.DABDB.DACDC.DAGHD.CCDH

二、填空题

知识点一、探索三角形相似的条件

13.如图，要使UABCdEiACD,需补充的条件是.（只要写出一种）

14.若在EIABC内有一点D,使得_ADB=UADC,AD=a,CD=b,则当BD=时，匚ABD

与[]ACD相似.

15.如图，正方形A8C£＞的边长为2,连接80,点P是线段A£＞延长线上的一个动点，

NPBQ=45。，点。是BQ与线段C£＞延长线的交点，当平分NP8Q时，PDQD（填

或“=’,）：当8。不平分NP8Q时，PDQD=

16.在A48C中，AB=24,AC=18,D是AC上一点，AD=6,在AB上取一点E,使A、

D、E三点组成的三角形与AA8c相似，则AE的长为.

17.如图，点D、E在1ABC的边AB、AC±,请添力口一个条件：,使［ZADEEmACB.

18.过UABC（AB>AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与

□ABC相似，这样的直线共有一条.

知识点二、三角形相似的证明

19.定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角

形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形N8C。中，

对角线是它的相似对角线，」4BC=70。，BD平分LMBC,那么」4）C=度

20.等腰AABC被某一条直线分成两个等腰三角形，并且其中一个等腰三角形与原三角形相

似，则等腰AABC的顶角的度数是—.

21.如图，在口ABC中，AD和BE是高，□ABE=45°,点F是AB的中点，AD与FE、BE

分别交于点G、H,CBE=UBAD.有下歹I」结论：FD=FE；AH=2CD；066^0=72AE2；

□SABC=4SADF.其中正确的有.

22.如图，在AABC中，ZBAC=120°,在AABC的外部和内部（不在边上）分别取一点Q,

E,若AQ=AE=4,BD=8,CE=2,NC4。的补角等于NC4E,

则下列结论：

□点A在线段OE的垂直平分线上；口AACEsAfiW；

□ZACB+ZABC=ZBAD+ZCAE；ZI8C的最大值是14.

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

23.如图，ADA.BC,垂足为C,3尸，3C,点尸为线段3C上一动点，连接A尸，过。作

DELAP交BF于E,连接若AC=8C=4,CO=1,则PE长的最小值为.

24.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A,B两点，C是线

段AB上一动点（不与点A,B重合），过点C作直线CDDy轴于点D,若M为射线DC上一

动点，则在平面直角坐标系中存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是正方形，

则M点坐标为.

三、解答题

知识点一、探索三角形相似的条件

25.如图，已知正方形ABCD的边长为亚，连接AC、BD交于点0,CE平分DACD交BD

于点E,

(1)求DE的长；

(2)过点E作EFDCE,交AB于点F,求BF的长；

(3)过点E作EG1CE,交CD于点G,求DG的长.

26.如图(1),已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GEDBC,垂足为点E,GFDCD,

垂足为点F.

(1)证明与推断：

□求证：四边形CEGF是正方形；

口推断：器4G的值为:

(2)探究与证明：

将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角(0。<01<45。)，如图(2)所示，试探究线段

AG与BE之间的数量关系，并说明理由：

(3)拓展与运用:

正方形CEGF在旋转过程中，当B,E,F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长CG

交AD于点H.若AG=6,GH=2应，则BC=.

知识点二、三角形相似的证明

27.(1)问题发现

如图1,在nOAB和DOCD中，OA=OB,OC=OD,□AOB=DCOD=40°,连接AC,BD交

于点M.填空：

Ar

□票的值为_______;

BD

□□AMB的度数为.

(2)类比探究

如图2,在口OAB和C3OCD中，nAOB=nCOD=90°,□OAB=lOCD=30。，连接AC交BD

AC

的延长线于点M.请判断痣的值及匚AMB的度数，并说明理由：

BD

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将.OCD绕点0在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M,若OD=1,

OB=V7,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

28.已知在RtCZABC中，E]BAC=90。，AB>AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括

端点)，且g=g£=m,连结AE,过点D作DMDAE,垂足为点M,延长DM交AB于

点F.

(1)如图1,过点E作EHEJAB于点H,连结DH.

□求证：四边形DHEC是平行四边形；

□若m=走,求证：AE=DF；

2

(2)如图2,若m=3/求有DF的值.

