河北省遵化市堡子店中学2024届高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题含解析

河北省遵化市堡子店中学2024届高二数学第二学期期末教学质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．下列关于独立性检验的叙述：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；②独立性检验依据小概率原理；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，与有关系的把握程度就越大.其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．42．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．2 B．4 C．6 D．83．某市交通部门为了提高某个十字路口通行效率，在此路口增加禁止调头标识（即车辆只能左转、右转、直行），则该十字路口的行车路线共有（）A．24种 B．16种 C．12种 D．10种4．已知定义在上的偶函数在上单调递增，则函数的解析式不可能是()A． B． C． D．5．已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为

A． B． C． D．6．已知为自然对数的底数，则函数的单调递增区间是（）A． B． C． D．7．从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为（）A． B． C． D．8．下列命题错误的是A．若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行B．若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面C．若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直D．若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交9．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A． B． C． D．10．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．11．“若，则，都有成立”的逆否命题是（）A．有成立，则 B．有成立，则C．有成立，则 D．有成立，则12．在某次体检中，学号为（）的四位同学的体重是集合中的元素，并满足，则这四位同学的体重所有可能的情况有（）A．55种 B．60种 C．65种 D．70种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某种饮料每箱装6听，若其中有2听不合格，质检员从中随机抽出2听，则含有不合格品的概率为________.14．在平面直角坐标系中,已知,,两曲线与在区间上交点为.若两曲线在点处的切线与轴分别相交于两点,则线段的为____________.15．若复数为纯虚数，则实数=______.16．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有__________个．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若时，函数恰有一个零点，求实数的值.（3）已知数列满足，其前项和为，求证：（其中）.18．（12分）如图四棱锥中，底面是正方形，，，且，为中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．19．（12分）设函数.（1）解不等式；（2）求函数的最大值.20．（12分）在直角坐标系中，曲线（为参数，），曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，记曲线与的交点为.（Ⅰ）求点的直角坐标；（Ⅱ）当曲线与有且只有一个公共点时，与相较于两点，求的值.21．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）设是棱上的一点，当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.22．（10分）如图，已知点是椭圆上的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率都存在．（1）若直线过原点，求证：为定值；（2）若直线不过原点，且，试探究是否为定值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】分析：根据独立性检验的定义及思想，可得结论．详解：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；正确；②独立性检验依据小概率原理；正确；③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；正确；④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，与有关系的把握程度就越大.故④错误.故选C.点睛：本题考查了独立性检验的原理，考查了推理能力，属于基础题．2、B【解题分析】

由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半．【题目详解】由题意，直观图如图所示，由图可知该几何体的体积为为正方体的一半，即为2×2×2＝1．故选B．【题目点拨】本题考查由三视图求体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．3、C【解题分析】

根据每个路口有种行车路线，一个十字路口有个路口，利用分步乘法计数原理即可求解.【题目详解】每个路口有种行车路线，一个十字路口有个路口，故该十字路口行车路线共有（种）故选：C【题目点拨】本题考查了分布乘法计数原理，属于基础题.4、D【解题分析】

根据奇偶函数定义域关于原点对称求得的值.在根据单调性判断出正确选项.【题目详解】由于函数为偶函数，故其定义域关于原点对称，即，故函数的定义域为，且函数在上递增，故在上递减.对于A选项，，符合题意.对于B选项，符合题意.对于C选项，符合题意.对于D选项，，在上递减，不符合题意，故本小题选D.【题目点拨】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查含有绝对值函数的理解，属于基础题.5、B【解题分析】由题意，，其中，，且，所以.令，则，为增函数.令，得.所以.时，时,所以在上单调递减，在上单调递增.所以时,.故选B.点睛：本题的解题关键是将要求的量用一个变量来表示，进而利用函数导数得到函数的单调性求最值，本题中有以下几个难点：（1）多元问题一元化，本题中涉及的变量较多，设法将多个变量建立等量关系，进而得一元函数式；（2）含绝对值的最值问题，先研究绝对值内的式子的范围，最后再加绝对值处理.6、A【解题分析】因，故当时，函数单调递增，应选答案A。7、B【解题分析】

算出总的个数和满足所求事件的个数即可【题目详解】从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，总共有种情况其中满足甲乙两人仅有一人入选的有种情况所以甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为故选：B【题目点拨】本题考查了古典概型的求法，组合问题的简单应用，属于基础题8、D【解题分析】分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．详解：A.若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行，正确；B.若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面，正确；C.若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直，正确，可能异面垂直；D.若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交，错误，平行于平面，与平面没有公共点.故选D.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．9、C【解题分析】

