河南省新野县一中2024届数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

河南省新野县一中2024届数学高二第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数是定义在上的偶函数，并且满足，当时，，则（）A． B． C． D．2．幂函数的图象过点，那么的值为（）A． B．64 C． D．3．过点且与平行的直线与圆：交于，两点，则的长为（）A． B． C． D．4．已知O为坐标原点,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则的值是A． B． C．3 D．35．将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有（）A． B． C． D．6．已知函数，若，则A． B． C． D．7．若函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．若复数满足，则的值是（）A． B． C． D．9．已知集合，，则（）A． B． C． D．10．已知复数的共轭复数为，则（）A．-1 B．1 C． D．11．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则（）A． B． C． D．12．函数的单调递减区间是（）A． B． C．， D．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对于函数，若存在区间，当时，的值域为，则称为倍值函数.下列函数为2倍值函数的是__________（填上所有正确的序号）．①②③④14．函数的单调递减区间是_________15．正方体的边长为，P是正方体表面上任意一点，集合，满足的点P在正方体表面覆盖的面积为_________；16．半径为的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的图象过点.(1)求的值并求函数的值域；(2)若关于的方程有实根，求实数的取值范围；(3)若函数，则是否存在实数，使得函数的最大值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．（12分）一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.19．（12分）设是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为2，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；（3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.20．（12分）已知函数的一个零点是．（1）求实数的值；（2）设，若，求的值域．21．（12分）已知函数．(1)解不等式；(2)记函数的值域为M，若，证明：．22．（10分）遇龙塔建于明代万历年间，简体砖石结构，屹立于永州市城北潇水东岸，为湖南省重点文物保护单位之一．游客乘船进行观光，到达潇水河河面的处时测得塔顶在北偏东45°的方向上，然后向正北方向行驶后到达处，测得此塔顶在南偏东的方向上，仰角为，且，若塔底与河面在同一水平面上，求此塔的高度．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

先由题得出函数的周期，再将变量调节到范围内进行求解．【题目详解】因为，所令，则，所以可得，即，所以函数的周期为，则，又因为函数是定义在上的偶函数，且当时，所以故选D【题目点拨】本题考查函数的基本性质，包括周期性，奇偶性，解题的关键是先求出函数的周期，属于一般题．2、A【解题分析】

设幂函数的解析式为∵幂函数的图象过点.选A3、D【解题分析】

由题意可得直线，求得圆心到直线距离，再由弦长公式即可求解【题目详解】设直线过点，可得，则直线圆的标准方程为，圆心为，圆心到直线距离，，故选D【题目点拨】本题考查用设一般方程求平行直线方程以及几何法求圆的弦长问题4、B【解题分析】抛物线的焦点为,当直线l与x轴垂直时，,所以5、B【解题分析】试题分析：采用分步计数原理来求解：分3步，每一步4种方法，不同方法种数有种考点：分步计数原理6、D【解题分析】分析：求出函数的导数，由可求得.详解：函数的导数，由可得选D.点睛：本题考查函数的导函数的概念及应用，属基础题.7、B【解题分析】

求导，计算函数的单调区间，根据区间上是单调函数得到答案.【题目详解】单调递增，单调递减.函数在区间上是单调函数区间上是单调递减不满足只能区间上是单调递增.故故答案选B【题目点拨】本题考查了函数的单调性，排除单调递减的情况是解题的关键.8、C【解题分析】

先用复数除法进行化简，之后求共轭复数即可.【题目详解】因为故：故其共轭复数为：故选：C.【题目点拨】本题考查复数的除法运算，涉及共轭复数，属基础题.9、C【解题分析】

先求解绝对值不等式得到集合A，然后直接利用交集运算可得答案。【题目详解】解：因为，所以，得，所以集合，又因为，所以，故选C.【题目点拨】本题主要考查了绝对值不等式及交集运算，较基础.10、C【解题分析】

根据共轭复数的概念，可得，然后利用复数的乘法、除法法则，可得结果.【题目详解】，，，故选：C【题目点拨】本题考查复数的运算，注意细节，细心计算，属基础题.11、B【解题分析】分析：由题意可知，，然后利用二项式定理进行展开，使之与进行比较，可得结果详解：由题可知：而则故选点睛：本题主要考查了二次项系数的性质，根据题目意思，将转化为是本题关键，然后运用二项式定理展开求出结果12、A【解题分析】

函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以求出函数的定义域，再算出函数的导数，最后解不等式，可得出函数的单调减区间．【题目详解】解：因为函数，所以函数的定义域为，求出函数的导数：，；令，，解得，所以函数的单调减区间为故选：．【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于简单题，在做题时应该避免忽略函数的定义域而导致的错误．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①②④【解题分析】分析：为倍值函数等价于，的图象与有两个交点，且在上递增，由此逐一判断所给函数是否符合题意即可.详解：为倍值函数等价于，的图象与有两个交点，且在上递增：对于①，与，有两个交点，在上递增，值域为，①符合题意.对于②，与，有两个交点，在上递增，值域为，②符合题意.对于③，与，没有交点，不存在，，值域为，③不合题意.对于④，与两个交点，在上递增，值域为，④合题意，故答案为①②④.点睛：本题考查函数的单调性以及函数的图象与性质、新定义问题及数形结合思想，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.14、或【解题分析】