5AE

参考答案

1.D

【分析】

由于AABC是直角三角形，所以必须保证直线/与三角形的任意一边能够形成直角三角形，

进而再判定其是否相似.

【详解】

解：•.•AABC是直角三角形，

只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件

I当〃/43时，可得三角形相似；

I当〃/3(7时-，可得三角形相似；

1当/LAB时，可得三角形相似，

I当Z1=N4时，可得三角形相似；

故满足题中的直线/共有4条.

故选：D.

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的

关键.

2.A

【分析】

根据相似三角形的判定定理：三组对应边的比相等的两个三角形相似、两组对应边的比相等

且夹角对应相等的两个三角形相似、有两组角对应相等的两个三角形相似，即可得能判断

□ABCZmABC的有：□□、□□、任取两个组成一组情况有皿□□、□□、□□、

U□共六种情况，根据概率公式即可求解.

【详解】

能判断□ABCEldABC的有:□□、□□、□□

□能判断DABC口口ABC的共有3组.

□任取两个组成一组情况有U口，共6种情况

31

从中任取两个组成一组，则AABC~AA£C'的概率为：-=-

62

故选：A

【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理，利川列举法求随机事件概率.

3.C

【解析】

试题分析：由图可知DABC与DACD中DA为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对

应

边成比例即可解答.

试题解析：口口8=口A©。，再加上DA为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形

相似来判定；

□□ADC=DACB,再加上DA为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判

定：

口中DA不是己知的比例线段的夹角，不正确

口可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；

故选C.

考点：相似三角形的判定.

4.B

【解析】

口四边形ABCD为正方形，

□AB=BC=CD,□B=DC=90°,

□E为CD中点，

□CD=2CE,即AB=BC=2CE,

□^□APB=OEPC0^,结合口8=九，可推出口ABP"ECP；

：:当1APE=APB#60。时，贝ij有□APBrDEPC,所以不能推出口ABPDDECP；

□当P是BC中点时，则有BC=2PC,可知PC=CE,则DPCE为等腰直角三角形，而BPrAB,

即口ABP不是等腰直角三角形，故不能推出口ABPDDECP；□当BP：BC=2：3时，则有BP：

PC=2：1,且AB：CE=2：1,结合□B=Z1C,可推出UABPIZI2ECP相似；

故选B.

5.A

【分析】

由四边形ABCD是正方形，可得口3=口©=90°,又由E是CD的中点，易得CE:AB=1:2,然

后分别利用相似三角形的判定定理，判定DABP与DECP相似.

【详解】

四边形ABCD是正方形,

□□B=nc=900,AB=CD=BC,

□E是CD的中点，

□CE:CD=1:2,

BPCE:AB=1:2,

A、FiBP=PC,

BP=PC=-BC,

2

没办法判定DABP与DECP中各边成比例，故A错误；

B、□nAPE=90°,

JLAPB+CPE=90°,

□匚BAP+APB=90°,

□□BAP=ZiCPE,

□DABPDDPCE,故B正确；

C、□[APB=DEPC,

□□ABPDEPC,故C正确；

D、DBP=2PC,

□PC:BP=1:2,

PC:BP=CE:AB=1:2,

□□ABPCDPCE,故D正确.

故选：A.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定以及正方形的性质.注意灵活应用判定定理是解题的

关键.

6.D

【解析】

【分析】

依据选项提供条件，选择对应的方法进行判断即可.

【详解】

A选项，匚ABC中的三个角分别为45。、26。、109。，A'B'C'中的三个角也分别为45。、26。、

109°,故两个三角形相似；

B选项，AB:BC=B,C,:A'C,=1:2,AB:AC=A,C,:A,B,=1:1.5,AC:BC=ABBC，=1.5:2,故

两三角形相似；

C选项，AB:AC=B'C':A'B'=1.4,「A和匚B，分别为其两边的夹角，且口A=[B，，故两个三

角形相似；

D选项，三边对应比例不相等，故两个三角形不相似；

故选择D.

【点拨】不能盲目选择判定两个三角形相似的方法，一定要根据题干给出的信息选择合理的

判定方法.

7.D

【解析】

解：三角形纸片48c中，AB=8,BC=4,AC=6.

