2023-2024学年湘教版必修第二册 第四章立体几何初步 章末复习课 学案

专项培优④章末复习课考点一空间中的平行关系1．空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行．2．通过线线平行、线面平行、面面平行之间相互转化的考查，提升学生的直观想象和逻辑推理素养．例1如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N、Q分别为BC、PA、PB的中点．(1)证明：平面MNQ∥平面PCD；(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出PEPD跟踪训练1如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线SC∥平面A1BD；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.考点二空间中的垂直关系1．主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化．2．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直之间相互转化的考查，提升学生直观想象和逻辑推理素养．例2如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．跟踪训练2如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.(1)求证：AC⊥平面BCE；(2)求证：AD⊥AE.考点三简单几何体的表面积与体积1．主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解．2．通过对空间几何体的表面积与体积的考查，提升学生的数学运算素养．例3如图所示，在四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1，设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥A­CMN的侧面积．跟踪训练3如图，已知三棱锥A­PBC，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝4，PA⊥PC，D为AB的中点，且△PDB为正三角形．(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)求三棱锥D­PBC的体积．专项培优④章末复习课考点聚集·分类突破例1解析：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，M、N、Q分别为BC、PA、PB的中点，∴NQ∥AB∥CD，MQ∥PC，又NQ⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，MQ⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD，∵NQ∩MQ＝Q且NQ、MQ⊂平面MNQ，∴平面MNQ∥平面PCD.(2)存在点E是线段PD的中点，使得MN∥平面ACE，且PEPD＝1取PD中点E，连接NE，CE，∵N、E、M分别是AP，PD，BC的中点，∴NE∥AD，NE＝12AD，且BC∥AD，BC＝AD，即MC∥AD，MC＝12∴NE∥MC，NE＝MC，∴四边形MCEN是平行四边形，∴MN∥CE，∵MN⊄平面ACE，CE⊂平面ACE，∴MN∥平面ACE，且PEPD＝1跟踪训练1证明：(1)连接AC与BD交于点O，连接A1S，A1O，则A1S∥OC，且A1S＝OC，则四边形A1SCO为平行四边形，所以SC∥A1O，∵SC⊄平面A1BD，A1O⊂平面A1BD，∴SC∥平面A1BD.(2)连接SB，因为G，E分别是SC，BC中点，所以GE∥SB，又因为SB⊂平面BDD1B1，GE⊄平面BDD1B1，所以GE∥平面BDD1B1，同理EF∥平面BDD1B1，因为GE，EF⊂平面EFG，且GE∩EF＝E所以平面EFG∥平面BDD1B1.例2解析：(1)如图，取AD的中点O，连接PO，BO，BD，因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形．又O是AD的中点，所以AD⊥OB.又OB∩OP＝O所以AD⊥平面POB.因为PB⊂平面POB，所以AD⊥PB.(2)当F是棱PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，连接OE，OC.因为在菱形ABCD中，E为BC的中点，O是AD的中点，所以DO∥CE，DO＝CE，所以四边形DOEC是平行四边形．设DE∩OC＝M，所以M是OC连接FM.又因为F是棱PC的中点，所以FM∥PO.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，所以FM⊥平面ABCD.又因为FM⊂平面DEF，所以平面DEF⊥平面ABCD.跟踪训练2证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC＝BC＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B所以AC⊥平面BCE.(2)因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以AF⊥AD.又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A所以AD⊥平面ABEF.又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.例3解析：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，又MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴MN∥平面PAB，在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°，又∠BAC＝60°，∴CN∥AB，∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB，又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB(2)∵PA⊥平面ABCD，AN⊂平面ABCD，CN⊂平面ABCD，由(1)可知MN∥PA，∴MN⊥AN，MN⊥CN，∵∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA＝2，AB＝1，∴AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，MN＝12PA由(1)可知CN＝AN＝12AD在Rt△CMN中，AM＝CM＝CN2+MN2＝∴S△ACN＝12AN·CN·sin60°＝12×2×2×32又S△AMN＝12AN·MN＝1在△ACM中，AM＝CM，∴AC边上的高h＝AM2-AC∴S△ACM＝12AC·h＝1∴三棱锥A­CMN的侧面积S＝S△ACN＋S△AMN＋S△ACM＝3＋3.跟踪训练3解析：(1)∵D为AB的中点且△PDB为正三角形，∴AP⊥PB，又∵PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC∴AP⊥BC，又AC⊥BC，且PA∩AC＝A∴BC