2024届上海市虹口区数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析

2024届上海市虹口区数学高二下期末质量跟踪监视试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面四边形，，，则四边形的面积为（）A． B． C．15 D．2．已知变量x，y呈现线性相关关系，回归方程为，则变量x，y是（）A．线性正相关关系 B．线性负相关关系C．由回归方程无法判断其正负相关关系 D．不存在线性相关关系3．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22，30)内的概率为()A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.64．如图所示正方形，、分别是、的中点，则向正方形内随机掷一点，该点落在阴影部分内的概率为（）A． B． C． D．5．设是等差数列.下列结论中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．某校高三(1)班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人B．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°C．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D．在数列{an}中，a1＝1，an＝12(an－1＋1an-1)(n≥2)，由此归纳出{a7．设i为虚数单位，复数等于()A． B．2i C． D．08．已知函数，若，均在［1，4］内，且，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．执行如图所示的程序框图，若输入的为2，则输出的值是（）A．2 B．1 C． D．-110．若随机变量服从正态分布，则（）附：，．A．1．3413 B．1．2718 C．1．1587 D．1．122811．已知是抛物线上一点，则到抛物线焦点的距离是（）A．2 B．3 C．4 D．612．某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据：根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为，则这组样本数据的回归直线方程是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．求经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距2倍的直线方程为________.14．已知，函数，若在区间上单调递减，则的取值范围是____．15．用长度分别为的四根木条围成一个平面四边形，则该平面四边形面积的最大值是____.16．数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若记数据，，，，的标准差为，数据，，，，的标准差为，则________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知命题方程表示双曲线，命题点在圆的内部.若为假命题，也为假命题，求的取值范围.18．（12分）已知向量,满足，．(1)求关于k的解析式f(k)．(2)若，求实数k的值．(3)求向量与夹角的最大值．19．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了月日至月日的每天昼夜温差与实验室每天每颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期月日月日月日月日月日温差发芽数（颗）该农科所确定的研究方案是：先从这组数据中选取组，用剩下的组数据求线性回归方程，再对被选取的组数据进行检验.（1）求选取的组数据恰好是不相邻两天数据的概率；（2）若选取的是月日与月日的数据，请根据月日至月日的数据求出关于的线性回归方程；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过颗.则认为得到的线性回归方程是可靠的.试问（2）中所得到的线性回归方程是可靠的吗？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.20．（12分）如图，四边形中，，，，为边的中点，现将沿折起到达的位置（折起后点记为）．（1）求证：；（2）若为中点，当时，求二面角的余弦值．21．（12分）已知集合，．（1）求；（2）若集合，求的取值范围；22．（10分）已知函数对任意实数都有，且.（I）求的值，并猜想的表达式；（II）用数学归纳法证明（I）中的猜想.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

首先根据得到，再求四边形的面积即可.【题目详解】因为，所以，所以四边形的面积.故选：C【题目点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于简单题.2、B【解题分析】

根据变量x，y的线性回归方程的系数0，判断变量x，y是线性负相关关系．【题目详解】根据变量x，y的线性回归方程是1﹣2x，回归系数2＜0，所以变量x，y是线性负相关关系．故选：B．【题目点拨】本题考查了由线性回归方程判断变量是否正负相关问题，是基础题目．3、B【解题分析】区间[22,31)内的数据共有4个，总的数据共有11个，所以频率为1．4,故选B．4、D【解题分析】

根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率.【题目详解】根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为，故选D.【题目点拨】本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.5、C【解题分析】

先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误，D选项，故D错，下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则，故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.6、B【解题分析】演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理．其形式在高中阶段主要学习了三段论：大前提、小前提、结论，由此对四个命题进行判断得出正确选项．

A选项“高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人”是归纳推理；故错；

B选项是演绎推理，大前提是“两条直线平行，同旁内角互补，”，小前提是“∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角”，结论是“∠A+∠B=180°”，故正确；

C选项“由平面三角形的性质，推出空间四边形的性质”是类比推理；故错；

D选项“在数列an中，a1=1，an＝12(an－1＋1an－17、B【解题分析】

利用复数除法和加法运算求解即可【题目详解】故选B【题目点拨】本题考查复数的运算，准确计算是关键，是基础题8、D【解题分析】

先求导，利用函数的单调性，结合，确定;再利用，即，可得，，设，，确定在上递增，在有零点，即可求实数的取值范围．【题目详解】解：，当时，恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个相等的函数值．故；由题设，则＝考虑到，即，设，，则在上恒成立，在上递增，在有零点，则，，故实数的取值范围是．【题目点拨】本题考查了通过构造函数，转化为函数存在零点，求参数取值范围的问题，本题的难点是根据已知条件，以及，变形为，，然后构造函数转化为函数零点问题.9、A【解题分析】

根据给定的程序框图，执行循环体，逐次计算、判断，即可得到输出的结果，得到答案．【题目详解】由题意，执行如图所示的程序框图，可得：第一次循环：，满足判断条件，；第二次循环：，满足判断条件，；第三次循环：，满足判断条件，；第四次循环：，满足判断条件，；第五次循环：，满足判断条件，；第六次循环：，不满足判断条件，输出结果，故选A．【题目点拨】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10、C【解题分析】