A.±=：=对应边绘则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与匚/8C不相

AB82A3842

似，故此选项错误；

B.三=:,对应边绘=&===],则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与口/BC不相似,

AB8A8848

故此选项错误；

C.2对应边绘=2=3*!，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与I/8C不相

AC63AB843

似，故此选项错误；

D•三2=92=1；，对应边n需r=49=1：=1；，则沿虚线剪下的涂色部分的二角形与UZ8C相似，

BC42ABo22

故此选项正确；

故选D.

点睛：此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的

两三角形相似是解题关键.

8.B

【分析】

首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出

3

CM==；,M0=3,进而得出答案.

【详解】

如图，过点/作NEx轴于点E,过点8作B/Px轴于点F,过点/作NNBF于点、N,

过点C作CM」》轴于点标

□□E4O+L/O£>90。，□/OE+-MOC=90。，

£E40=COM,

XDD^E0=DCMO90°,

□□^onaoA/c,

OEAE

i~———，

CMOM

\\JBAN^\OAN=90°,口E40+OAN=90°,

□口BAN=\EAO=DCOM,

在［Z8V和「OCA/中，

4BNA=4CMO

•4BAN=4coM,

AB=OC

□□J^QDOCA/(AAS),

DBN=CM.

7

□点力(-h2),点8的纵坐标是彳，

3

BN=j

2

3

CM=一,

2

1_2

J-OM，

2

MO=3f

3

I点。的坐标是：(3,—).

故选：B.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判

定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.

9.C

【解析】

试题分析：利用折叠性质得。8£：=0必£,ABG=FBG,BF=BC=10,BH=BA=6,AG=GH,

则可得到EBG=；UABC,于是可对口进行判断；在RtABF中利用勾股定理计算出AF=S,

贝ijDF=AD-AF=2,设AG=x,贝ljGH=x,G尸=8-x,HF=BF-BH=4,利用勾股定理得到^+42=

（8-x）2,解得尸3,所以/G=3,G尸=5,于是可对U进行判断；接着证明」“8尸DFE,

r)rAJ74AR6ARDF

利用相似比得到考=嗅=?，而芸=；=2,所以受/芸，所以。即与X8G不相

DFAB3AG3AGDF

似，于是可对口进行判断；分别计算SHBG和SG"F可对进行判断.

解：口8CE沿5E折叠，点C恰落在边4。上的点尸处；点G在NF上，

将48G沿8G折叠，点/恰落在线段上的点“处，

□□CBE=「FBE,ABGKFBG,BF=BC=\O,BH=BA=6,AG=GH,

:EBG=EBF+FBG=-CBF+-二ABF=-QABC=^5°,所以□正确；

222

在RtABF41.AF=yJBF2-AB2=V102-62=8-

QDF=AD-JF=10-8=2,

设AG=x,则GH=x,GF=8-x,HF=BF-BH=1G-6=4,

在RtGF”中，UG*HF'GF,

□x2+42=(8-x)2,解得x=3,

DGF=5,

DAG+DF=FG=5,所以口正确；

BCE沿BE折叠，点C恰落在边上的点尸处

BFE=C=90°,

EFD+/尸8=90°,

而匚/F8+匚/8尸=90°,

l_lABF—EFD,

QABFOrDFE,

ABAF

----=-----,

DFDE

DEAF84

-----......=—二-，

DFAB63

AB6「

而T^=；=2,

AG3

ABDE

----工-----，

AGDF

口QEF与n/BG不相似；所以口错误.

SJBG=—x6x3=9,SGHF^—X3X4=6,

22

S"0=1.55FGH.所以「正确.

故选C.

点睛：本题主要考查轴时称的性质和相似三角形的性质及判定.结合图形，灵活利用相似三

角形的判定和性质是解题的关键.

10.C

【解析】

在.RABCF中，CF=3k,BC=4k,BF=5k

在RtADEF中，DF=k,DE=2k,EF=血

在Rt&ABE中，AE=2k,AB=4k,BE=2&

在Rt^BEF中，EF=®,BE=2瓜,BF=5k

根据相似三角形的判定，RtADEF〜RtAABE~RtAEBF,故选C.

