三等角相似问题（解析版）-2021年中考数学二轮复习经典问题训练

专题40三等角相似问题

【规律总结】

如图所示，在△A8C中，A6=AC,且NAE）E=N8,则△A8DS2XDCE像这种类型的相似

三角形称为一线三等角型.

【典例分析】

例1.（2020•四川遂宁市•射洪中学九年级月考）如图，在RffilABC中，配=90。，放置边长分

别为3,4,x的三个正方形，则x的值为（）

C.7D.8

【答案】C

【分析】

根据已知条件可以推出EICEFEBOMEEEIPFN,可得OE：PN=OM：PF,再利用正方形的性质把

它们的直角边用含x的表达式表示出来，列方程，解方程即可得到x的值.

【详解】

解：如图，标注字母,

回在RtEIABC中(0C=9O°),放置边长分别3,4,x的三个正方形,

NC=NFPN=90。,

由正方形可得：EF//PN,

ZCFE=ZFNP,

.DCEF^QPFN,

同理：□CEFsDOME,

00CEFEBOMEEBPFN,

0OE：PN=OM：PF,

0EF=x,MO=3,PN=4,

结合正方形的性质可得：OE=x-3,PF=x-4,

0(x-3)：4=3：(x-4),

0(x-3)(x-4)=12,

即X2一7%=0，

；.x(x-7)=0,

0x=O(不符合题意，舍去)或x=7.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形,

用X的表达式表示出对应边.

例2.（2021•上海九年级专题练习）如图，正方形ABC。的对角线AC,80相交于点0,

AB=5C，E为。。上一点，OE=2,连接BE,过点A作A尸，BE于点尸，与BD交

于点G,则历的长是.

［答案］叵

29

【分析】

EFAE

根据正方形的性质求出AO=8O=CO=5,证明得到一=—，即

OEBE

可求出答案.

【详解】

解：•.•四边形ABCD是正方形，AB=56,

•,.ZAOB=90°,OA=OB=OC=OD,

^20^=AB2,

0AO—BO-CO=5，

•：AFLBE,

;./EBO=/EAF，

EFAE

:△EBg^EAF,即一=一

OEBE

-：OE=2,OB=OA^5,

BE=V29.AE=7,

—EF7解得族=1出4J2二9

2V2929

故答案为:哽

【点睛】

此题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题中熟练掌握并运用各知

识点是解题的关键.

例3.(2019•浙江杭州市•九年级期中)已知正方形ABCD的边长为4,一个以点A为顶点

的45。角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F,连接EF.设

CE=a,CF=h.

(1)如图1,当NE4尸被对角线AC平分时，求a、b的值；

(2)当口4£尸是直角三角形时，求。、b的值；

(3)如图3,探索NE4尸绕点A旋转的过程中，尸的面积是否发生变化？请说明理

由.

【答案】（I）a=b=4亚・.（2）当ZA£P=90。时，a=4,b=8；当ZAFE=90°时，

。=8.匕=4；（3）△CEF的面积不变，证明见解析

【分析】

（1）利用正方形的性质可得NACF=NACE,由NE4F被对角线AC平分可得

ZCAF=ZCAE,从而可证口ACFia^ACE,根据全等三角形的性质可得CF=CE,然

后根据角度关系可得NC4£=NAEC，即可得到a、b的值；

（2）由题意可知，分两种情况计算，①当NA£F=90°时，首先根据题意得到口4印是等

腰直角三角形，再根据勾股定理得到C尸2=8（CE+4）,根据已知条件可得A4B石回ZXEb，

根据相似三角形的性质得出4Cf=CE（C£+4）,两式联立解方程组即可；②当

NAEE=90°时，方法和上面的方法一致，即可解答；

（3）先利用平行线的性质和正方形的性质得到NAFC+C4/=45°,再利用三角形的内角

和得到NAFC+NAEC=45°,从而求出NAEC,而NAb=NACE=135°,得到口ACF

回△EC4,然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求出，力的值，进而可知的

面积是否变化.

