高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语-人教版高三数学试题

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合的概念与运算[考情展望]1.给定集合，直接考查集合的交、并、补集的运算.2.与方程、不等式等知识相结合，考查集合的交、并、补集的运算.3.利用集合运算的结果，考查集合间的基本关系.4.以新概念或新背景为载体，考查对新情境的应变能力．一、集合的基本概念1．集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；2．元素与集合的关系：属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.3．常见数集的符号表示：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集表示NN＋(N*)ZQR4.集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．描述法的一般形式的结构特征在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中，“x”是集合中元素的代表形式，I是x的范围，“p(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略．二、集合间的基本关系1．子集：若对∀x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.2．真子集：若A⊆B，但∃x∈B，且x∉A，则AB或BA.3．相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.4．空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．子集与真子集的快速求解法一个含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．三、集合的基本运算并集交集补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}1．集合间的两个等价转换关系(1)A∩B＝A⇔A⊆B；(2)A∪B＝A⇔B⊆A2．集合间运算的两个常用结论：(1)∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；(2)∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是()A．0∈A B．{1}∈AC．∅⊆A D．{0,1}⊆A【答案】B2．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，则A∩B＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|x＞－1}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}【答案】D3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1＜x＜4}，则()A．M⊆N B．N＝MC．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝(1,4)【答案】C4．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4【答案】D5．(2014·广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{0,1} B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}【答案】C6．(2014·湖北高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则∁UA＝()A．{1,3,5,6} B．{2,3,7}C．{2,4,7} D．{2,5,7}【答案】C考向一[001]集合的基本概念(1)(2013·山东高考)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m，－3}，若3∈A，则【答案】(1)C(2)－eq\f(3,2)规律方法11.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．对点训练(1)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()A．3B．6C．8D．10(2)已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为________．【答案】(1)D(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞))考向二[002]集合间的基本关系(1)已知a∈R，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，则a2014＋b2014＝________.(2)已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，则实数m【答案】(1)1(2)(－∞，3]规律方法21.解答本例(2)时应注意两点：一是A∪B＝A⇒B⊆A；二是B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观．对点训练(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4(2)若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|ax＋2＝0，a∈R}，且M∩N＝N，则实数a的取值集合是________．【答案】(1)D(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(2,3)))考向三[003]集合的基本运算(1)(2014·课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝()A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)(2)(2014·辽宁高考)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【答案】(1)A(2)D规律方法31.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4．在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．对点训练(1)(2014·江西高考)设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁RB)＝()A．(－3,0)B．(－3，－1)C．(－3，－1]D．(－3,3)(2)如图1－1－1，已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，集合A＝{2,3,4,5,6,8}，B＝{1,3,4,5,7}，C＝{2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为______．【答案】(1)C(2){2,8}思想方法之一数形结合思想在集合中的妙用数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：(1)利用Venn图，直观地判断集合的包含或相等关系．(2)利用Venn图，求解有限集合的交、并、补运算．(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．——————————[1个示范例]——————已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.【解析】∵A＝{x|－5＜x＜1}，B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝{x|－1＜x＜n}．如图所示由图可知A∩B＝{x|－1＜x＜1}，故n＝1，m＝－1.【答案】－11————————[1个对点练]———————设A＝{x|－2＜x＜－1，或x＞1}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}．已知A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，则a＝________，b＝________.【解析】如图所示．设想集合B所表示的范围在数轴上移动，显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1≤x≤3}时符合题意．根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，可知－1与3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴a＝－(－1＋3)＝－2，b＝(－1)×3＝－3.【答案】－2－3课时限时检测(一)集合的概念与运算(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．(2013·北京高考)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝()A．{0} B．{－1,0}C．{0,1} D．{－1,0,1}【答案】B2．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x|x＝b－a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是()A．3B．4C．5D．6【答案】B3．(2013·江西高考)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()A．4B．2C．0D．0或4【答案】A4．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图1－1－2中阴影部分所表示的集合为()图1－1－2A．{0,1}B．{1}C．{1,2}D．{0,1,2}【答案】B5．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－eq\r(5)＜x＜eq\r(5)}，则()A．A∩B＝∅ B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B【答案】B6．设A，B，I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中错误的是()A．(∁IA)∪B＝I B．(∁IA)∪(∁IB)＝IC．A∩(∁IB)＝∅ D．(∁IA)∩(∁IB)＝∁IB【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数m＝________.【答案】－38．