2024届湖北省咸宁市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析

2024届湖北省咸宁市数学高二第二学期期末综合测试试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知圆(x+1)2+y2=12的圆心为C，点P是直线l:mx-y-5m+4=0上的点，若圆C上存在点Q使∠CPQ=A．1-306C．0,1252．已知函数在区间内既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上的点到直线的距离的最小值是（）A． B． C． D．4．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A． B． C． D．5．“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是（）A．2 B．1 C． D．-17．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）A． B．C． D．8．在极坐标系中，方程表示的曲线是（）A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线9．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（）A．8 B．10 C．12 D．1610．在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（）A．越小 B．越大 C．可能大也可能小 D．以上都不对11．某小区有1000户居民，各户每月的用电量近似服从正态分布，则用电量在320度以上的居民户数估计约为（）（参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.）A．17 B．23 C．34 D．4612．若函数fx=3sinπ-ωx+sin5π2+ωx，且fA．2kπ-2π3C．kπ-5π12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．由曲线与所围成的封闭图形的面积为__________．14．《中国诗词大会》节目组决定把《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有____种.（用数字作答）15．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.16．，，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求和的直角坐标方程；（2）已知直线与轴交于点，且与曲线交于，两点，求的值.18．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；年开始，高考总成绩由语数外门统考科目成绩和物理、化学等六门选考科目成绩构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为共个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布．（Ⅰ）求化学原始分在区间的人数；（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取人，求这人中至少有人成绩在的概率；（III）若小明同学选择物理、化学和地理为选考科目，其中物理、化学成绩获得等的概率都是，地理成绩获得等的概率是，且三个科目考试的成绩相互独立.记表示小明选考的三个科目中成绩获得等的科目数，求的分布列.（附：若随机变量，则，，.）19．（12分）已知函数（1）若在其定义域上是单调增函数，求实数的取值集合；（2）当时，函数在有零点，求的最大值20．（12分）已知函数是定义在上的奇函数.（1）求a的值：（2）求函数的值域；（3）当时，恒成立，求实数m的取值范围.21．（12分）已知，其前项和为.（1）计算；（2）猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明.22．（10分）如图，在中，，点在线段上.过点作交于点，将沿折起到的位置（点与重合），使得.（Ⅰ）求证：.（Ⅱ）试问：当点在线段上移动时，二面角的平面角的余弦值是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

问题转化为C到直线l的距离d⩽4.【题目详解】如图所示：过P作圆C的切线PR，切点为R，则∠CPQ⩽∠CPR，∴sin60°⩽sin∴CPmin⩽4，则C到直线l∴|-m-0-5m+4|m2故选：C．【题目点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．2、A【解题分析】分析：先求导得到，转化为方程在（0,2）内有两个相异的实数根，再利用根的分布来解答得解.详解：由题得，原命题等价于方程在（0,2）内有两个相异的实数根，所以.故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查导数的应用，考查导数探究函数的极值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题有两个关键，其一是转化为方程在（0,2）内有两个相异的实数根，其二是能准确找到方程在（0,2）内有两个相异的实数根的等价不等式组,它涉及到二次方程的根的分布问题.3、B【解题分析】

设曲线上任意一点的坐标为，利用点到直线的距离公式结合辅助角公式可得出曲线上的点到直线的距离的最小值.【题目详解】设曲线上任意一点的坐标为，所以，曲线上的一点到直线的距离为，当时，取最小值，且，故选：B.【题目点拨】本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.4、B【解题分析】分析：求出A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，设P（1+，），点P到直线x+y+2=0的距离：d=，∈，由此能求出△ABP面积的取值范围．详解：∵直线x+y+3=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，∴令x=0，得y=﹣3，令y=0，得x=﹣3，∴A（﹣3，0），B（0，﹣3），|AB|=，∵点P在圆（x﹣1）2+y2=2上，∴设P（1+，），∴点P到直线x+y+3=0的距离：d=，∵sin∈[﹣1，1]，∴d=，∴△ABP面积的最小值为△ABP面积的最大值为故答案为：B．点睛：（1）本题主要考查直线与圆的位置关系和三角形的面积，考查圆的参数方程和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是设点P（1+，），利用圆的参数方程设点大大地提高了解题效率.5、B【解题分析】，，，∴“”是“”的充分不必要条件．故选：．6、A【解题分析】

根据给定的程序框图，执行循环体，逐次计算、判断，即可得到输出的结果，得到答案．【题目详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得：第一次循环：，满足判断条件，；第二次循环：，满足判断条件，；第三次循环：，满足判断条件，；第四次循环：，满足判断条件，；第五次循环：，满足判断条件，；第六次循环：，不满足判断条件，输出结果，故选A．【题目点拨】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．7、B【解题分析】

函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得，再将所得图像向左平移个单位，得，选B.8、B【解题分析】方程，可化简为：，即.整理得，表示圆心为(0,，半径为的圆.故选B.9、C【解题分析】