【详解】

（1）回四边形ABC。是正方形，

®NBCF=NDCE=90。，

回AC是正方形ABCO的对角线，

团NAC5=NA8=45°,

^ZACF^ZACE,

回NE4尸被对角线AC平分，

@ZC4F=ZC4E.

在口AB和△ACE中,

NACF=NACE

<AC=AC,

NCAF=NCAE

团口ACT回△ACE，

^ZAEF=ZAFE^CE=CF,

团CE--a>CF-b，

回。=b,

0ZE4F=45°,

0ZAEF=ZAFE=67.5°,

SCE=CF,ZECF=90°,

0ZAEC=ZAFC=22.5°,

0ZCAF=ZCAE=22.5°,

0ZC4£=ZA£C,

回CE=AC=4夜，即a=b=4&；

(2)当石是直角三角形时，

①当NA4'=90。时，

I3ZE4/;,=45O,

回ZAFE=45°,

回口人石尸是等腰直角•:角形，

0AF2=2FE2=2(CE2+CF2),

AE2^AB2+BE2，

QAF2=2(AD2+BE2),

02(CE2+CF2)=2(AD2+BE2),

^CE2+CF2=AD2+BE2<

0CE2+CF2=16+(4+CE2),

0CF2=8(CE+4)®

0ZAEB+ZBEF=9O°.ZAEB+ZBAE=90°,

ONBEF=NBAE，

回AABESEb，

ABBE

0----=-----,

CECF

4CE+4

回—=-------,

CECF

04CF=C£(CE+4)@,

联立①②得，CE=4,CF=8，

回。=4,b=8；

②当NAEE=90°时，同①的方法得，b=4，CE=8,

回。=8,Z?=4；

(3)BlAB//CD,

团N5AF=NAFC,

回494C=45°,

回N84尸+NC4尸=45°,

0ZAFC+ZC4F=45°,

0ZAFC+ZAEC=180°—(NCFE+ZCEF)—ZEAF=180°—90°-45°=45°,

0ZC4F=ZA£1C,

回NACF=NACE=135°,

0DACF0AEC4

cACCF

0------=-------,

CEAC

团CExCR=AC2=2AB2=32，

Elah=32,

0s△CEF'ab,

2

0SACEF=16.

(3Z\CE尸的面积不变.

【点睛】

此题是四边形的综合题，本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三

角形的性质和判定，解本题的关键是判断口Ab回△反4,也是本题的难点.

【好题演练】

一、单选题

1.(2020•石家庄外国语教育集团九年级开学考试)如图，在矩形ABCO中，BC=6,E

3

是BC的中点，连接AE,tan/B4E=-，P是AO边上一动点，沿过点P的直线将矩形

折叠，使点。落在AE上的点。敌b,当△APD'是直角三角形时，P。的值为（）

【答案】B

【分析】

根据矩形的性质得到AD=BC=6,0BAD=[3D=HB=9O<<,根据勾股定理得到AE=

ylAB-+BE2=V42+32=5-设PD'=PD=x,贝AP=6-x,当自APD，是直角三角形时，①当

®AD'P=90°时，②当回APD'=90°时，根据相似三角形的性质列出方程，解之即可得到结论.

【详解】

解：回在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,

0AD=BC=6,（3BAD=EID=EIB=90°,

既是BC的中点，

0BE=CE=3,

回AE=VAF+BF=742+32=5，

回沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D，处，

0PD'=PD,

设PD'=PD=x,贝I]AP=6-x,

当回APD，是直角三角形时,

①当团AD'P=90°时，

0BAD,P=0B=9OO,

0ADEBC,

EBPAD'=I3AEB,

E0ABE00PD'A,

APPD'

团---=----,

AEAB

8

0x=—,

3

8

0PD=-；

3

②当团APD'=90°时，

00APD=0B=9O°,

国PAE二团AEB,

邈APD'酿EBA,

APPDr

回---=----,

BEAB

6-xx

0---=—,

34

24

0x=—，

7

24

0PD=—,

7

824

综上所述，当囱APD，是直角三角形时，PD=一或二，

37

故选：B.

