2024届北京市人大学附属中学数学高二下期末综合测试模拟试题含解析

2024届北京市人大学附属中学数学高二下期末综合测试模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知向量，则与的夹角为（）A． B． C． D．2．已知函数图象经过点，则该函数图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．3．下列两个量之间的关系是相关关系的为（）A．匀速直线运动的物体时间与位移的关系B．学生的成绩和体重C．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少D．水的体积和重量4．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为()A．[，] B．[，3]C．[，] D．[，3]5．“”是双曲线的离心率为（）A．充要条件 B．必要不充分条件 C．即不充分也不必要条件 D．充分不必要条件6．设曲线在点处的切线与直线平行，则（）A．B．C．D．7．如图所示，这是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．8．已知函数在上可导且满足，则下列一定成立的为A． B．C． D．9．已知函数f(x)=x2-x-6，在区间[-6,4]内任取一点xA．13 B．25 C．110．执行下面的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件是（）A． B． C． D．11．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种 B．420种 C．630种 D．840种12．已知复数在复平面上对应的点为，则（）A． B． C．对应的向量为 D．是纯虚数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，，，分别是角，，所对的边，且，则的最大值为_________．14．已知直线：，抛物线：图像上的一动点到直线与到轴距离之和的最小值为________.15．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm1．16．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已经函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.18．（12分）已知二次函数（均为实数），满足，对于任意实数都有，并且当时，有.（1）求的值；并证明：；（2）当且取得最小值时，函数（为实数）单调递增，求证：.19．（12分）已知数列满足（）.（1）计算，，，并写出与的关系；（2）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式.20．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马．如图所示，在阳马中，底面．（1）若，斜梁与底面所成角为，求立柱的长（精确到）；（2）证明：四面体为鳖臑；（3）若，，，为线段上一个动点，求面积的最小值．21．（12分）在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（m为参数）.（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点，直线l和曲线C相交于，两点，求.22．（10分）《流浪地球》是由刘慈欣的科幻小说改编的电影，在2019年春节档上影，该片上影标志着中国电影科幻元年的到来；为了振救地球，延续百代子孙生存的希望，无数的人前仆后继，奋不顾身的精神激荡人心，催人奋进.某网络调查机构调查了大量观众的评分，得到如下统计表：评分12345678910频率0.030.020.020.030.040.050.080.150.210.36（1）求观众评分的平均数？（2）视频率为概率，若在评分大于等于8分的观众中随机地抽取1人，他的评分恰好是10分的概率是多少？（3）视频率为概率，在评分大于等于8分的观众中随机地抽取4人，用表示评分为10分的人数，求的分布列及数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

根据题意，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，据此分析可得答案．【题目详解】设与的夹角为θ，由、的坐标可得||＝5，||＝3，•5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故选D【题目点拨】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．2、C【解题分析】

首先把点带入求出，再根据正弦函数的对称轴即可．【题目详解】把点带入得，因为，所以，所以，函数的对称轴为．当，所以选择C【题目点拨】本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆常考三角函数的性质有：单调性、周期性、对称轴、对称中心、奇偶性等．属于中等题．3、C【解题分析】

根据相关关系以及函数关系的概念，逐项判断，即可得出结果.【题目详解】A选项，匀速直线运动的物体时间与位移的关系是函数关系；B选项，成绩与体重之间不具有相关性；C选项，路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少是相关关系；D选项，水的体积与重量是函数关系.故选C【题目点拨】本题主要考查变量间的相关关系，熟记概念即可，属于常考题型.4、B【解题分析】

分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.详解：，，，，即在区间上的值域为，故选B.点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.5、D【解题分析】

将双曲线标准化为,由于离心率为可得,在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论.【题目详解】将双曲线标准化则根据离心率的定义可知本题中应有,则可解得,因为可以推出;反之成立不能得出.故选:.【题目点拨】本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般.6、D【解题分析】试题分析：由的导数为，则在点处的切线斜率为，由切线与直线平行，所以，故选D．考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程．7、A【解题分析】由三视图可知：该几何体分为上下两部分，下半部分是长、宽、高分别为的长方体，上半部分为底面半径为1，高为2的两个半圆柱，故其体积为，故选A.8、A【解题分析】易知在上恒成立，在上单调递减，又.本题选择C选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.9、C【解题分析】

先求出x<0,则【题目详解】由f(x)≥0得(x-3)(x+2)⩾0，故x≥3或x≤-2，由-6≤x0≤4，故-6≤x0≤-2或【题目点拨】本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.10、C【解题分析】

根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，即可得出答案.【题目详解】解：当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，不满足输出结果为，进行循环后，，；当时，满足输出结果为，故进行循环的条件，应为：.故选：C.【题目点拨】本题考查程序框图的应用，属于基础题.11、B【解题分析】依题意可得，3位实习教师中可能是一男两女或两男一女．若是一男两女，则有种选派方案，若是两男一女，则有种选派方案．所以总共有种不同选派方案，故选B12、D【解题分析】