根据正态曲线的对称性，以及，可得结果.【题目详解】，故选：C【题目点拨】本题考查正态分布，重点把握正态曲线的对称性，属基础题.11、B【解题分析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离．详解：由抛物线方程可得抛物线中，则利用抛物线的定义可得点到抛物线焦点的距离．故选B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12、C【解题分析】由题意可知，，线性回归方程过样本中心，所以只有C选项满足．选C.【题目点拨】线性回归方程过样本中心，所以可以代入四个选项进行逐一检验．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据截距是否为零分类求解.【题目详解】当在轴上的截距为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以；当在轴上的截距不为零时，所求直线方程可设为，因为过点，所以；所以直线方程为【题目点拨】本题考查根据截距求直线方程，考查基本分析求解能力，属中档题.14、【解题分析】

根据已知可得，恒成立，根据二次函数的图像，列不等式组解决问题.【题目详解】,在区间上单调递减，，解得.故填：.【题目点拨】本题考查了已知函数在某区间的单调性求参数的取值范围，根据函数是单调递减，转化为恒成立，根据二次函数的图像列不等式组，得到参数的取值范围，一般恒成立的问题也可转化为参变分离的方法，转化为求函数的最值问题.15、【解题分析】

在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝1α，利用余弦定理可得SABCD1+（（a1+d1﹣b1﹣c1）1＝（ad+bc）1﹣abcdcos1α（ad+bc）1，设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6，代入计算可得所求最大值．【题目详解】在四边形ABCD中，设AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，A+C＝1α，由SABCD＝S△BAD+S△BCD＝adsinA+bcsinC，①在△ABD中，BD1＝a1+d1﹣1adcosA，在△BCD中，BD1＝b1+c1﹣1bccosC，所以有a1+d1﹣b1﹣c1＝1adcosA﹣1bccosC，（a1+d1﹣b1﹣c1）＝adcosA﹣bccosC，②①1+②1可得SABCD1+（（a1+d1﹣b1﹣c1）1＝（a1d1sin1A+b1c1sin1C+1abcdsinAsinC）+（a1d1cos1A+b1c1cos1C﹣1abcdcosAcosC）＝[a1d1+b1c1﹣1abcdcos（A+C）]＝[（ad+bc）1﹣1abcd﹣1abcdcos1α]＝（ad+bc）1﹣abcdcos1α（ad+bc）1．当α＝90°，即四边形为圆内接四边形，此时cosα＝0，SABCD取得最大值为．由题意可设a＝3，b＝4，c＝5，d＝6则该平面四边形面积的最大值为S＝6（cm1），故答案为：6．【题目点拨】本题考查四边形的面积的最值求法，运用三角形的面积公式和余弦定理，以及化简变形，得到四边形为圆内接四边形时面积取得最大值，是解题的关键，属于难题．16、2【解题分析】

根据等差数列性质分析两组数据之间关系，再根据数据变化规律确定对应标准差变化规律，即得结果.【题目详解】因为数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，所以，因此，即故答案为：2【题目点拨】本题考查等差数列和项性质以及数据变化对标准差的影响规律，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解题分析】【试题分析】先分别确定命题“方程表示双曲线”中的的取值范围和“命题点在圆的内部”中的取值范围，再依据建立不等式组求解：解：因为方程，表示双曲线，故，所以或，因为点在圆的内部，故，解得：，所以，由为假命题，也为假命题知假、真，所以的取值范围为：.18、（1）（2）（3）【解题分析】

（1）根据向量的数量积即可．（2）根据向量平行时的条件即可．（3）根据向量的夹角公式即可．【题目详解】(1)由已知，有，．又因为，得，所以，即．(2)因为，，所以，则与同向．因为，所以，即，整理得，所以，所以当时，．(3)设与的夹角为θ，则．当，即时，取最小值，此时．【题目点拨】本题主要考查了向量的平以及数量积和夹角，属于基础题．19、（1）；（2）；（3）见解析【解题分析】分析：（1）根据题意列举出从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是可能出现的，满足条件的事件包括的基本事件有6种．根据等可能事件的概率做出结果．

（2）根据所给的数据，先求出，，即求出本组数据的样本中心点，根据最小二乘法求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．

（3）根据估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，就认为得到的线性回归方程是可靠的，根据求得的结果和所给的数据进行比较，得到所求的方程是可靠的．详解：(1)设“选取的2组数据恰好是不相邻两天的数据”为事件A.从5组数据中选取2组数据共有10种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，其中数据为12月份的日期数．每种情况都是等可能出现的，事件A包括的基本事件有6种．∴.∴选取的2组数据恰好是不相邻两天数据的概率是.(2)由数据可得，.∴，.∴y关于x的线性回归方程为.(3)当x＝10时，，|22－23|<2；同理，当x＝8时，，|17－16|<2.∴(2)中所得到的线性回归方程是可靠的．点睛：本题考查等可能事件的概率，考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，考查估计验算所求的方程是否是可靠的，属中档题.．20、