求出导函数，然后在定义域内解不等式得减区间．【题目详解】，由，又得．∴减区间为，答也对．故答案为或．【题目点拨】本题考查导数与函数的单调性，一般由确定增区间，由确定减区间．15、【解题分析】

分别在六个侧面上找到满足到点的距离小于等于的点的集合，可大致分为两类；从而确定满足集合的点构成的图形，通过计算图形面积加和得到结果.【题目详解】在正方形、、上，满足集合的点构成下图的阴影部分：在侧面、、覆盖的面积：在正方形、、上，满足集合的点构成下图的阴影部分：在侧面、、覆盖的面积：满足的点在正方体表面覆盖的面积为：本题正确结果：【题目点拨】本题考查立体几何中的距离类问题的应用，关键是能够通过给定集合的含义，确定在正方体侧面上满足题意的点所构成的图形，对于学生的空间想象能力有一定要求.16、【解题分析】

设圆锥的底面半径为，高为，可得，构造关于圆锥体积的函数，可得，利用导数可求得最大值.【题目详解】设圆锥的底面半径为，高为则，即圆锥的体积：则，令，解得：则时，；时，即在上单调递增，在上单调递减本题正确结果：【题目点拨】本题考查圆锥体积最值的求解，关键是能够利用圆锥体积公式将所求体积构造为关于圆锥的高的函数，从而可利用导数求解得到函数的最值.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），值域为（2）（3）【解题分析】试题分析：（1）根据在图象上，代入计算即可求解，因为，所以，所以，可得函数的值域为；（2）原方程等价于的图象与直线有交点，先证明的单调性，可得到的值域，从而可得实数的取值范围；（3）根据，，转化为二次函数最大值问题，讨论函数的最大值，求解实数即可.试题解析：（1）因为函数的图象过点，所以，即，所以，所以，因为，所以，所以，所以函数的值域为.（2）因为关于的方程有实根，即方程有实根，即函数与函数有交点，令，则函数的图象与直线有交点，又任取，则，所以，所以，所以，所以在R上是减函数（或由复合函数判断为单调递减），因为，所以，所以实数的取值范围是.（3）由题意知，，令，则，当时，，所以，当时，，所以（舍去），综上，存在使得函数的最大值为0.18、（1）见解析；（2）【解题分析】

（1）抛掷5次的得分可能为，且正面向上和反面向上的概率相等，都为，所以得分的概率为，即可得分布列和数学期望；（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．，因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即，所以是以为首项，以为公比的等比数列，即求得恰好得到分的概率．【题目详解】（1）所抛5次得分的概率为，其分布列如下（2）令表示恰好得到分的概率，不出现分的唯一情况是得到分以后再掷出一次反面．因为“不出现分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有，即．于是是以为首项，以为公比的等比数列．所以，即．恰好得到分的概率是．【题目点拨】此题考查了独立重复试验，数列的递推关系求解通项，重点考查了学生的题意理解能力及计算能力．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面积为定值1．【解题分析】试题分析：（1）根据条件可得，再设直线的方程为：，与椭圆联立方程组，利用韦达定理和已知条件，即可求出的值；（2）先考虑直线斜率不存在的情况，即，，根据，求得和的关系式，代入椭圆的方程求得点的横坐标和纵坐标的绝对值，进而求得△AOB的面积的值；当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理表示出和，再利用，弦长公式及三角形面积公式求得答案.试题解析：（1）由题可得：，，所以，椭圆的方程为设的方程为：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：（2）①直线斜率不存在时，即，∵∴，即又∵点在椭圆上∴，即∴，∴，故的面积为定值1②当直线斜率存在时，设的方程为，联立得：∴，，∴所以三角形的面积为定值1.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的定值问题，解题时要注意解题技巧的运用，如常用的设而不求，整体代换的方法；探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个这个值与变量无关；②直接推理、计算，借助韦达定理，结合向量所提供的坐标关系，然后经过计算推理过程中消去变量，从而得到定值.20、(1)a=1;(2).【解题分析】

分析：（1）令即可求得结果；（2）将原解析式代入，结合二倍角公式、辅助角公式等求得，将x的范围带入解析式，结合三角函数图像的性质即可求出值域.【题目详解】：（Ⅰ）依题意，得，即，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．．由得当即时，取得最大值2，当即时，取得最小值-1.所以的值域是【题目点拨】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典解答本题，关键在于能利用三角函数的公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.21、(1)(2)见解析【解题分析】

（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）根据绝对值三角不等式得最小值，即得值域为，再作差并因式分解，根据各因子符号确定差的符号即得结果.【题目详解】（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于.∵，∴，.