北京市房山区市级名校2024届数学高二下期末教学质量检测试题含解析

北京市房山区市级名校2024届数学高二下期末教学质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的单调函数,则实数m的取值范围是（）A． B．C． D．2．某校学生一次考试成绩X（单位：分）服从正态分布N（110，102），从中抽取一个同学的成绩ξ，记“该同学的成绩满足90＜ξ≤110”为事件A，记“该同学的成绩满足80＜ξ≤100”为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率P（B|A）＝（）附：X满足P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.68，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.95，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）＝0.1．A． B． C． D．3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度4．已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（）A． B． C． D．5．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A． B．C． D．6．二项式展开式中，的系数是（

）A． B． C．

D．7．已知命题，则命题的否定为()A． B．C． D．8．设则（）A．都大于2 B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于29．已知点为双曲线上一点，则它的离心率为（）A． B． C． D．10．若复数是纯虚数，则实数的值为()A．1或2 B．或2 C． D．211．某地区一次联考的数学成绩近似地服从正态分布，已知，现随机从这次考试的成绩中抽取个样本，则成绩小于分的样本个数大约为（）A． B． C． D．12．已知，则下列结论正确的是A．是偶函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在如图所示的十一面体中，用种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．14．已知定义在上的函数在导函数为，若，且当时，，则满足不等式的实数的取值范围是__________．15．的展开式中，项的系数为______.（用数字作答）16．已知集合，集合，则_______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，已知椭圆经过点，且其左右焦点的坐标分别是，.（1）求椭圆的离心率及标准方程；（2）设为动点，其中，直线经过点且与椭圆相交于，两点，若为的中点，是否存在定点，使恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由18．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（I）求曲线的直角坐标方程；（II）求直线与曲线交点的直角坐标.19．（12分）已知函数，其导函数的两个零点为和.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）求函数的单调区间；（III）求函数在区间上的最值.20．（12分）椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点．（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程．21．（12分）已知函数，．（Ⅰ）当时，求的最小值；（Ⅱ）证明：当时，函数在区间内存在唯一零点．22．（10分）已知椭圆的离心率为，抛物线与椭圆在第一线象限的交点为．（1）求曲线、的方程；（2）在抛物线上任取一点，在点处作抛物线的切线，若椭圆上存在两点关于直线对称，求点的纵坐标的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

求出导函数，转化为有两个不同的实数根即可求解.【题目详解】因为f(x)=x3-x2+mx+1，所以，又因为函数f(x)=x3-x2+mx+1不是R上的单调函数,所以有两个不同的实数解，可得，即实数m的取值范围是，故选：C.【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查了转化思想的应用，属于基础题.转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将单调性问题转化为方程问题是解题的关键2、A【解题分析】

利用条件概率公式，即可得出结论.【题目详解】由题意，，，所以，故选A项.【题目点拨】本题考查条件概率的计算，正态分布的简单应用，属于简单题.3、D【解题分析】因为把的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象，向右平移个单位长度故选D.4、B【解题分析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由，得，∴，设（为常数），∵，∴，∴，∴，∴，∴当x=0时，；当时，，故当时，，当时等号成立，此时；当时，，当时等号成立，此时．综上可得，即函数的取值范围为．故选B．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．5、D【解题分析】

本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【题目详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【题目点拨】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.6、B【解题分析】通项公式：，令，解得，的系数为，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.7、D【解题分析】分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得结果.详解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，故选D.点睛：本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.8、C【解题分析】

由基本不等式，a，b都是正数可解得．【题目详解】由题a，b，c都是正数，根据基本不等式可得，若，，都小于2，则与不等式矛盾，因此，至少有一个不小于2；当，，都等于2时，选项A，B错误，都等于3时，选项D错误．选C.【题目点拨】本题考查了基本不等式，此类题干中有多个互为倒数的项，一般都可以先用不等式求式子范围，再根据题目要求解题．9、B【解题分析】