【点睛】

本题考查J'翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的理解题

意是解题的关键.

3

2.（2020•江苏苏州市•八年级期末）如图,在反比例函数了=巳的图象上有一动点A，连接A。

X

并延长交图象的另一支于点5,在第二象限内有一点C,满足AC=8。，当点A运动时,

kACl

点C始终在函数y=—的图象上运动，若三=6，则上的值为（）

【答案】B

【分析】

连接0C,过点A作AE0X轴于点E,过点C作CFmy轴于点F,通过角的计算找出回AOE=®：OF,

结合"团AEO=90。，囱CFC）=90。”可得出自AOE酿COF,根据相似三角形的性质得出比例式，再由

lAOI

—=V5,得出上=—,可得出CF・OF的值，进而得到k的值.

AOCO2

【详解】

如图，连接0C,过点A作AEOx轴于点E,过点C作CF0y轴于点F,

3

团山直线AB与反比例函数卜=一的对称性可知A、B点关于O点对称,

x

团AO=BO,

又回AC=BC,

团COMB,

配1AOE+回AOF=90°,0AOF+0COF=9O°,

00AOE=0COF,

又团团AEO=90°,团CFO=90°,

00AOE00COF,

AEOEAO

团---=----=----,

CFOFCO

团CF=2AE,0F=20E,

又团AE・0E=3,

0CF*OF=|k|=4x3=12,

0k=±12,

回点c在第二象限，

0k=-12,

故选:B.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性

质，解题的关键是求出CF・0F=12.解决该题型题目时:巧妙的利用了相似三角形的性质找

出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论.

二、填空题

3.（2020•福建省南安市侨光中学九年级月考）如图，AAO8是直角三角形，ZAOB=90°>

2k

OB=2OA,点A在反比例函数y=—的图象上.若点B在反比例函数y=一的图象上,

xx

则k的值为

【答案】-8

【分析】

求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A,B作AC0X轴，BDSx轴，分别于C,D.根

据条件得至胞ACOEBODB,得到处=竺=—^=2,然后用待定系数法即可.

OCACOA

【详解】

过点A,B作AC0X轴，BDfflx轴，分别于C,D.

设点A的坐标是（m,n）,则AC=〃，OC=m,

团团AOB=90°,

EISAOC+SBOD=DO0,

团团DBO+团BOD=90°,

mDBO=0AOC,

回团BDO=I3ACO=90°,

团团BDO团团OCA,

BDODOB

[3------=-------=------->

OCACOA

团OB=2OA,

团BD=2m,0D=2n,

因为点A在反比例函数y=2的图象上，则mn=2,

x

回点B在反比例函数y=七的图象上，

x

EIB点的坐标是（-2。，2m）,

Elk=-2n・2m=-4mn=-8.

故答案为：-8.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解析式的

问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函

数的解析式.

4.（2020•浙江金华市•九年级其他模拟）图2、图3是起重机平移物体示意图.在固定机架

4

8AM中，A8=5m,tanEBA/W=-.吊杆BCE由伸缩杆8c与6m长的直杆CE组成，在机架

3

BAM与直杆CE间有一根9m长的支撑杆AD,且CD=2m.假设起重机吊起物体准备平移时，

点E、C、B恰好在同一水平线上（图2）,在物体平移过程中始终保持EB04W（AM处在水

平位置）.

（1）如图2,当准备平移物体时，伸缩杆BC=m.

（2）在物体沿EB方向平移过程中，当朋。E=60。时，物体被平移的距离为m.

图2图3

【答案】（庖+1）;（V65+4-375）.

【分析】

（1）过点A作AG08c于G,解RtSABG求得BG,由勾股定理求得GD,进而根据线段和差

求得BC；

（2）连接8E,过A作A用8£于下，过E作EG04J于G,如图2,解直角三角形求得EG,再

证明财FH0亚GH,求得AH：EH,进而由AD=9列出方程求得AH,EH,GH,FH,进而便可

求得平移的距离.