11.C

【解析】

试题分析：口、由DBAEfBCE,□AED=OCED,利用三角形外角的性质，即可得

OCBE=CABE,又由四边形ABCD是矩形，即可证得匚ABD与匚BCD是等腰直角三角形，

继而证得四边形ABCD是正方形：、根据角度之间的关系以及外角的性质可以得到

CEGFEC；、错误；、由题意易证得HABEFDE,ADEGBE,ADFGCF,

由AE=2EF,利用相似三角形的对应边成比例，即可求得FG=3EF.

考点：正方形的性质、相似三角形的判定及性质.

12.A

【解析】

【分析】

由DA=DB,GB=GC,利用等边对等角得到两对角相等，再根据AD为角平分线，得到一对

角相等，等量代换可得BAD=B=GCB=CAD,山CAD=B,加上一对公共角相等可

得ACDBCA；由UAHG为三角形ACH的外角，利用外角性质得到

AHG=ACH+DAC,由：ACD=〕ACH+匚GCB,可得出AHG=L：ACD,再由DBAD=B,

可得AHGOnACB；由对顶角相等可得「CHD=1AHG,再由□AHG=「ACD等量代换可得

□CHD与！ACD相等，再加上UB=GCB,可得出CDH」匚BAC；而三角形ABD与三角

形ABC不满足相似的条件，进而确定出正确的选项.

【详解】

□DA=DB,GB=GC,

□□BAD=CB,□B=QGCB,

又AD平分OBAC,□□BAD=OCAD,

□□BAD=UB=LIGCB=UCAD,

□□CAD=FIB,XDACD=OCBA（公共角），

□□ACDOnBCA；

□□AHG为DDHC的外角，

□□AHG=DACH+gAC,

XOACD=nACH+nGCB,KDDAC=OGCB,

□□AHG=DACD,XCBAD=nB,

□□AHGOnACB；

□□CHD=LAHG（对顶角相等），且LAHG=DACD,

□□CHD=OACD,XnB=OGCB,

□ECDHDOBAC；

ffijDB=DB,E1BAD不等于Z3ACB,则□ABD不相彳以：：ABC,

贝题中UACDLIUBCA；UAHGaDACB；UCDHODBAC.

故选A.

【点拨】此题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形外角性质，利用了转化

及等量代换的数学思想，其中相似三角形的判定方法为：两对对应角相等的两三角形相似;

两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似.

13.[JACD=1B（不唯一）

【分析】

利用相似三角形的判定方法添加条件即可.

【详解】

□□DAC=DCAB

□当DACDRB或口ADC=Z）ACB或AD：AC=AC：AB时，

□ABCOOACD.

故答案为:DACDRB或_ADC=LACB或AD：AC=AC：AB.

14.b或幺

b

【分析】

分两种情况分别求解即可.

【详解】

解：如图，□□ADB=fADC,

□当.BAD=DAC时，LAD=AD,

rrADBRDADC(ASA),BD=CD=b,

当匚BAD=DACD时，

ADBCDA,—=—,BD=—,

CDADb

故答案为6或。=包.

b

【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,

属于中考常考题型.

15.=8

【分析】

□先证明匚ABPPCBQ,再证明匚QBDPBD,即可得出PD=QD;□证明BQDCOPBD,即可

利用对应边成比例求得PDQD.

【详解】

解：当BD平分PBQ时，

□PBQ=45°,

QBD=PBD=22.5°,

四边形ABCD是正方形，

口AB=BC,OA=nC=90°,□ABD=aCBD=45°,

□□ABP=CBQ=22.5°+45°=67.5°,

在ABP和UCBQ中，

□：ABPUCBQ(ASA),

BP=BQ,

在匚QBD和IPBD中，

QBDDPBD(SAS),

□PD=QD;

当BD不平分PBQB^j,

□ABCQ,

□ZABQ=DCQB,

□□QBD+LDBP=OQBD+i：ABQ=45°,

□LDBP=ABQ=DCQB,

□BDQ=DADQ+ijADB=90o+45o=135o,CBDP=DCDP+0BDC=90o+45o=135°,

BDQ=BDP,

□ZBQDEOPBD,

BDQD

—=----,

PDBD

PDQD=BD2=22+22=8,

故答案为尸,8.

【点拨】本题考查三角形的全等和相似，关键在于熟悉基础知识,利用条件找到对应三角形.

9

16.8或一

2

【分析】

△A3C与汨相似要分成两种情况来进行讨论，一种是“DEFACB,则需

；一种是则需无论哪一种情况，将已知线段的长度代入后

比例式后都能较容易的求出AE的值.

