安徽合肥市华泰高中2024届数学高二第二学期期末检测试题含解析

安徽合肥市华泰高中2024届数学高二第二学期期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（）A． B． C． D．2．设随机变量ξ~B(2,p), η~B(4,p)，若P(ξ≥1)=5A．1127 B．3281 C．653．已知，命题“若，则.”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A．，则B．，则C．，则D．，则5．外接圆的半径等于1，其圆心O满足，则向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．36．下列命题是真命题的是（）A．，B．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件C．“”是“”的充分不必要条件D．的充要条件是7．已知命题，命题，则（）A．命题是假命题 B．命题是真命题C．命题是真命题 D．命题是假命题8．指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数，关于上面推理正确的说法是（）A．推理的形式错误 B．大前提是错误的 C．小前提是错误的 D．结论是真确的9．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017201620152014……654321403340314029…………11975380648060………………201612816124……362820………A． B．C． D．10．若集合，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．11．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．731512．一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度（的单位：，的单位：）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位：）是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设函数，函数，若对于任意的，总存在，使得，则实数m的取值范围是_____．14．如图，一个底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为的实心铁球，水面高度恰好升高,则____________．15．某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____．16．已知，且，则的最小值是______________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某教师调查了名高三学生购买的数学课外辅导书的数量，将统计数据制成如下表格：男生女生总计购买数学课外辅导书超过本购买数学课外辅导书不超过本总计（Ⅰ）根据表格中的数据，是否有的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别相关；（Ⅱ）从购买数学课外辅导书不超过本的学生中，按照性别分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人询问购买原因，求恰有名男生被抽到的概率.附：，.18．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．19．（12分）某中学学生会由8名同学组成，其中一年级有2人，二年级有3人，三年级有3人，现从这8人中任意选取2人参加一项活动.（1）求这2人来自两个不同年级的概率；（2）设表示选到三年级学生的人数，求的分布列和数学期望.20．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以轴正半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，点的极坐标为，过点的直线与曲线相交于，两点.（1）若直线的斜率，求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）求的值.21．（12分）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，，（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）定义：曲线在点处的切线方程为.若抛物线上存在点（不与原点重合）处的切线交椭圆于、两点，线段的中点为.直线与过点且平行于轴的直线的交点为，证明：点必在定直线上.22．（10分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析。经数据处理后,得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中,身不低于1.69米的学生只有16名,其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.(I)求该市高一学生身高高于1.70米的概率,并求图1中的值.(II)若从该市高一学生中随机选取3名学生,记为身高在的学生人数,求的分布列和数学期望；(Ⅲ)若变量满足且,则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】试题分析：由题可先算出10个元素中取出3个的所有基本事件为；种情况；而三种粽子各取到1个有种情况，则可由古典概率得；考点：古典概率的算法．2、A【解题分析】

利用二项分布概率计算公式结合条件Pξ≥1=59计算出【题目详解】由于ξ~B2,p，则Pξ≥1=1-P所以，η~B4,1=1127【题目点拨】本题考查二项分布概率的计算，解题的关键在于找出基本事件以及灵活利用二项分布概率公式，考查计算能力，属于中等题。3、C【解题分析】

先写出原命题的逆命题，否命题，再判断真假即可,这里注意的取值,在判断逆否命题的真假时，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性判断原命题的真假即可.【题目详解】解：逆命题:设，若，则a＞b,由可得，能得到a＞b，所以该命题为真命题;否命题设，若a≤b，则,由及a≤b可以得到，所以该命题为真命是题；因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以只需判断原命题的真假即可，当时，，所以由a＞b得到，所以原命题为假命题，即它的逆否命题为假命题;故为真命题的有2个.故选C.【题目点拨】本题主要考查四种命题真假性的判断问题，由题意写出原命题的逆命题，否命题并判断命题的真假是解题的关键.4、D【解题分析】

根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理依次判断各个选项即可.【题目详解】两平行平面内的直线的位置关系为：平行或异面，可知错误；且，此时或，可知错误；，，，此时或，可知错误；两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条必垂直于该平面，正确.本题正确选项：【题目点拨】本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查学生对于定理的掌握程度，属于基础题.5、C【解题分析】分析：先根据题意画出图形，由已知条件可知三角形为直角三角形，且，再根据直角三角形射影定理可求得所求投影的值.详解：根据题意画出图像如下图所示，因为，所以为中点，所以是圆的直径，所以.由于，所以三角形为等边三角形，所以，根据直角三角形射影定理得，即.故选C.点睛：本小题主要考查圆的几何性质，考查向量加法的几何意义，考查直角三角形射影定理等知识.属于中档题.6、B【解题分析】

