辽宁省辽油二高2024届数学高二第二学期期末统考模拟试题含解析

辽宁省辽油二高2024届数学高二第二学期期末统考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数在复平面内对应的点在第一象限，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．2．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题使得，则都有；（2）已知，则（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为；（4）“”是“”的充分不必要条件.A．1 B．2 C．3 D．43．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为（）A． B．（0，1）C． D．（﹣1，0）4．若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．函数y=12A．(0,1) B．(0,1)∪(-∞,-1) C．(-∞,1) D．(-∞,+∞)6．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．已知线性回归方程相应于点的残差为，则的值为（）A．1 B．2 C． D．8．通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表，由得参照附表，得到的正确结论是（）.爱好不爱好合计男生20525女生101525合计302050附表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.5％以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”9．由曲线，所围成图形的面积是（）A． B． C． D．10．正边长为2，点是所在平面内一点，且满足，若，则的最小值是（）A． B． C． D．11．一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有A．6种 B．12种 C．36种 D．72种12．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，从集合A到B的映射满足：①；②的象有且只有2个，求适合条件的映射的个数为()A．10 B．20 C．30 D．40二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．“”是“”的____条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要条件”、“充要”中选择填空）．14．设函数，若，则实数的取值范围是______.15．能够说明“恒成立”是假命题的一个的值为______.16．设，若是关于的方程的一个虚根，则的取值范围是____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.18．（12分）已知．（1）求和的值；（2）求式子的值．19．（12分）已知，函数.（1）讨论函数在上的单调性；（2）若在内有解，求的取值范围.20．（12分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求证:.21．（12分）甲乙两名选手在同一条件下射击，所得环数的分布列分别为678910P0.160.140.420.10.18678910P0.190.240.120.280.17（I）分别求两名选手射击环数的期望；（II）某比赛需从二人中选一人参赛，已知对手的平均水平在7.5环左右，你认为选谁参赛获胜可能性更大一些？22．（10分）“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的或点赞.现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下：步数/步0～20002001～50005001～80008001～1000010000以上男性人数/人16954女性人数/人03642规定：用户一天行走的步数超过8000步时为“运动型”，否则为“懈怠型”.（1）将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率.从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记为“运动型”用户的人数，求和的数学期望；（2）现从这40人中选定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“运动型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“运动型”有2人，“懈怠型”有1人.从这8人中任意选取男性3人、女性2人，记选到“运动型”的人数为，求的分布列和数学期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由实部虚部均大于0联立不等式组求解．【题目详解】解：复数在复平面内对应的点在第一象限，，解得．实数的取值范围是．故选：．【题目点拨】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．2、C【解题分析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．【题目详解】由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题使得，则都有，是错误的；（2）中，已知，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为，所以是正确的；（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为是正确；（4）中，当时，可得成立，当时，只需满足，所以“”是“”成立的充分不必要条件．【题目点拨】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．3、A【解题分析】

首先由题意可得，再由对数式的运算性质变形，然后求解对数不等式得答案.【题目详解】由题意可得，第一个式子解得或；第二个式子化简为，令，则，解得或，则或，则或.即或.综上，实数的取值范围为.故选：A.【题目点拨】本题主要考查以函数定义域为背景的恒成立问题，二次型函数的恒成立问题一般借助判别式进行处理，本题同时兼顾考查了对数的运算性质，综合性较强，侧重考查数学运算的核心素养.4、B【解题分析】

不等式可整理为，然后转化为求函数y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用单调性可求最值．【题目详解】不等式，即不等式lglg3x﹣1，∴，整理可得，∵y在（﹣∞，1）上单调递减，∴∈（﹣∞，1），y1，∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B.【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题、函数单调性，考查转化思想，考查学生灵活运用知识解决问题的能力．5、A【解题分析】

试题分析：令f'x=x-考点：函数的单调区间.6、A【解题分析】分析：由f（x）的导函数形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．详解：∵函数的定义域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=ex﹣kxg′（x）=ex﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=ex和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析转化ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点.7、B【解题分析】

根据线性回归方程估计y，再根据残差定义列方程，解得结果【题目详解】因为相对于点的残差为，所以，所以，解得，故选B【题目点拨】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题.8、A【解题分析】

对照表格，看在中哪两个数之间，用较小的那个数据说明结论．【题目详解】由≈8.333＞7.879，参照附表可得：有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选：A．【题目点拨】本题考查独立性检验，属于基础题．9、A【解题分析】

先计算交点，再根据定积分计算面积.【题目详解】曲线，，交点为：围成图形的面积：故答案选A【题目点拨】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力.10、A【解题分析】分析：建立直角坐标系后求出各点坐标，用坐标表示详解：如图：以为原点，所在直线为轴，过点垂直于为轴则，，设，则点轨迹为由可得：故当时，故选点睛：本题主要考查的是平面向量的基本定理．设不共线的两个向量为基底，求参量和的最值，本题的解法较多，可以通过建立空间直角坐标系，求交点坐标建立数量关系，也可以用等和线来解．11、B【解题分析】