【详解】

解：（1）过点A作AG08C于G,如图1,

在RtBABG,QABG=SBAM,48=5,

0=tanZABG=tanZBAM-

BG3

设AG=4xm,则BG=3xm,

团AB=JAG?+BG2=5X,

回5x=5,

取=1,

EL4G=4m,BG=3m,

断0=J._AG2=病(m),

^\BC=BG+GD-CD=3+765-2=765+1(m),

故答案为：(病+1);

(2)连接8E,过A作A用8E于F,过E作EGMD于G,如图2,

SBEELA/W,

WABF^BAM,

4

[Utan\MBF=tan^lBAM=——,

3

设AF=4xm,贝ljBF=3xm,

蜘8=5x=5,

取=1,

EL4F=4m,BF=3m,

在RtBDEG中,DE=4m,I3£DG=6O°,

SDG=—DE=2m,EG=^-x4=2^3m,

22

^\AG=AD-DG=9-2=7mf

^AFH=^EGH=9Q°fMHF=©EHG,

[M14FH豳£GH,

AFAHnAH42

0-----=-------,即:7：=—7==~f=,

EGEHEH2A/3也

设AH=2y,则EH=6y,

回HG=VEH2-EG2=，3y2—12，

ZAG=AH+GH=2y+^3/-12=7,

解得，y=14-3^/15.或y=14+3厉>7(舍)，

OEH=Gy=14G-9石(n?),AH=2y=28-6y/l5(m),

SGH=AG-AH=6y/15-21,

0ELAFH00EGH,

FHAF2

GHEG6

2

I3F”=G”=126-1473.

&BE=BF+FH+EH=3+12yf5-14G+14百一9君=3+3君,

回物体平移的距离为：（病+1+6）-（3+375）=病+4-3百.

故答案为：（病+4-3«）.

本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，相似三角形的性质与判定，关键是正确构

造直角三角形.

三、解答题

5.(2020•山东济南市•九年级月考)如图，抛物线y=f+法+C与X轴交于A、B两点,

与)'轴交于点C,OA=OC=3,顶点为£>.

(1)求此函数的关系式;

(2)在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线///)，轴，交AC与点当点N

坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？

(3)在对称轴上有一点K,在抛物线上有一点L,若使A，B,K,L为顶点形成平行

四边形，求出K,L点的坐标.

(4)在>轴上是否存在一点E,使为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；

若不存在，说明理由.

【答案】(1))=炉+2》_3；(2)(3)K(—l,12),£(3,12),或

K(—l,12),"-5,12)或刈-1,4),L(-LT)；(4)存在；4°，|)，

£(0,-1),£(0,-3).

【分析】

(1)求出点A和点C的坐标，代入y=》2+6x+c求出b,c的值即可；

(2)求出MN=—(d+3x)再求出最大值即可；

(3)根据平行四边形的性质分三种情况求解即可；

(4)分别利用相似三角形的判定与性质以及勾股定理求出点E的坐标即可.

【详解】

解：(1)BOA=OC=3

团点A的坐标为(-3,0),点C的坐标为(0,3)

把点A,点C的坐标代入丁=/+法+(:得，

c=-3

\(-3)2-3Z>+C=0

c=-3

解得，\,C

所以，此函数关系式为：y=x2+2x-3

(2)如图，

设直线AC的函数解析式为：y'=kx+b,

将A(—3,0),C(0,—3)代入？=履+匕，得

"b=—3

1—3上+8=0，

解得，b=-3,k=-l

回直线AC的解析式为y'=-x-3

团点N在直线AC下方的抛物线上，MN//y轴

0MN-y'—y——(_x_3)_(%"+2x_3)——_3x——―(x2+3x)

为了使MN最大，就要使—C?+3x)取最大值，

回d+3x取最小值

,3,9

[3x+3X=(XH—)~—

24

39

团当了=一不时，MN有最大值，最大值为了，

24

3IS

将工=-5代入y=f+2尤一3中，得y二一彳，

315

团N的坐标为(---,----)

24

(3)抛物线对称轴为％=-2=-1

2a

令y=0得，X2+2X-3=0.