取特殊值来判断A选项中命题的正误，取特殊数列来判断B选项中命题的正误，求出不等式，利用集合包含关系来判断C选项命题的正误，取特殊向量来说明D选项中命题的正误．【题目详解】对于A选项，当时，，所以，A选项中的命题错误；对于B选项，若，则等比数列的公比为，但数列是递减数列，若，等比数列是递增数列，公比为，所以，“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，B选项中的命题正确；对于C选项，解不等式，得或，由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要条件，C选项中的命题错误；对于D选项，当时，，但与不一定垂直，所以，D选项中的命题错误．故选B.7、C【解题分析】试题分析：先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．故答案为C．考点：全称命题；复合命题的真假．8、B【解题分析】分析:指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。详解：指数函数是R上的增函数，这个说法是错误的，若,则是增函数，若,则是减函数所以大前提是错误的。所以B选项是正确的。点睛：本题主要考查指数函数的单调性和演绎推理，意在考查三段论的推理形式和指数函数的图像性质，属于基础题。9、B【解题分析】

数表的每一行都是等差数列，从右到左，第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论．【题目详解】由题意，数表的每一行都是等差数列，从右到左，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故从右到左第1行的第一个数为：2×2﹣1，从右到左第2行的第一个数为：3×20，从右到左第3行的第一个数为：4×21，…从右到左第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，则M=（1+2017）•22015=2018×22015故答案为：B．【题目点拨】本题主要考查归纳与推理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10、C【解题分析】

由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可．【题目详解】求解二次不等式可得：，则．据此可知：，选项A错误；，选项B错误；且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误．本题选择C选项，故选C．【题目点拨】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．11、D【解题分析】原式等于，故选D.12、B【解题分析】

先计算汽车停止的时间，再利用定积分计算路程.【题目详解】当汽车停止时，，解得：或（舍去负值），所以.故答案选B【题目点拨】本题考查了定积分的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值，分别求出两个函数的最小值，即可求出m的取值范围.【题目详解】由题意可知，在上的最小值大于在上的最小值.，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.，即函数在上的最小值为-1.函数为直线，当时，，显然不符合题意；当时，在上单调递增，的最小值为，则，与矛盾；当时，在上单调递减，的最小值为，则，即，符合题意.故实数m的取值范围是.【题目点拨】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题，考查了函数的单调性的应用，考查了函数的最值，属于中档题.14、【解题分析】试题分析：由题可知，小球的体积等于水面上升的的体积，因此有，化简可得，；考点：简单几何体的体积公式15、1【解题分析】

由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数．【题目详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为，故该学校的行政人员人数是71，故答案为1．【题目点拨】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题．16、【解题分析】

有错，可以接着利用基本不等式解得最小值.【题目详解】∵，∴，，当且仅当时不等式取等号，∴，故的最小值是．【题目点拨】本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，巧用“”，是解决本题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解题分析】试题分析：（I）根据表格数据利用公式：求得的值，与邻界值比较，即可得到结论；（II）利用列举法，确定基本事件的个数以及满足条件的事件个数，利用古典概型概率公式可求出恰有名男生被抽到的概率.试题解析：（Ⅰ）的观测值，故有的把握认为购买数学课外辅导书的数量与性别有关.（Ⅱ）依题意，被抽到的女生人数为，记为，；男生人数为，记为，，，，则随机抽取人，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个.满足条件的有，，，，，，，，，，，，共个，故所求概率为18、（1），（2），最小值为−1．【解题分析】

（Ⅰ）根据等差数列的求和公式，求得公差d，即可表示出的通项公式；（Ⅱ）根据等差数列的求和公式得Sn=n2-8n，根据二次函数的性质，可得Sn的最小值.【题目详解】（I）设的公差为d，由题意得．由得d=2．所以的通项公式为．（II）由（I）得．所以当n=4时，取得最小值，最小值为−1．【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和公式，考查了等差数列前n项和的最值问题；求等差数列前n项和的最值有两种方法：①函数法，②邻项变号法.19、(1).(2)见解析.【解题分析】

（1）正难则反，先求这2人来自同一年级的概率，再用1减去这个概率，即为这2人来自两个不同年级的概率；（2）先求X的所有可能的取值，为0,1,2，再分别求时对应的概率P进而得到分布列，利用计算可得数学期望。【题目详解】（1）设事件表示“这2人来自同一年级”,这2人来自两个不同年级的概率为.（2）随机变量的可能取值为0,1,2,,,所以的分布列为012【题目点拨】本题考查古典概型的概率求解、离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，属于基础题型。20、（1）,；（2）7.【解题分析】

（1）先求出直线的直角坐标方程，再转换为直线的极坐标方程即可（2）利用直线的参数方程及参数的几何意义求解【题目详解】（1）将点的极坐标化为直角坐标为，因为直线的斜率，所以直线的直角坐标方程为，由可知直线的极坐标方程为.因为（为参数），所以曲线的普通方程为.（2）直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），代入，整理得，设点，对应的参数分别为，，则，.【题目点拨】本题考查坐标系中点的极坐标与直角坐标的转换、直线直角坐标方程与极坐标方程的转化及利用直线参数方程中参数的几何意义求值21、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）由得出，再由得出，求出、的值，从而得出椭圆的标准方程；（2）设点的坐标为，根据中定义得出直线的方程，并设点、，，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用中点坐标公式求出点的坐标，得出直线的方程与的方程联立，求出点的坐标，可得出点所在的定直线的方程.【题目详解】（1）由，可知，即.，，，可得，联立.得，则，所以，所以椭圆的方程为；（2）设点，则由定义可知，过抛物线上任一点处的切线方程为，所以.设、，.联