已知集合A＝{0,2,3}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A且a≠b}，则B的子集有________个．【答案】49．已知集合A＝{x|f(x)＝lg(x2－2x－3)}，B＝{y|y＝2x－a，x≤2}，若A∪B＝A，则a的取值范围是________．【答案】(－∞，－3]∪(5，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}且B⊆A，求a的值．【解】∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足B⊆A，当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足B⊆A.②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a当a＝1时，A＝{1,3,1}不满足集合元素的互异性．综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2.11．(12分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．【解】由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，(1)∵A∩B＝[0,3]，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＝0，,m＋2≥3.))∴m＝2.(2)∁RB＝{x|x＜m－2或x＞m＋2}，∵A⊆∁RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1，即m＞5或m＜－3.因此实数m的取值范围是{m|m＞5或m＜－3}．12．(13分)已知函数f(x)＝eq\r(x2－x－2)的定义域集合是A，函数g(x)＝lg[(x－a)(x－a－1)]的定义域集合是B.(1)求集合A、B；(2)若A∩B＝A，求实数a的取值范围．【解】(1)由x2－x－2≥0⇔x≤－1或x≥2，所以A＝{x|x≤－1或x≥2}．由(x－a)(x－a－1)＞0得x＜a或x＞a＋1，所以B＝{x|x＜a或x＞a＋1}．(2)由A∩B＝A知A⊆B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－1，,a＋1＜2，))所以－1＜a＜1，所以实数a的取值范围是(－1,1)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考情展望]1.直接考查“若p，则q”形式的四种命题及其真假性的判定.2.以函数、方程、不等式等知识为载体，考查充分必要条件的判定方式.3.借助充要条件探索命题成立的依据．一、四种命题及其关系1．四种命题间的相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．二、充分条件与必要条件1．如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．2．如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．3．如果pD/⇒q，且qD/⇒p，则p是q的既不充分又不必要条件．充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p⇒q”⇔“q⇐p”；(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”．1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【答案】A2．命题“若α＝eq\f(π,4)，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠eq\f(π,4)，则tanα≠1 B．若α＝eq\f(π,4)，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠eq\f(π,4) D．若tanα≠1，则α＝eq\f(π,4)【答案】C3．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B4．下列命题正确的有________．①“a＞b”是“a2＞b2”②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件；④“a＞b”是“ac2＞bc2”【答案】②③5．(2014·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A6．(2014·陕西高考)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假【答案】B考向一[004]四种命题的关系及真假判断(1)命题“若x、y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数(2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a＞0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．【答案】(1)C(2)②④规律方法11.(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再考查每个命题的条件与结论之间的关系．(2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时，必须保留大前提不变．2．判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．对点训练以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题是真命题；②命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题是真命题；③命题“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则x2＋y2≠0”；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．【答案】①③④考向二[005]充分条件与必要条件的判定(1)(2014·湖北高考)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件(2)(2013·山东高考)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】(1)C(2)A规律方法2充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．对点训练(1)(2014·安徽高考)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件(2)(2015·长沙模拟)设A，B为两个互不相同的集合，命题p：x∈A∩B，命题q：x∈A或x∈B，则綈q是綈p的()A．充分且必要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．非充分且非必要条件【答案】(1)B(2)B考向三[006]充分条件与必要条件的应用设命题p：2x2－3x＋1≤0；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))规律方法31.借助命题间的等价关系直接建立参数a的不等关系，避免了繁琐转换计算，将失误降到最低．2．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．3．注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件．对点训练已知命题p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x－10≤0，))命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分条件，则m的取值范围为________．【答案】[9，＋∞)易错易误之一“条件”与“结论”颠倒黑白酿失误——————————[1个示范例]——————下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是()A．a＞b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2 D．a3＞b3【解析】要求a＞b成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a＞b，而由a＞b推不出选项．此处在求解中，常误认为“由a＞b推出选项，而由选项推不出a＞b”而错选B.出错的原因是“分不清哪个是条件，哪个是结论”．在选项A中，a＞b＋1能使a＞b成立，而a＞b时a＞b＋1不一定成立，故A正确；在选项B中a＞b－1时a＞b不一定成立，故B错误；在选项C中，a2＞b2时a＞b也不一定成立，因为a，b不一定均为正值，故C错误；在选项D中，a3＞b3是a＞b成立的充要条件，故D也错误．【防范措施】充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”，如“A是B成立的……条件”，其中A是条件；“A成立的……条件是B”，其中B是条件．———————[1个防错练]———————设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是________．【解析】A＝{－3,2}，当B＝∅时，BA，此时m＝0，当B≠∅时，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m)))，则－eq\f(1,m)＝－3或－eq\f(1,m)＝2，∴m＝eq\f(1,3)或m＝－eq\f(1,2).故B是A的真子集的一个充分不必要条件是m＝0(答案不唯一)．【答案】m＝0(答案不唯一)课时限时检测(二)命题及其关系、充分条件与必要条件(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”【答案】B2．(2014·广州市培正中学模拟)“a＝1”是“(a－1)(a－2)＝0”成立的()A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A3．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆否命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中的真命题为()A．①②B．②③C．①③D．③④【答案】C4．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A5．“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”是“0≤a≤1”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A6．已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．