解得，%二-3,工2=1，

团点B的坐标为（1,0）

①当AB和KL是平行四边形的对角线时，点K］和4都在对称轴％=-1上时,

回乙（一1,一4）,4（_1,4）

②当AB和KL是平行四边形的两条对边，且KL在y轴右侧时,

0AB=OA+OB=3+1=4

0K?L-4

团乙2的横坐标为3，

回4(312),((—1,12)

③当AB和KL是平行四边形的两条对边，且KL在y轴左侧时,

0K3k=AB=4

0L3的横坐标为-5

团人（一5,12）,4（-1,12）

综上所述，K,L点的坐标为K（-1,12）,”3,12）,或K（-l,12）,"-5,12）或K（一1,4）,

”-I）；

(4)如图,

设直线AD的函数解析式为力。=kx+b

将A(-3,0),D(-l,-4)代入yAD=kx+b

-3k+b=Qk=-2

解得《

-k+b=-4b=6

^yAD=-2x+6

①当AE_LAO,A为垂足时,

13NgAO+ZAE,O=90°,ZEtAO+NDAP=90°

sZAEiO=ZDAP

OE.AP

13——L=——

AOPD

0AO=3,AP=2,PD=4

2

喈4

3

00£,=：

闻0,

\乙)

②当A£>J_£>E,D为垂足时，

同理可证A。/。口ADAP

DQDP14

回函=方'即函=2，

CL“17

团0E-,—4———

-22

7

0£(0,--)

2-2

③当AE0DE,E为垂足时，AE2+DE2=AD2

设。E=x,则QE=4-x

BAE2=32+^=9+X2.P£2=12+(4-X)2=X2-8X+17,

AD2=[-l-(-3)]2+(—4—0)2=20

团9+犬+%2-8X+17=20

解得：％=1,z=3

0OEy=1,OE4=3

回&(0,-1),E4(O,-3).

综上，点E的坐标为：E(0，|］，《0，-3，£(0,-1),E(0,-3).

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、勾股定理运用等，其

中(3),(4)要主要分类求解，避免遗漏.

6.(2020•渠县第三中学九年级月考)如图1和图2,在平面直角坐标系中，点C的坐标为

(0,4),A是X轴上的一个动点，M是线段AC的中点.把线段AM以A为旋转中心、按

顺时针方向旋转90。得到AB.过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D,

直线DB交x轴于点E.设A点的横坐标为m.

(1)求证：0AOC00BEA；

(2)若m=3,则点B的坐标为:若m=-3,则点B的坐标为:

(3)若m>0,团BCD的面积为S,则m为何值时，S=6?

(4)是否存在m,使得以B、C、D为顶点的三角形与国AOC相似？若存在，求此时m的值；

若不存在，请说明理由.

【答案】(1)见解析(2)(5,1.5),(—1,—1.5)(3)m=2,〃z=4,加=10(4)机=2旧—2，

m=475+8>m—-4+8

【分析】

(1)利用三垂直模型或K字型相似.

(2)首先由勾股定理求得线段AC的长，然后利用A40csMQ4求得线段班、AE的长，

从而求得点3的坐标；

(3)分。(m＜8时和机＞8B寸，利用AAOCSABE4,根据相似比表示出点5的坐标后，

利用面积为6求得f值即可；

(4)分0＜根＜8、根＞8、-2＜m＜0,加＜一2,根据AAOCSAC和AAOCSAB/X?

两种情况得到比例式即可求得t值.

【详解】

解：(1)证明：由题意得：0MAB=9O°

EBCAO+0BAE=9O°

又EBCAO+0ACO=9O°

02BAEWACO

X00COA=0AEB=9O0

00AOC00BEA

(2)的坐标为(0,4),机=3或一3,

•••由勾股定理得：AC=5,

AC

•••A4OCSABE4且相似比为——=2,A0=3,0C=4