【详解】

ZA=ZA,

分^ADE〜AACB或^ADE“ABC两种情况讨论：

如图(1),当AADE~AACB时，有A")E~AAC3,

即差=2,解得4E=8；

2418

如图(2),当AADE〜AACB时，有AADE~AACB,

即白ft=芸AE，解得AE=9\综上所述，AE的长为8或9

241822

【点拨】本题考查的是相似三角形的性质，关键是运用分类讨论，对可能出现的几种情况进

行分析.

17.1=C或「2=,B或ADAC=AEOAB(答一个即可).

【分析】

解：根据AED=B和A=_A,W^AEDABC,故添加条件AED=B；根据一2=B和

A=A,可证HAEDHABC,故添加条件［2=「B；根据两边对应成比例且夹角相等，故添

加条件ADJAC=AE1AB,然后任选其一即可解答.

【详解】

解：□AED=B,LIA=DA

AEDABC,故添加条件AED=B可证其相似；

□□2=0B,DA=DA,

AEDJOABC,故添加条件2=1B可证其相似;

根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件ADAC=AEAB可证其相似.

故答案为i1=UC或!-2=B或ADAC=AEAB（答一个即可）.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.

18.2

【详解】

试题解析：如图所示：

RC

过M作MNBC交AB于N,C1ANMABC；

过M作□AMD=B,交AB于D,匚AMDiDABC；

因此符合条件的直线共有2条.

19.145

【分析】

先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在DABD和匚DBC中，已知ABD=DCBD,所

以需另一组对应角相等，若口人=口（3,则DABD与ODBC全等不符合题意，所以必定有

A=BDC,再根据四边形的内角和为360。列式求解.

【详解】

解：根据题意画出示意图，已知ABD=CBD,

□ABD与DBC相似，但不全等，

A=BDC,ADB=C.

又A+LABC+IC+ADC=360°,

I2HADB+2BDC+nABC=360°,

□□ADB+DBDC=145°,

BP□ADC=145°.

【点拨】对于新定义问题，读懂题意是关键.

20.36。或90。或108

【分析】

因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，且其中一个等腰三角形与原三角形相

似与故应该分三种情况进行分析，从而求解.

【详解】

解：口如图1,CAB=AC,当BD=CD,CD=AD,

□□B=nC=DBAD=nCAD,

□□BAC+UB+UC=180°,

□4DB=180°,

□□BAC=90°.

此时易知BDA=_BAC=90°,ABD=ABC=45°,故ACBAAABD：

如图2,AB=AC,AD=BD,AC=CD,

□□B=nC=OBAD,EJCAD=CDA,

□□CDA=DB+CBAD=2ZB,

U匚BAC=3UB,

□EBAC+B+UC=180°,

□5DB=180°,

□□B=36°,

□□BAC=108°.

此时易知BDA=BAC=108°,ABD=ABC=36°,故ACBAAABD；

□如图3,匚AB=AC,AD=BD=BC,

□□B=DC,CBAC=LiABD,DBDC=CC,

□匚BDC=A+DABD=23BAC,

ABC=QC=2BAC,

□匚BAC+ABC+UC=180°,

□5BAC=180°,

口匚BAC=36°.

此时易知CBA=CDB=72。，EBAC=DBC=36°,故有ACBAbCDB,,

故答案为：36。或90,或108.

【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质、相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分

类讨论，并应用相似三角形的判定进行检验，不要漏解，不能多解.

21.□□□□

【解析】

试题解析：在口ABC中，AD和BE是高，

□□ADB=□AEB=口CEB=90。,

□点F是AB的中点，

FD=-AB,

2

□DABE=45°,

门HABE是等腰宜角三角形，

□AE=BE,

□点F是AB的中点，

FE="AB,

2

□FD=FE,i正确；

□口CBE=BAD,aCBE+nC=90o,[BAD+]ABC=90°,

□ABC=C,

□AB=AC,

□AD!BC,

□BC=2CD,IBAD=rCAD=nCBE,

在「AEH和BEC中，

NAEH=NCEB

{AE=BE

ZEAH=ZCBE

laAEHanBEC(ASA),

UAH=BC=2CD,正确；

□DBAD=UCBE,□ADB=L]CEB,

□□ABD〜「BCE,

ARAn

,即BOAD=AB・BE,

BCBE

y/2AE2=AB・AE=AB・BE,BC・AD=AC・BE=AB・BE,

BC*AD=V2AE2；正确；

F是AB的中点,BD=CD,

SABC=2SABD=4SADF,.正确.