数列，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项，得通项公式，从而得结论．【题目详解】最下层的“浮雕像”的数量为，依题有：公比，解得，则，，从而，故选C．【题目点拨】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．10、A【解题分析】分析：根据的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．详解：用相关指数的值判断模型的拟合效果时，当的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大．故选A．点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．11、B【解题分析】分析：先求用电量在320度以上的概率，再求用电量在320度以上的居民户数.详解：由题得所以，所以，所以求用电量在320度以上的居民户数为1000×0.023=23.故答案为B.点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)对于正态分布曲线的概率的计算，不要死记硬背，要结合其图像分析求解.12、A【解题分析】

本题首先要对三角函数进行化简，再通过α-β的最小值是π2推出函数的最小正周期，然后得出ω【题目详解】fx==3sin=2sin再由fα=2，fβ=0，α-β的最小值是fx=2sinx+x∈2kπ-2π3【题目点拨】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】分析：由题得曲线与所围成的封闭图形的面积为，再计算得解.详解：因为，所以.联立所以曲线与所围成的封闭图形的面积为，所以.故答案为：点睛：（1）本题主要考查定积分求面积和微积分基本原理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力计算能力.(2)）图中阴影部分的面积S=14、1【解题分析】

根据题意，分2步分析：①将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，②再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），由分步计数原理计算可得答案．【题目详解】根据题意，分2步分析：①将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，②再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），有种排法，则后六场的排法有=1（种），故答案为：1．【题目点拨】（1）本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常见解法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.15、【解题分析】根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X相应为4，6，8，1．∴.16、2【解题分析】分析：由，可得，直接利用对数运算法则求解即可得，计算过程注意避免计算错误.详解：由，可得，则，故答案为.点睛：本题主要考查指数与对数的互化以及对数的运算法则，意在考查对基本概念与基本运算掌握的熟练程度.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）直线的直角坐标方程为，的普通方程；（2）.【解题分析】

（1）利用将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程.利用将曲线的参数方程转化为直角坐标方程.（2）先求得点的坐标，写出直线的参数方程并代入的直角坐标方程，写出韦达定理，利用直线参数的几何意义求解出所要求的表达式的值.【题目详解】解：（1）因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为.因为曲线的参数方程为（为参数），所以曲线的普通方程.（2）由题可知，所以直线的参数方程为，（为参数），代入，得.设，两点所对应的参数分别为，，则，..【题目点拨】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查直线参数方程的几何意义，属于中档题.18、（Ⅰ）1227人（Ⅱ）（III）见解析【解题分析】

（Ⅰ）根据正态分布的区间及对称性质，利用原则及数据即可得化学原始分在区间的概率，进而求得改区间内的人数；（Ⅱ）先求得再区间内学生所占比例，即可得随机抽取1人成绩在该区间的概率，由独立重复试验的概率公式，即可求得人中至少有人成绩在改区间的概率；（III）根据题意可知随机变量的可能取值为.根据所给各科目获得等的概率，由独立事件的乘法公式可得各可能取值对应的概率，即可得分布列.【题目详解】（Ⅰ）因为化学考试原始分基本服从正态分布，即，所以，所以化学原始分在区间的人数为人.（Ⅱ）由题意得，位于区间内所占比例为，所以随机抽取人，其成绩在内的概率为，所以随机抽取人，相当于进行次独立重复试验.设这人中至少有人成绩在为事件，则.（III）随机变量的可能取值为.则，，，.所以的分布列为【题目点拨】本题考查了正态分布曲线的性质及综合应用，独立重复试验概率的求法，独立事件概率乘法公式的应用，离散型随机变量分布列的求法，属于中档题.19、（1）；（2）最大值为【解题分析】

（1）确定函数定义域，求导，导函数大于等于0恒成立，利用参数分离得到答案.（2）当时，代入函数求导得到函数的单调区间，依次判断每个区间的零点情况，综合得到答案.【题目详解】解：（1）的定义域为在上恒成立，即即实数的取值集合是（2）时，，即在区间和单调增，在区间上单调减.在最小值为且在上没有零点.要想函数在上有零点，并考虑到在区间上单调且上单减，只须且，易检验当时，且时均有，即函数在上有上有零点.的最大值为【题目点拨】本题考查了函数单调性，恒成立问题，参数分离法，零点问题，综合性强难度大，需要灵活运用导数各个知识点.20、（1）（2）（3）【解题分析】

（1）利用函数是奇函数的定义求解a即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【题目详解】（1）∵是R上的奇函数，∴即：.即整理可得.（2）在R上递增∵，,∴函数的值域为.（3）由可得，，.当时，令），则有，函数在1≤t≤3上为增函数，∴，，故实数m的取值范围为【题目点拨】本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.21、（1）；（2），证明见解析.【解题分析】

（1）由题可得前4项，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四项和的规律可猜想，由数学归纳法，即可做出证明，得到结论。【题目详解】（1）计算，.（2）猜想.证明：①当时，