直接由复数的基本概念，对选项进行一一验证，即可得答案．【题目详解】复数在复平面上对应的点为，，，，是纯虚数．故选：D．【题目点拨】本题考查了复数的基本概念，考查了复数模的求法，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

利用正弦定理边化角化简可求得,则有,则借助正弦函数图象和性质即可求出.【题目详解】因为，所以，所以．所以，因为，所以当时，取得最小值．故答案为:.【题目点拨】本题考查正弦定理,三角函数的图象和性质,属于常考题.14、1【解题分析】

首先根据抛物线的性质，可将抛物线上的点到直线和轴的距离和转化为抛物线上的点到直线的距离和到焦点的距离和减1，再根据数形结合求距离和的最小值.【题目详解】设抛物线上的点到直线的距离为，到准线的距离为，到轴的距离为，抛物线上的点到准线的距离和到焦点的距离相等，，,如图所示：的最小值就是焦点到直线的距离，焦点到直线的距离，所以有：的最小值是1，故答案为：1【题目点拨】本题考查抛物线的定义和抛物线的几何性质，意在考查转化与化归，关键是抛物线定义域的转化，属于中档题型.15、144【解题分析】

设小正方形的边长为xcm，【题目详解】设小正方形的边长为xcm则盒子的容积V=V当0<x<2时，V'>0，当2<x<5∴x=2时，V取得极大值，也是最大值，V=故答案为144【题目点拨】本题主要考查了导数在解决实际问题中的应用，考查了学生的阅读理解能力和利用数学知识解决问题的能力，属于基础题目．16、1．【解题分析】试题分析：这是循环结构，计算时要弄明白循环条件，什么时候跳出循环，循环结构里是先计算，第一次计算时，循环结束前，此时，循环结束，故输出值为1．考点：程序框图，循环结构．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)①当时，的递减区间是，无递增区间；②当时，的递增区间是，递减区间是.(2).【解题分析】

分析：（Ⅰ）求出导函数，由于定义域是，可按和分类讨论的正负，得单调区间．（Ⅱ）由函数在处取极值得且可得的具体数值，而不等式可转化为，这样只要求得的最小值即可．详解：（Ⅰ）在区间上，.①若，则，是区间上的减函数；②若，令得.在区间上，，函数是减函数；在区间上，，函数是增函数；综上所述，①当时，的递减区间是，无递增区间；②当时，的递增区间是，递减区间是．（II）因为函数在处取得极值，所以解得，经检验满足题意．由已知，则令，则易得在上递减，在上递增，所以，即.点睛：本题考查用导数求函数的单调区间、函数极值，用导数研究不等式恒成立问题．不等式恒成立通常通过分离参数法转化为求函数的最值．18、(1)答案见解析；(2)证明见解析【解题分析】试题分析：(1)由函数的解析式可得，结合均值不等式的结论可得.(2)由题意讨论二次函数的对称轴和单调性即可证得题中的结论.试题解析：（1）由题意，即，又，∴，则恒成立∴，∴.（2）由（1）可得，当且仅当时取等号此时，要使其在区间内单调递增，必有对称轴与其关系为，即为所证.19、（1），，；；（2）证明见解析，【解题分析】

（1）代入，和，计算得到，，，通过，得到与的关系；（2）根据（1）中所得与的关系，得到，并求出的值，从而得到是等比数列，写出其通项，再得到的通项.【题目详解】（1）由已知可得，时，，即，时，，即，时，，即.由（），得，两式相减，得，即.（2）证明：由（1）得，且，∴，∴数列是等比数列，公比为，首项为，所以，∴.【题目点拨】本题考查根据和的关系求递推关系，通过递推关系构造法求数列通项，证明数列为等比数列，属于简单题.20、（1）；（2）详见解析；（3）.【解题分析】

（1）推导出侧棱在平面上的射影是，从而是侧棱与平面所成角，，从而求得立柱的长.（2）四边形是长方形，从而是直角三角形，由此得出，从而三角形是直角三角形，由平面，得是直角三角形，由此能证明四面体为鳖臑.（3）利用转化法求出异面直线与的距离，即可求得三角形面积的最小值.【题目详解】（1）因为侧棱平面，所以侧棱在底面上的射影是，所以是侧棱与平面所成角，所以，在中，，所以，即，，所以.（2）证明：由题意知四边形是长方形，所以三角形是直角三角形.由于平面，所以，所以三角形和三角形是直角三角形.因为，所以平面，所以，所以三角形是直角三角形.所以四面体为鳖臑.（3）与是两异面直线，，所以平面，则两异面直线与的距离等于到平面的距离，也即到平面的距离，