故填□□□□.

22.□□

【分析】

由垂直平分线的性质，即可判断二；根据题意经=空=2,但夹角不相等，不能证明

CEAE

AACESABAD,可判断：延长DA至F,由NBAC=120。，则NAQ5+NABC=60。，

ZBAD+ZC4F=60°,即可判断口；不能确定BC的最大值，则可判断」，即可得到答案.

【详解】

解：AD=AE=4^

点A在线段。石的垂直平分线上；故正确；

AD=AE=4,BD=8,CE=2,

ADBD

—=­=2,

CEAE

但是NAD3WNCE4,

AACE与ARAD不相似；故错误；

延长DA至F,如图：

在[ABC中，ZBAC=120°,

ZACB+ZABC=60°,

ZC4D+ZCA£=180o,NC4Z)+NC4尸=180。，

ZCAE=ZCAF.

ZBAC=120°,

ZBAD^-ZCAE=ZBAD+ZCAF=6O°,

ZACB+ZABC=ZBAD+ZCAE；故।正确；

2<AC<6,4cAs<12,

6<AB+AC<18,

［不能确定BC的最大值；故错误；

口正确的结论是：□□；

故答案为：」」.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定，垂宜平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的

三边关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的对每个选项进行判断.

23.亚

【分析】

设。E交NP于点0,DE交BCT点、H,根据确定点。在以月。为直径的圆周

上运动，得到当点。与点P重合时，尸E最小，此时，点0、点P与点，重合，取力。的中

点O,连接OP,利用勾股定理求出CP,再证明CDPUBPE,利用勾股定理求出答案.

【详解】

解：设。E交/P于点。，DE交BC于点H,

DEYAP,

AAQD=ZEQP=90°,

I点。在以为直径的圆周上运动，

当点。与点P重合时，PE最小,此时，点。、点尸与点"重合，

取4D的中点。，连接0P,

53

OA=OD=OP=-,oc=~,

22

CP=Jo尸二OC?=^(|)2-(|)2=2,

DADBF,

VAUCPDUUBPE,

BP=CP=2,

WQCDPBPE,

PE=PD=dc»+C产=也，

故答案为：\/5.

【点拨】此题考查图形中的动点问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的

判定，正确理解点Q的位置与点尸的位置确定PE的最小值位置是解题的关键.

24.(3,1)(1.5,1.5)

【分析】

根据函数解析式求出点A、B的坐标，利用勾股定理求出AB的长，分为两种情况：当AB

为正方形的边时与AB为正方形的对角线时，分别求出点M的坐标.

【详解】

令y=-2x+2中y=0,得x=l；令x=0,得y=2,

□A(1,0),B(0,2)

□OA=1,OB=2,

当AB为正方形的边时，过点A作AM〕AB,且AM=AB,过点M作MEHx轴于E,如图

1,

□□AOB=AEM=DBAM=90°,

□nOAB-t-DMAE=90°,

nJOAB+OBA=90°,

OBA=MAE,

门口OABIEIEMA,

□AE=OB=2,ME=OA=1,

OE=3,

□M(3,1)；

当AB为正方形的对角线时，如图2,过AB的中点F作FMDAB,交射线CD于点M,且

FM=AF=BF=4AB=@,

22

□EMFC=DBDC=90°,UMCF=UBCD,CDJOA,

□□MCF□□BCD□□BAO,

MCCFMF

A/5

MC_CFy,

MC=-,CF=更，

44

□BC=BF-CF=@,

4

□□BCDCBAO,

BCCDBD

--二---=---f

ABAOBO

BD=-,CD=-,

24

OD=1.5,DM=1.5,

□M(1.5,1.5)；

故答案为：(3,1)(1.5,1.5).

【点拨】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，正方形的性质：四条边都相等，

四个角都是直角，对角线相等垂直且互相平分以及相似三角形的判定及性质，解题中运用分

类讨论的思想解决问题，避免出现漏解的情况.

25.(1)2-72；(2)2-72；(3)3应-4.