a＜5 B．a≤5C．a＞5 D．a≥5【答案】A二、填空题(每小题共5分，共15分)7．命题“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．【答案】28．设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.【答案】3或49．若p：x(x－3)＜0是q：2x－3＜m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．【答案】[3，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．【解】(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．该命题是真命题，证明如下：∵a＋b＜0，∴a＜－b，b＜－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，因此f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，∴否命题为真命题．(2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.真命题，可证明原命题为真来证明它．因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题．11．(12分)设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝eq\r(\f(3,x)－1)的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0.且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．【解】依题意，得A＝{x|x2－x－2＞0}＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)－1≥0))))＝(0,3]，∴A∩B＝(2,3]．设集合C＝{x|2x＋p≤0}，则x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(p,2))).∵α是β的充分条件，∴(A∩B)⊆C.则需满足3≤－eq\f(p,2)⇒p≤－6.∴实数p的取值范围是(－∞，－6]．12．(13分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.【证明】必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，则x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.充分性：若a＋b＋c＝0，则b＝－a－c，∴ax2＋bx＋c＝0可化为ax2－(a＋c)x＋c＝0，∴(ax－c)(x－1)＝0，∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．综上，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考情展望]1.以选择题的形式考查含有逻辑联结词的命题的真假.2.以选择题或填空题的形式考查含有一个量词的命题的否定.3.与函数、方程、不等式等知识相结合，考查全称命题或特称命题的真假．一、命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真常见词语的否定形式正面词语＝＞＜是都是至多有一个至少有一个任意所有的否定≠≤≥不是不都是至少两个一个也没有某个某些二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)．三、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则()A．綈p：∃x0∈R，sinx0≥1B．綈p：∀x∈R，sinx≥1C．綈p：∃x0∈R，sinx0＞1D．綈p：∀x∈R，sinx＞1【答案】C2．若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题 D．綈q是真命题【答案】D3．下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2＋2x＋1＝0B．∃x0∈R，－eq\r(x\o\al(2,0)－1)≥0C．∀x∈N*，log2x＞0D．∃x0∈R，cosx0＞xeq\o\al(2,0)＋2x0＋3【答案】B4．命题“∃x0∈R,2xeq\o\al(2,0)－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为________．【答案】[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]5．(2014·安徽高考)命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0 D．∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)≥0【答案】C6．(2014·重庆高考)已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；q：x＝1是方程x＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是()A．p∧綈q B．綈p∧qC．綈p∧綈q D．p∧q【答案】A考向一[007]含有逻辑联结词的命题的真假判断(1)(2014·湖南高考)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④(2)(2015·潍坊模拟)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】(1)C(2)A规律方法11.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题的真假．2．p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”．对点训练(1)已知命题p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}，由它们构成的“p∨q”，“p∧q”，“綈p”形式的命题中，真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个(2)已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m＞0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、綈p真，则实数m的取值范围是________．【答案】(1)B(2)1＜m＜2考向二[008]全称命题、特称命题的真假判断下列命题中是假命题的是()A．∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，x＞sinxB．∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2C．∀x∈R,3x＞0D．∃x0∈R，lgx0＝0【答案】B规律方法21.(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．对点训练(2015·潍坊模拟)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，ex＞0B．∀x∈N，x2＞0C．∃x0∈R，lnx0＜1 D．∃x0∈N*，sineq\f(π,2)x0＝1【答案】B考向三[009]含有一个量词的命题的否定写出下列命题的“否定”，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使xeq\o\al(3,0)＋1＝0.【尝试解答】(1)綈p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋eq\f(1,4)<0，假命题，这是因为∀x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2≥0恒成立．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0成立．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．这是由于x＝－1时，x3＋1＝0.规律方法31.弄清命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提．2．要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假，因为p与綈p的真假相反．对点训练(2014·天津高考)已知命题p：∀x＞0，总有(x＋1)ex＞1，则綈p为()A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x0＞0，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x＞0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1【答案】B易错易误之二命题的否定≠否命题——————————[1个示范例]——————(2013·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．綈p：∀x∈A,2x∉BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∉B【解析】由命题的否定的定义及全称命题的否定为特称命题可得．命题p是全称命题：∀x∈A,2x∈B，则綈p是特称命题：∃x∈A,2x∉B.故选D.该处在求解时易出现错选A或B的情形，出错的原因有两点：(1)把命题的否定与否命题相混淆致误．(2)没有改写量词或未对结论进行否定．【防范措施】1.命题的否定是只否定这个命题的结论；而对于“若p，则q”形式的否命题为“若綈p，则綈q”．2．对于全(特)称命题的否定，书写时应从两方面着手：一是对量词或对量词符号进行改写；二是对命题的结论进行否定．两者缺一不可．———————[1个防错练]———————(2014·湖北高考)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x【解析】因为命题为真命题，故其否定为：∃x∈R，x2＝x.【答案】D课时限时检测(三)简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)<0【答案】C2．已知命题p：∃x∈R，sinx＝1；命题q：∀x∈R，x2＋1＜0，则下列结论正确的是()A．p是假命题B．綈p是假命题C．q是真命题 D．綈q是假命题【答案】B3．下列命题既是全称命题，又是真命题的个数是()(1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)对于任意的无理数x，x2是无理数；(4)存在一整数x，使得log2x＞0.A．1B．2