北京市第十二中2024届数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题含解析

北京市第十二中2024届数学高二下期末质量跟踪监视模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．一物体在力（单位）的作用下沿与力相同的方向，从处运动到处（单位，则力所做的功为（）A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦2．l：与两坐标轴所围成的三角形的面积为A．6 B．1 C． D．33．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误 B．推理形式错误 C．小前提错误 D．非以上错误4．已知随机变量，若，则，分别为（）A．和 B．和 C．和 D．和5．某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A．60 B．48 C．36 D．246．已知数列，如果，，，……，，……，是首项为1，公比为的等比数列，则=A． B． C． D．7．函数y=12A．(0,1) B．(0,1)∪(-∞,-1) C．(-∞,1) D．(-∞,+∞)8．若函数＝sinxcosx,x∈R,则函数的最小值为A． B． C． D．9．已知函数，若且对任意的恒成立，则的最大值是（）A．2 B．3 C．4 D．510．已知命题p：函数的值域为R；命题q：函数是R上的减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．或11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为A． B． C． D．12．“石头、剪刀、布”，又称“猜丁壳”，是一种流行多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本、朝鲜等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界．其游戏规则是：出拳之前双方齐喊口令，然后在语音刚落时同时出拳，握紧的拳头代表“石头”，食指和中指伸出代表“剪刀”，五指伸开代表“布”．“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”．若所出的拳相同，则为和局．小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上加上的项为_______．14．已知实数满足，则的最大值为____．15．在复数集，方程的解为________.16．从集合的子集中选出个不同的子集，需同时满足以下两个条件：①、都至少属于其中一个集合；②对选出的两个子集、，必有或．那么，共有______种不同的选法．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加.为了制定提升农民年收入、实现2020年脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入元（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：（i）在扶贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每位农民的年收入互相独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附参考数据：，若随机变量X服从正态分布，则，，.18．（12分）过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最小值及相应的值.19．（12分）已知函数fx（1）讨论函数fx（2）当n∈N*时，证明：20．（12分）在中，角的对边分别是，已知，，且．（1）求的面积；（2）若角为钝角，点为中点，求线段的长度．21．（12分）已知圆C经过点,且圆心C在直线上，又直线与圆C相交于P,Q两点.（1）求圆C的方程；（2）若，求实数的值.22．（10分）为发展业务，某调研组对，两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内个人口超过万的超大城市和（）个人口低于万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取个城市，全是小城市的概率为.（1）求的值；（2）若一次抽取个城市，则：①假设取出小城市的个数为，求的分布列和期望；②若取出的个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

本题是一个求变力做功的问题，可以利用积分求解，由题意，其积分区间是，，被积函数是力的函数表达式，由积分公式进行计算即可得到答案【题目详解】由题意得：．故选：C．【题目点拨】本题考查定积分的应用，物理中的变力所做的功用定积分求解是定积分在物理中的重要应用，正确解答本题的关键是理解功与定积分的对应．2、D【解题分析】

先求出直线与坐标轴的交点，再求三角形的面积得解.【题目详解】当x=0时，y=2,当y=0时，x=3,所以三角形的面积为.故选：D【题目点拨】本题主要考查直线与坐标轴的交点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.3、B【解题分析】

根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误.【题目详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误.本题正确选项：【题目点拨】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题.4、C【解题分析】

利用二项分布的数学期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性质可求出和的值.【题目详解】，，.，，由期望和方差的性质可得，.故选：C.【题目点拨】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．5、D【解题分析】

由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为，得解．【题目详解】先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为，故选：D．【题目点拨】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．6、A【解题分析】分析：累加法求解。详解：，，解得点睛：形如的模型，求通项公式，用累加法。7、A【解题分析】

试题分析：令f'x=x-考点：函数的单调区间.8、B【解题分析】∵函数，∴函数的最小值为故选B9、B【解题分析】分析：问题转化为对任意恒成立，求正整数的值．设函数，求其导函数，得到其导函数的零点位于内，且知此零点为函数的最小值点，经求解知，从而得到0，则正整数的最大值可求．．详解：因为，所以对任意恒成立，

即问题转化为对任意恒成立．

令，则令，则，

所以函数在上单调递增．

因为

所以方程在上存在唯一实根，且满足．

当时，，

即，当时，，即，

所以函数在上单调递减，

在上单调递增．

所以所以

因为），

故整数的最大值是3，

故选：B．点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，如何求解函数的最小值，属难题．10、C【解题分析】

