2024届青岛第二中学数学高二下期末调研试题含解析

2024届青岛第二中学数学高二下期末调研试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为A．5 B．2 C．3 D．22．设,，，则（）A． B． C． D．3．函数向右平移个单位后得到函数，若在上单调递增，则的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知，，，则的最大值为（）A．1 B． C． D．5．二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（）A． B． C． D．6．已知是等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则（）A．成等差数列 B．成等差数列C．成等差数列 D．成等差数列7．函数则函数的零点个数是（）A． B． C． D．8．已知是可导函数，且对于恒成立，则A． B．C． D．9．已知是虚数单位，则（）A． B． C． D．10．定积分的值为()A．3 B．1 C． D．11．正项等比数列中，，若，则的最小值等于（）A．1 B． C． D．12．将1000名学生的编号如下：0001，0002，0003，…，1000，若从中抽取50个学生，用系统抽样的方法从第一部分0001，0002，…，0020中抽取的号码为0015时，抽取的第40个号码为（）A．0795 B．0780 C．0810 D．0815二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．(2016·开封联考)如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a，x＝a＋1(a>0)及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即.运用类比推理，若对∀n∈N*，恒成立，则实数A＝________.14．已知一组数据1，3，2，5，4，那么这组数据的方差为____．15．若方程有实根，则实数m的取值范围是______．16．已知平面向量，满足||=1，||=2，|﹣|=，则在方向上的投影是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的左右顶点分别是，，点在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作轴，垂足为Q，点C在的延长线上，且．（1）求椭圆的方程；（2）求动点C的轨迹E的方程；（3）设直线（C点不同A、B）与直线交于R，D为线段的中点，证明：直线与曲线E相切；18．（12分）设函数（1）当时，求函数在上的值域；（2）若不论取何值，对任意恒成立，求的取值范围。19．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若，求的最小值；（2）若，证明：.20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：月份12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数少与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2×2列联表：不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过1年22830驾龄1年以上81220合计302050能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？参考公式：，.（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）随着智能手机的普及，各类手机娱乐软件也如雨后春笋般涌现.如表中统计的是某手机娱乐软件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注册用户数，记月份代码为（如对应于2018年8月份，对应于2018年9月份，…，对应于2019年4月份），月新注册用户数为（单位：百万人）（1）请依据上表的统计数据，判断月新注册用户与月份线性相关性的强弱；（2）求出月新注册用户关于月份的线性回归方程，并预测2019年5月份的新注册用户总数.参考数据：，，.回归直线的斜率和截距公式：，.相关系数（当时，认为两相关变量相关性很强.）注意：两问的计算结果均保留两位小数22．（10分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

利用点到直线的距离公式求出|PF2|cos∠POF2=ac，由诱导公式得出cos∠POF1=-ac，在【题目详解】如下图所示，双曲线C的右焦点F2(c,0)，渐近线l1由点到直线的距离公式可得|PF由勾股定理得|OP|=|O在RtΔPOF2中，∠OPF在ΔPOF2中，|OP|=a，|PFcos∠PO由余弦定理得cos∠POF1即c=2a，因此，双曲线C的离心率为e=c【题目点拨】本题考查双曲线离心率的求解，属于中等题。求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法：①直接求出a、c，可计算出离心率；②构造a、c的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解。2、A【解题分析】

先研究函数单调性，再比较大小.【题目详解】,令，则因此当时，即在上单调递减，因为，所以，选A.【题目点拨】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题.3、D【解题分析】

首先求函数，再求函数的单调递增区间，区间是函数单调递增区间的子集，建立不等关系求的取值范围.【题目详解】,令解得，若在上单调递增，,解得：时，.故选D.【题目点拨】本题考查了三角函数的性质和平移变换，属于中档题型.4、D【解题分析】

直接使用基本不等式，可以求出的最大值.【题目详解】因为，，，所以有，当且仅当时取等号，故本题选D.【题目点拨】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键.5、A【解题分析】

因为，，由此类比可得，，从而可得到结果.【题目详解】因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四为测度W，应满足，又因为，所以，故选A.【题目点拨】本题主要考查类比推理以及导数的计算.6、B【解题分析】

由于是与的等差中项，得到，分，两种情况讨论，用等比数列的前n项和公式代入，得到，即，故得解.【题目详解】由于是与的等差中项，故由于等比数列，若：，矛盾；若：，即成等差数列故选：B【题目点拨】本题考查了等差、等比数列综合，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7、A【解题分析】