将点P带入求出a的值，再利用公式计算离心率。【题目详解】将点P带入得，解得所以【题目点拨】本题考查双曲线的离心率，属于基础题。10、C【解题分析】

根据纯虚数的定义可得2m2﹣3m﹣2＝0且m2﹣3m+2≠0然后求解．【题目详解】∵复数z＝（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i是纯虚数∴2m2﹣3m﹣2＝0且m2﹣3m+2≠0∴m故选C．【题目点拨】本题主要考查了纯虚数的概念，解题的关键是要注意m2﹣3m+2≠0，属于基础题.11、A【解题分析】分析：根据正态分布的意义可得即可得出结论.详解：由题可得：又对称轴为85，故，故成绩小于分的样本个数大约为100x0.04=4故选A.点睛：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题关键是要知道.12、A【解题分析】因为，所以，又，故，即答案C，D都不正确；又因为，所以应选答案A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解题分析】分析：首先分析几何体的空间结构，然后结合排列组合计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：空间几何体由11个顶点确定，首先考虑一种涂色方法：假设A点涂色为颜色CA，B点涂色为颜色CB，C点涂色为颜色CC，由AC的颜色可知D需要涂颜色CB，由AB的颜色可知E需要涂颜色CC，由BC的颜色可知F需要涂颜色CA，由DE的颜色可知G需要涂颜色CA，由DF的颜色可知I需要涂颜色CC，由GI的颜色可知H需要涂颜色CB，据此可知，当△ABC三个顶点的颜色确定之后，其余点的颜色均为确定的，用三种颜色给△ABC的三个顶点涂色的方法有种，故给题中的几何体染色的不同的染色方案种数为6.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．14、【解题分析】分析：根据条件得到函数的对称性，结合函数的单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，利用特殊值法进行求解即可.详解：由，得函数关于对称，当时，，即在上单调递减，不妨设，则不等式等价为，即，即，得，故实数的取值范围是.故答案为：.点睛：本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的对称性和单调性，利用特殊值法是解决本题的关键.15、-30【解题分析】

由题意利用幂的意义，组合数公式，求得项的系数.【题目详解】，表示个因式的积，要得到含项，需个因式选，个因式选，其余的个因式选即可.展开式中，项的系数为.故答案为：-30【题目点拨】本题考查了二项式定理、组合数公式，需熟记公式，属于基础题.16、{3，4}．【解题分析】

利用交集的概念及运算可得结果.【题目详解】，.【题目点拨】本题考查集合的运算，考查交集的概念与运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）在定点【解题分析】

（1）根据椭圆的焦点得到，根据椭圆过点，由椭圆的定义得到，再求出，从而得到椭圆的离心率和标准方程；（2）设，，则，，利用点差法，得到，从而表示出线段的垂直平分线，再根据直线过定点，得到关于的方程组，得到定点的坐标.【题目详解】（1）设椭圆方程：.∴.∵椭圆经过点，∴，∴，可得.椭圆的离心率为，椭圆标准方程：.（2）设，，因为为中点，则，.∵、在曲线上，∴，将以上两式相减得：.所以得到，∴线段的垂直平分线方程：，整理得令，得故线段的垂直平分线过定点.所以存在定点，使恒成立.【题目点拨】本题考查根据椭圆定义求椭圆标准方程和离心率，直线与椭圆的位置关系，点差法表示线段垂直平分线，椭圆中直线过的定点，属于中档题.18、（I）；（II）.【解题分析】

（I）曲线C的极坐标方程为两边同乘，利用极坐标与直角坐标互化公式可得直角坐标方程．（II）将代入中，得的二次方程，解得则可求解【题目详解】（I）将两边同乘得，，曲线的直角坐标方程为：.（II）将代入中，得，解得，直线与曲线交点的直角坐标为.【题目点拨】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程及其应用、直线与抛物线相交问题，考查的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19、（I）；（II）增区间是，，减区间是；（III）最大值为，最小值为.【解题分析】试题分析：对函数求导，由于导函数有两个零点，所以这两个零点值满足，解方程组求出m,n；利用导数的几何意义求切线方程，先求f(1),求出切点，再求得出斜率，利用点斜式写出切线方程，求单调区间只需在定义域下解不等式和，求出增区间和减区间；求函数在闭区间上的最值，先研究函数在该区间的单调性、极值，求出区间两端点的函数值，比较后得出最值.试题解析：（1）∵，∴，由知，解得从而，∴.所以，∴，曲线在点处的切线方程为，即，（2）由于，当变化时，，的变化情况如下表：-30+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增故的单调增区间是，，单调递减区间是（-3,0）.（3）由于，，，所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1.20、（1）；（2）或．【解题分析】

（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程．

（2）由（1）知F1（-1，0），①当l的倾斜角是时，,不合题意；当l的倾斜角不是时，设l的方程为，由消去y得：，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程．【题目详解】（1）椭圆过点离心率为又,解得椭圆C的方程.（2）由（1）知，①当l的倾斜角是时，l的方程为，交点，此时,不合题意；②当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k,则其直线方程为，由消去y得：，设，则，，又已知,解得，故直线l的方程为，即或．【题目点拨】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用．21、（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析【解题分析】

（Ⅰ）利用导数求出函数的单调性，即可得出的最小值；（Ⅱ）对