分别求命题为真命题时的范围，命题为真命题时的范围；根据或为真命题，且为假命题，得到命题，中有一个真命题，一个假命题，分命题为真命题且命题为假命题和命题为真命题且命题为假命题两类求出的范围．【题目详解】解：命题为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数的判别式，从而；命题为真时，解得．若或为真命题，且为假命题，故和中只有一个是真命题，一个是假命题．若为真，为假时，，无解；若为假，为真时，，解得；综上可得，故选：．【题目点拨】本题考查根据复合命题的真假得到构成其简单命题的真假情况，属于中档题．11、D【解题分析】分析：设，则根据平面几何知识可求，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在中，设，则，又由椭圆定义可知则离心率，故选D.点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.12、B【解题分析】根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小军胜大明、小军与大明和局和小军输给大明的概率都为，∴小军和大年两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛，则小军和大年比赛至第四局小军胜出，由指前3局中小军胜2局，有1局不胜，第四局小军胜，∴小军和大年比赛至第四局小军胜出的概率是：.故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

分n=k和n=k+1写出等式左边的项，对比可得增加的项。【题目详解】当n=k时，左边是，当时左边是,所以增加的项为，填。【题目点拨】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．14、2【解题分析】

根据约束条件得到可行域，令，则取最大值时，在轴截距最大；通过平移可知过时即可，代入求得最大值.【题目详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：令，则取最大值时，在轴截距最大通过平移可知当过时，在轴截距最大本题正确结果：【题目点拨】本题考查线性规划求解最值的问题，关键是将问题转化为截距最值的求解问题，属于常考题型.15、【解题分析】

设复数是方程的解，根据题意列出等式，求解，即可得出结果.【题目详解】设复数是方程的解，则，即，所以，解得，所以.故答案为【题目点拨】本题主要考查在复数集上求解方程，熟记复数运算法则即可，属于常考题型.16、【解题分析】

由题意可知，集合和可以互换，只需考查，由题意可知，分为二元集、三元集和四元集三种情况，利用真子集的个数公式可得出对应的集合的个数，然后利用分类计数原理可得出答案.【题目详解】由于或，集合和可以互换，现考查，且，则，由题意知，.①当为二元集时，，，则集合的个数为；②当为三元集时，若，，则集合的个数为；若，同理可知符合条件的集合也有个；③若为四元集时，，，则集合的个数为.综上所述，共有种.故答案为：.【题目点拨】本题考查了集合的化简与运算以及集合真子集个数的求法，同时也考查了分类讨论思想的应用，属于难题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）17.40千元；（2）（i）14.77千元.（ii）978人.【解题分析】

（1）求解每一组数据的组中值与频率的乘积，将结果相加即可得到对应的；（2）（i）根据的数值判断出年收入的取值范围，从而可计算出最低年收入；（ii）根据的数值判断出每个农民年收入不少于千元的概率，然后根据二项分布的概率计算公式计算出“恰有个农民年收入不少于”中的最大值即可.【题目详解】解：（1）千元故估计50位农民的年平均收入为17.40千元；（2）由题意知（i），所以时，满足题意，即最低年收入大约为14.77千元.（ii）由，每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.9773，记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，则，其中，于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为，从而由得，而，所以，当时，，当时，，由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.【题目点拨】本题考查频率分布直方图、正态分布、二项分布概率计算，属于综合题型，对于分析和数字计算的能力要求较高，难度较难.判断独立重复试验中概率的最值，可通过作商的方法进行判断.18、最小值为，此时α＝.【解题分析】设直线为，代入曲线并整理得则且，解得，所以当时，即或时，的最小值为，此时或．19、（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析【解题分析】

（1）利用导数求函数单调区间的套路，确定定义域，求导，解含参的不等式；（2）由（1）赋值放缩可以得到一函数不等式，再赋值将函数不等式转化为数列不等式，采用累加法即可证明不等式。【题目详解】（1）解：因为f'x①当a≤0时，总有f'x所以fx在0,+∞上单调递减.②当a>0时，令2ax-1x>0故x>12a时，f'x>0，所以fx同理2ax-1x<0时，有f'x<0，所以（2）由（1）知当a>0时，fx若fxmin=0，则1因为fx≥fx当n∈N*时，取x=n+1所以2故22【题目点拨】本题主要考查了导数在函数中的应用，利用导数求函数的单调区间，涉及到含参不等式的讨论，以及利用放缩法证明数列不等式，意在考查学生逻辑推理和数学运算能力。20、（1）；（2）【解题分析】

（1）由，根据正弦定理可证得，，利用面积公式求得结果；（2）运用公式即可求得结果.【题目详解】（1），，（2）由为钝角可得，【题目点拨】本题主要考查的知识点是运用