直线与圆的位置关系

普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修24.2.1直线与圆的位置关系OXY1为了大家能看的更清楚些.以蓝线为水平线,圆圈为太阳!注意观察!!问题引入直线与圆的位置关系2(1)直线和圆有唯一个公共点,叫做直线和圆相切(2)直线和圆有两个公共点,叫做直线和圆相交(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离直线与圆的位置关系3大家都知道:点和圆的位置关系可以用圆心到点之间的距离,这一数量关系来刻画他们的位置关系;那么直线和圆的位置关系是否也可以用数量关系来刻画他们三种位置关系呢?下面我们一起来研究一下!问题引入4．o圆心O到直线L的距离dL半径r(1)直线L和⊙O相离,此时d与r大小关系为_________d>r直线与圆的位置关系5．o圆心O到直线L的距离d半径r(2)直线L和⊙O相切,此时d与r大小关系为_________LLd=r直线与圆的位置关系6．o圆心O到直线L的距离dL半径r(3)直线L和⊙O相交,此时d与r大小关系为_________Ld<r直线与圆的位置关系7(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：直线与圆的位置关系的判定方法：d>

rd=

rd<

r直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交直线l：Ax+By+C=0，圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)新课讲解(2).利用直线与圆的公共点的个数进行判断：△<0△=0△>0直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交n=0n=1n=28

(1)当d>r时,能否得出直线和圆的位置关系为相离.(2)当d=r时,能否得出直线和圆的位置关系为相切.(3)当d<r时,能否得出直线和圆的位置关系为相交.(d为圆心O到直线L的距离,r为圆O的半径)思考:直线与圆的位置关系直线L和⊙O相交

d<r直线L和⊙o相切

d=r直线L和⊙o相离

d>r注明:符号”“读作”等价于”.它表示从左端可以推出右端,并且从右端也可以推出左端.9设直线l和圆C的方程分别为：Ax+By+C=0,X2+y2+Dx+Ey+F=0由方程组的解确定直线与圆的位置关系如果直线l与圆C有公共点，由于公共点同时在l和C上，所以公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是l与C的公共点．由直线l和圆C的方程联立方程组Ax+By+C=0X2+y2+Dx+Ey+F=0有如下结论：直线与圆的位置关系10相离相切相交

d>r

d=r

d<r方程组无解方程组仅有一组解方程组有两组不同的解直线与圆的位置关系11

分析：方法一，判断直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；

方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系．

例1

如图，已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．典例讲解12解法一：由直线l与圆的方程，得：消去y，得：

例1

如图，已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．因为：=1>0所以，直线l与圆相交，有两个公共点．典例讲解13

解法二：圆可化为其圆心C的坐标为（0，1），半径长为，点C

（0，1）到直线l的距离所以，直线l与圆相交，有两个公共点．

例1

如图，已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．典例讲解14所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是：把代入方程①，得；把代入方程①，得．

A（2，0），B（1，3）由，解得：

例1

如图，已知直线l：和圆心为C的圆，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．解：典例讲解15解：将圆的方程写成标准形式，得：即圆心到所求直线的距离为．如图，因为直线l被圆所截得的弦长是，所以弦心距为

例2已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．典例讲解16因为直线l过点，即：根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离：因此：

例2已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．解：所以可设所求直线l的方程为：典例讲解17即：两边平方，并整理得到：解得：

所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为：或

例2已知过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程．解：即:典例讲解18例3求直线4x+3y=40和圆x2+y2=100的公共点坐标，并判断它们的位置关系．直线4x+3y=40与圆x2+y2=100的公共点的坐标就是方程组4x+3y=40x2+y2=100的解．解这个方程组得所以公共点坐标为．因为直线和圆有两个公共点，所以直线和圆相交．解：典例讲解19例4:在Rt△ABC,∠C=900,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有怎样的位置关系?为什么?(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.根据三角形的面积公式有

CD·AB=AC·BC∴即圆心C到AB的距离d=2.4cm.(1)当r=2cm时,有d>r,因此⊙C和AB相离.(图1)(2)当r=2.4cm时,有d=r,因此⊙C和AB相切.(图2)(3)当r=3cm时,有d<r,因此⊙C和AB相交(图3)(图1)(图2)(图3)解:过C作CD⊥AB垂足为D(如图所示).在Rt△ABC中,CADBBCADBACD典例讲解20(1)若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)

与圆的位置关系是

()

(A)在圆上 (B)在圆内

(C)在圆外 (D)以上皆有可能(2)若圆x2+y2=1与直线+=1(a>0,b>0)相切，则ab的最小值为()(A)1 (B)(C)2(D)4

CC反馈练习题组1:213.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0的位置是________相交1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关系为________相切2.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系为________相离反馈练习题组2:22直线l过点(2,2)且与圆x2+y2-2x=0相切,求直线l的方程.反馈练习题组3:23.一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x上截得弦长为，求此圆的方程。解：设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2，

圆心(3b,b)到直线x-y=0的距离是故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9。r=|3b|反馈练习题组4:24

已知直线l：kx-y+3=0和圆C:x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与圆C相交？脑筋转一转反馈练习题组5:25(4)若方程有解，求b的取值范围。

(1)已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0，则过A(3，5)的圆的切线方程为

。(2)圆x2+y2

2x

4y+1=0上到直线x+y

1=0的距离为的点共有

个。

(3)已知圆C:x2+y2

2x

4y+1=0，直线l:x+y+2=0，在圆上求一点P，使P到直线x+y+2=0的距离最短。反馈练习题组6:26

一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环行，它走到哪个位置时与直线l

：3x+4y-2=0的距离最短，请你帮小老鼠找到这个点并计算这个点到直线l的距离。

请你来帮忙反馈练习题组7:27

直线和圆的位置关系公共点的个数公共点的名称圆心到直线的距离d与半径r的关系直线名称相交

相切

相离

210交点切点d<rd=rd>r割线切线直线和圆的位置关系主要有三种:相离、相切、相交.（设⊙o半径为r,圆心到直线L的距离为d,那么:课堂小结28归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：

①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即⊿＜０，则相离．②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．

29作业:测试反馈谢谢指导30已知点P（5，0）和⊙O：x2+y2=16,自P作⊙O的切线，求切线