分类讨论,利用捆绑法、插空法,即可得出结论.【题目详解】把空着的2个相邻的停车位看成一个整体，即2辆不同的车可以停进4个停车场，由题意,若2辆不同的车相邻,则有种方法

若2辆不同的车不相邻,则利用插空法,2个相邻的停车位空着,利用捆绑法,所以有种方法，不同的停车方法共有：种，

综上,共有12种方法，

所以B选项是正确的.本题考查排列、组合的综合应用,注意空位是相同的,是关键.12、D【解题分析】分析：将元素按从小到大的顺序排列，然后按照元素在中的象有且只有两个进行讨论.详解：将元素按从小到大的顺序排列，因恰有两个象，将元素分成两组，从小到大排列，有一组；一组；一组；一组，中选两个元素作象，共有种选法，中每组第一个对应集合中的较小者，适合条件的映射共有个，故选D.点睛：本题考查映射问题并不常见，解决此类问题要注意：（）分清象与原象的概念；（）明确对应关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、充分不必要【解题分析】

据题意“”解得，由此可判断它与“”的关系。【题目详解】由“”解得由题得“”“”，但“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要条件。【题目点拨】本题考查充分条件和必要条件，属于基础题。14、【解题分析】

由题意画出图形，结合可得满足的实数m的取值范围．【题目详解】作出函数的图象如图，

由图可知，满足的实数m的取值范围是．

故答案为：．【题目点拨】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15、0【解题分析】

不等式恒成立等价于恒成立，因此可构造函数，求其最值，从而找到命题不成立的具体值．【题目详解】设函数，则有，当时，有，单调递减；当时，有，单调递增；故为最小值点，有．因此，当时，命题不能成立．故能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为0【题目点拨】说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，怎样找到符合条件的反例是关键．在处理时常要假设命题为真，进行推理，找出命题必备条件．16、【解题分析】

设z=a+bi，(a,b∈R)，则也是此方程的一个虚根，由方程有虚根可知，判别式为负数，据此可求出m的范围，再利用根与系数的关系可得，从而求出结果.【题目详解】设z=a+bi，(a,b∈R)，则也是此方程的一个虚根，

z是关于x的方程x2+mx+m2−1=0的一个虚根，可得，即，则由根与系数的关系，，则，所以的取值范围是：.故答案为.【题目点拨】本题考查实系数多项式虚根成对定理，以及复数的模的求解，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）．（2）．（3）．【解题分析】

试题分析：（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.试题解析：（1）由，得，解得．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣3）x+2a﹣5]＝1得log2（a）﹣log2[（a﹣3）x+2a﹣5]＝1．即log2（a）＝log2[（a﹣3）x+2a﹣5]，即a＝（a﹣3）x+2a﹣5＞1，①则（a﹣3）x2+（a﹣5）x﹣1＝1，即（x+1）[（a﹣3）x﹣1]＝1，②，当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立当a≠3且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞1，即a＞1，若x是方程①的解，则a＝2a﹣3＞1，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣3）x+2a﹣5]＝1的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝3．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（a）﹣log2（a）≤1，即a≤2（a），即a设1﹣t＝r，则1≤r，，当r＝1时，1，当1＜r时，，∵y＝r在（1，）上递减，∴r，∴，∴实数a的取值范围是a．【一题多解】（3）还可采用：当时，，，所以在上单调递减．则函数在区间上的最大值与最小值分别为，．即，对任意成立．因为，所以函数在区间上单调递增，时，有最小值，由，得．故的取值范围为．18、（1），（2）【解题分析】

（1）在二项展开式的通项公式中，令分别等于0和3，即可求得和的值．（2）在所给的等式中，分别令，可得2个式子，再根据这2个式子求得的值．【题目详解】解:（1）由二项式定理，得的展开式的通项是，令，3，得，．∵，∴，．（2）∵，∴令，得．令，得．∴．∴．【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便地求出答案，属于中档题．19、（1）见解析；（2）.【解题分析】

（1）计算函数的导函数，得到对应方程的根为，讨论三种情况得到答案.（2）计算的导数，根据单调性计算函数的最小值，根据解得范围.【题目详解】（1），令，解得.当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减；当时，即时，函数在定义域上单调递增；当时，即时，在上，函数单调递增，在上，函数单调递减.（2）若在内有解，则由（1）可知，当，即时，∵，∴，函数在上单调递增，，解得；当，即时，∵，∴在时，，函数在上单调递减，在时，，函数在上单调递增，∴令，函数在上单调递增.∴恒成立，∴.当，即时，∵，∴，