通过对式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【题目详解】函数的零点即方程和的根，函数的图象如图所示：由图可得方程和共有个根，即函数有个零点,故选：A.【题目点拨】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．8、D【解题分析】分析：构造函数，利用导数判断其单调性即可得出.详解：已知是可导函数，且对于恒成立，即恒成立，令，则，函数在R上单调递减，，即，化为.故选：D.点睛：本题是知识点交汇的综合题，考查综合运用函数思想解题的能力，恰当构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.9、B【解题分析】

根据复数的乘法运算法则，直接计算，即可得出结果.【题目详解】.故选B【题目点拨】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.10、C【解题分析】

运用定积分运算公式，进行求解计算.【题目详解】，故本题选C.【题目点拨】本题考查了定积分的运算，属于基础题.11、D【解题分析】分析：先求公比，再得m,n关系式，最后根据基本不等式求最值.详解：因为，所以，因为，所以，因此当且仅当时取等号选点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12、A【解题分析】分析：先确定间距，再根据等差数列通项公式求结果.详解：因为系统抽样的方法抽签，所以间距为所以抽取的第40个数为选A.点睛：本题考查系统抽样概念，考查基本求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】令，依据类比推理可得A1＝dx＝ln(n＋1)－lnn，A2＝dx＝ln(n＋2)－ln(n＋1)，…，An＝dx＝ln(2n)－ln(2n－1)，所以A＝A1＋A2＋…＋An＝ln(n＋1)－lnn＋ln(n＋2)－ln(n＋1)＋…＋ln(2n)－ln(2n－1)＝ln(2n)－lnn＝ln2.14、2；【解题分析】

先求这组数据的平均数，再代入方差公式，求方差.【题目详解】因为，方差.【题目点拨】本题考查平均数与方差公式的简单应用，考查基本的数据处理能力.15、.【解题分析】分析：将原式变形为=x+m，根据直线与椭圆相交相切的性质即可得出．详解：由题得若方程有实根等价于=x+m有解，y=等价于：表示x轴上方的部分椭圆，当直线y=x+m经过椭圆的又顶点（2,0）时为相交的一个临界值此时m=-2，当直线与椭圆的左上半部分相切时为第二个临界值，此时联立方程得：，求得：，因为与上半部分相交故直线与y轴的交点为正值，故m=，所以综合得：m的取值范围是.，故答案为.点睛：本题考查了直线与椭圆圆相交相切的性质、方程的根转化函数有解问题、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16、【解题分析】分析：根据向量的模求出•=1，再根据投影的定义即可求出．详解：∵||=1，||=2，|﹣|=，∴||2+||2﹣2•=3，解得•=1，∴在方向上的投影是=，故答案为点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）；（3）证明略；【解题分析】

（1）根据顶点坐标可知，将代入椭圆方程可求得，进而得到椭圆方程；（2）设，，可得到，将代入椭圆方程即可得到所求的轨迹方程；（3）设，可得直线方程，进而求得和点坐标；利用向量坐标运算可求得，从而证得结论.【题目详解】（1）由题意可知：将代入椭圆方程可得：，解得：椭圆的方程为：（2）设，由轴，可得：，即将代入椭圆方程得：动点的轨迹的方程为：（3）设，则直线方程为：令，解得：，即直线与曲线相切【题目点拨】本题考查直线与椭圆、直线与圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、动点轨迹的求解问题、直线与圆位置关系的证明等知识；求解动点轨迹的常用方法是利用动点表示出已知曲线上的点的坐标，从而代入已知曲线方程整理可得动点轨迹.18、（1）；（2）【解题分析】

（1）首先判断出为上的减函数，进而可得其值域；（2）易知的最大值为2，原题等价于对任意恒成立，根据分离参数思想可得任意恒成立，求出两端最值即可.【题目详解】解：（1）与在上均为减函数，在上为减函数，的值域为（2）易知的最大值为2.由题意可知，即对任意恒成立，即任意恒成立。设，，，，，【题目点拨】本题主要考查了函数值域的求法，不等式恒成立问题，分离参数求最值是解题的关键，该题有一定难度.19、（1）；（2）证明见解析.【解题分析】分析：（1）先利用导数求函数的单调区间，再求的最小值.(2)先求的最小值为,再证明＞0.详解：（1）若，,所以,设，则所以在上为增函数，又，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为.（2）由题意知当时，显然成立.当时，由（1）知在上为增函数，因为,所以存在唯一的使得，即,所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的最小值为,,,当且仅当，即时取等号.代入得，矛盾，所以等号不能成立.所以，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题有两个难点，其一是求得的最小值为,其二是证明＞0，用到了基本不等式，同时要注意取等的问题.20、（1）；（2）66人；（3）有的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．【解题分析】

（1）利用所给数据计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；

（2）由（1）中的回归直线方程计算x=7时的值即可；

（3）由列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论．【题目详解】（1）由表中数据知，，∴，∴，∴所求回归直线方程为