【分析】

(I)求出8c=8E,根据勾股定理求出5。，即可求出OE：

(2)求出AFEB*ECD，根据全等三角形的性质得II；BF=DE即可；

(3)延长GE交于尸，证AGDE〜/BE,得出比例式，代入即可求出答案.

【详解】

解：(1)四边形ABCD是正方形，

□CABC=ADC=90°,

DBC=OBCA=DACD=45°,

CE平分E1DCA,

□□ACE=DCE=—ACD=22.5°,

2

□DBCE=UBCA+L：ACE=45°+22.5O=67.5°,

□ODBC=45°,

□□BEC=180°-67.5°-45°=67.5°=DBCE,

□BE=BC=V2-

在RtiJACD中，由勾股定理得：BD=J(&)2+(&)2=2,

DE=BD-BE=2-y/2；

(2)FECE,

□□CEF=90°,

□FEB=CCEF-nCEB=90°-67.5°=22.5°=nDCE,

□□FBE=DCDE=45°,BE=BC=CD,

□□FEBOJECD,

□BF=DE=2-

(3)延长GE交ABT-F,

由(2)知：DE=BF=2-«,

由(1)知：BE=BC=V2，

四边形ABCD是正方形，

ABDDC,

□ODGElOBFE,

DG2s

2-42V2

解得：DG=30-4.

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定

等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度偏大.

26.(1)四边形CEGF是正方形；72:(2)线段AG与BE之间的数量关系为AG=7i

BE；(3)3石

【分析】

(1)□由GELBC、GF_LCD结合/BCD=90°可得四边形CEGF是矩形，再山/ECG=45°

即可得证;

,山正方形性质知/CEG=/B=9(y、/ECG=45°,据此可得—=应、GE〃AB,

CE

利用平行线分线段成比例定理可得；

(2)连接CG,只需证AACGABCE即可得;

(3)证AAHGACHA得罢=g="，设BC=CD=AD=a,知AC=&a，

ACAHCH

.AGGH.21J10,AG

由=彳导AH=­a、DH=—a、CH=—a,由工k=可4得Pla的值.

ACAH333ACCH

【详解】

(I)四边形ABCD是正方形,

BCD=90°,nBCA=45°,

□GEEIBC、GFRCD,

□□CEG=^CFG=aECF=90°,

□四边形CEGF是矩形，：]CGE=DECG=45。，

□EG=EC,

口四边形CEGF是正方形；

□由□知四边形CEGF是正方形，

□□CEG=DB=90°,[1ECG=45。，

——=y/2,GEAB,

CE

旭=生=应，

BECE

故答案为收;

(2)连接CG,

由旋转性质知□BCE=」ACG=a,

在RDCEG和RtOCBA中，

CE_y[2CBy/2

~CGV'G4~Tf

CECB

□□ACGQDBCE,

任/s

BECB

线段AG与BE之间的数量关系为AG=V2BE；

(3)□□CEF=45。，点B、E、F三点共线，

□□BEC=135°,

□□ACGDDBCE,

□□AGC=nBEC=135°,

□□AGH=DCAH=45°,

□□CHA=LAHG,

□□AHGODCHA,

AGGHAH

AC-AW-CH

设BC=CD=AD=a,贝ijAC=V5a,

.AGGH/曰62枝

则nil山——=——得〒-=二一,

ACAH\(2aA.H

2

AH=-a,

3

则DH=AD-AH=；a,CH=yjcD2+DH2=^a,

2

,AGAHZ1163"

°由前=而得乃厂k'

a

解得：a=3后,即BC=3>f5,

故答案为375.

【点拨】本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性

较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定

与性质是解题的关键.

27.(I)I；40°；(2)上,90°；(3)AC的长为3月或2G.

【分析】

(1)□证明匚COA□匚DOB(SAS),得AC=BD,比值为1；

由LCOADOB,得CAO=DBO,根据三角形的内角和定理得：AMB=180°-

(DBO+OAB+ABD)=180°-140°=40°；

(2)根据两边的比相等且夹角相等可得DAOC匚「BOD,则黑=2f=百，由全等三角形

BDOD

的性质得IAMB的度数；

(3)正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况:如图3和4,同理可得：AOCHBOD,

ATL

则AMB=90°,—=V3,可得AC的长.