先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【题目详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【题目点拨】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10、D【解题分析】分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质，对选项中的函数逐一验证判断即可.详解：四个选项中的函数都是偶函数，在上三个函数在上都递减，不符合题意，在上递增的只有，而故选D．点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力.11、D【解题分析】

根据逆否命题定义以及全称命题否定求结果.【题目详解】“若，则，都有成立”的逆否命题是:有成立，则,选D.【题目点拨】对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.12、D【解题分析】

根据中等号所取个数分类讨论，利用组合知识求出即可.【题目详解】解：当中全部取等号时，情况有种；当中有两个取等号，一个不取等号时，情况有种；当中有一个取等号，两个不取等号时，情况有种；当中都不取等号时，情况有种；共种.故选：D.【题目点拨】本题考查分类讨论研究组合问题，关键是要找准分类标准，是中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

含有不合格品分为两类：一件不合格和两件不合格，分别利用组合公式即可得到答案.【题目详解】质检员从中随机抽出2听共有种可能，而其中含有不合格品共有种可能，于是概率为：.【题目点拨】本题主要考查超几何分布的相关计算，难度不大.14、【解题分析】分析：求出点坐标，然后分别求出和在A处切线方程，即可求出两点坐标详解：由可得，所以又因为所以所以在A点处切线方程为：令解得，所以又因为所以所以在A点处切线方程为：令解得，所以所以线段BC的长度为点睛：熟练记忆导函数公式是解导数题的前提条件，导数的几何意义是在曲线上某一点处的导数就等于该点处切线斜率，是解决曲线切线的关键，要灵活掌握.15、【解题分析】分析：纯虚数的表现形式是中，且，根据这个条件，列出关于的方程组，从而可得结果.详解：复数为纯虚数，且，，故答案为.点睛：本题主要考查纯虚数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于简单题.16、312【解题分析】

考虑个位是0和个位不是0两种情况，分别计算相加得到答案.【题目详解】当个位是0时，共有种情况；当个位不是时，共有种情况.综上所述：共有个偶数.故答案为：.【题目点拨】本题考查了排列的应用，将情况分为个位是0和个位不是0两种类别是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析【解题分析】

（1）求出，然后分和两种情况讨论（2）由（1）中的结论，要使恰有1个零点，只需函数的最小值为0（3）由（1）知，当时，，即，然后可得，由此可证明，然后两边同时取对数即可【题目详解】（1）当时，，从而在上单调递增；当时，，从而在上单调递增，在上单调递减（2）由（1）知，当时在上单调递增，在上单调递减，要使恰有1个零点，只需函数的最小值为0，即，解得（3）由（1）知，当时，，即令，得则，，，…，，即两边取以为底的对数得：【题目点拨】本题考查的是利用导数研究函数的单调性、零点个数及证明不等式，属于较难题.18、(1)证明见解析；(2).【解题分析】

（1）推导出，，从而平面，进而．求出，由此能证明平面．（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值．【题目详解】（1）∵底面为正方形，∴，又，，∴平面，∴.同理，，∴平面.（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2.则，，，设为平面的一个法向量，又，，，令，，得同理是平面的一个法向量，则.∴二面角的余弦值为.【题目点拨】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19、（1）；（2）3【解题分析】

（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先化成分段函数，再结合分段函数的图像即得其最大值.【题目详解】⑴①当x＜-1时，；②当-1≤x≤2时，，；③当时，，；综上，不等式的解集为；⑵，由其图知，.【题目点拨】(1)本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查分段函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)分类讨论是高中数学的一种重要思想，要注意小分类求交，大综合求并.20、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解题分析】

试题分析：（1）将转化为普通方程，解方程组可得的坐标；（2）为圆，当有一个公共点时，可求得参数的值，联立的普通方程，利用根与系数的关系可得的值．解：（Ⅰ）由曲线可得普通方程.由曲线可得直角坐标方程：.由得，（Ⅱ）曲线（为参数，）消去参数可得普通方程：，圆的圆心半径为，曲线与有且只有一个公共点，，即，设联立得4x1x2﹣4（x1+x2）+4＝2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣44＝1．.21、（1）;（2）.【解题分析】

以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系（1）由可得异面直线与所成角的余弦值．（2）当平面时，设，要使平面，只需即可．即可得即为的中点，即，由即可求得直线与平面所成角的正弦值．【题目详解】解：以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，.（1），．则异面直线与所成角的余弦值为．（2）当平面时，设.，，，面．要使平面，只需即可．，．即为的中点，即,，平面的法向量为，则．直线与平面所成角的正弦值为.【题目点拨】本题考查了异面直线所成角，考查了线面角.本题的易错点是第二问中，错把当成了线面角.22、（1）见解析（2），详见解析【解题分析】

（1）设，，由椭圆对称性得，把点，的