湖北省百所重点校2024届数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

湖北省百所重点校2024届数学高二第二学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（）A．2 B．4 C．-2 D．-42．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A．2 B．3C．4 D．83．已知集合，，则为（）A． B． C． D．4．如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数的图象可能是A． B． C． D．5．设函数，若a=),，则（）A． B． C． D．6．记为虚数集，设，．则下列类比所得的结论正确的是（）A．由，类比得B．由，类比得C．由，类比得D．由，类比得7．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（）①若，，且∥，则∥；②若，∥，且∥，则；③若∥，，且，则∥；④若，，且，则.其中真命题的个数是（）A． B． C． D．8．定义在上的函数满足为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（）A． B． C． D．9．若复数满足，则在复平面内，复数对应的点的坐标是（）A． B． C． D．10．已知函数f(x)是定义在R上的增函数,f(x)+2>f'(x),f(0)=1,则不等式ln[f(x)+2]>ln3+x的解集为（）A．(一∞,0) B．(0,+∞) C．(一∞,1) D．(1,+∞)11．将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再过甲桶中的水只有升，则的值为（）A．10 B．9 C．8 D．512．已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴，则该球的半径为.14．如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱的中点，则四棱锥的体积为__________.15．设实数满足约束条件,则目标函数的最大值为________.16．的展开式中的系数为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图,四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是线段的中点,平面.(1)求证:平面；(2)若,求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.18．（12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，，……，后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；（2）估计这次考试物理学科及格率（60分以上为及格）；（3）从物理成绩不及格的学生中选x人，其中恰有一位成绩不低于50分的概率为，求此时x的值；19．（12分）在平面直角坐标系中,设向量,.(1)当时,求的值；(2)若，且.求的值.20．（12分）已知函数.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数的单调区间.21．（12分）小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是：做对一道题得1分，做错一道题扣去1分，不做得0分，总得分7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格，在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，记6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p，考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率，他发现，只做一道更容易及格.（1）设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为，从余下的四道题中全做并且及格的概率为，求及；（2）由于p的大小影响，请你帮小威讨论：小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大？22．（10分）新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份编号t12345销量（万辆）0.50.611.41.7（1）经分析，可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量（万辆）与月份编号之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测2018年5月份当地该品牌新能源汽车的销量；（2）2018年6月12日，中央财政和地方财政将根据新能源汽车的最大续航里程（新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程）对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大，某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：补贴金额预期值区间（万元）206060302010将频率视为概率，现用随机抽样方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人，记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：①回归方程，其中，，②.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

先求出的值，再由函数的奇偶性得出可得出结果．【题目详解】由题意可得，由于函数是定义在上的奇函数，所以，，故选C.【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性求值，求函数值时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算，考查计算能力，属于基础题．2、D【解题分析】

利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．【题目详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．【题目点拨】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．3、A【解题分析】

利用集合的交集运算进行求解即可【题目详解】由题可知集合中，集合中求的是值域的取值范围，所以的取值范围为答案选A【题目点拨】求解集合基本运算时，需注意每个集合中求解的是x还是y,求的是定义域还是值域，是点集还是数集等4、A【解题分析】试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A正确考点：函数导数与单调性及函数图像5、D【解题分析】

把化成,利用对数函数的性质可得再利用指数函数的性质得到最后根据的单调性可得的大小关系.【题目详解】因为且,故,又在上为增函数,所以即.故选:.【题目点拨】本题考查对数的大小比较,可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系,如果底数不统一,可以利用对数的运算性质统一底数,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,难度较易.6、C【解题分析】选项A没有进行类比，故选项A错误；选项B中取不大于，故选项B错误；选项D中取，但是均为虚数没办法比较大小，故选项D错误，综上正确答案为C.【题目点拨】本题考查复数及其性质、合情推理，涉及类比思想、从特殊到一般思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中等难题.本题可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取不大于，排除B,再取，但是均为虚数没办法比较大小，排除D，可得正确选项为C.7、B【解题分析】

根据空间直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直的判定定理和性质定理，逐项判断，即可得出结论.【题目详解】由且，可得，而垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；由于，，所以，则，故②正确；若与平面的交线平行，则，故不一定有，故③错误；设，在平面内作直线，，则，又，所以，，所以，从而有，故④正确.因此，真命题的个数是.故选：B【题目点拨】本题考查了空间线面位置关系的判定和证明，其中熟记空间线面位置中的平行与垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查直观想象能力，属于基础题.8、C【解题分析】

由，以及，联想到构造函数，所以等价为，通过导数求的单调性，由单调性定义即可得出结果。【题目详解】设，等价为，，故在上单调递减，所以，解得，故选C。【题目点拨】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的问题，利用单调性定义解不等式，如何构造函数是解题关键，意在考查学生数学建模能力。9、D【解题分析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【题目详解】由题意iz＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）•（﹣i），∴z＝2﹣i．则在复平面内，z所对应的点的坐标是（2，﹣1）．故选D．【题目点拨】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10、A【解题分析】分析：先令，则且原不等式转化为，再根据单调性得结果.详解：令，则因为原不等式转化为，所以因此选A.点睛：解函数不等式,首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.11、D【解题分析】由题设可得方程组，由，代入，联立两个等式可得，由此解得，应选答案D。12、D【解题分析】

根据题目条件，构造函数，求出的导数，利用“任意的满足”得出的单调性，即可得出答案。【题目详解】由题意知，构造函数，则。当时，当时，恒成立在单调递增，则，化简得，无法判断A选项是否成立；，化简得，故B选项不成立；，化简得，故C选项不成立；，化简得，故D选项成立；综上所述，故选D。【题目点拨】本题主要考查了构造函数法证明不等式，常利用导数研究函数的单调性，再由单调性证明不等式，是函数、导数、不等式综合中的一个难点。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、13cm【解题分析】

设球半径为R，则，解得，故答案为13.14、【解题分析】

由题意可得，再利用三棱锥的体积公式进行计算即可．【题目详解】由已知得，，，四边形是菱形，所以.【题目点拨】本题考查几何体的体积，解题的关键是把四棱锥的体积转化为两个三棱锥的体积，属于基础题．15、2【解题分析】分析：由题意，作出约束条件所表示的平面区域，结合图象得到目标函数过点时，取得最大值，即可求解.详解：由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，即，当直线在上的截距最大值，此时取得最大值，结合图象可得，当直线过点时，目标函数取得最大值，由，解得，所以目标函数的最大值为.点睛：本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义是解答的关键，着重考查了数形结合法思想的应用．16、-10【解题分析】分析：利用二项式展开式通项即可得出答案.详解：，当时，.故答案为：-10.点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解题分析】分析：（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，即可通过线面垂直的判定方法证得平面；（2）写出相应点的坐标，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，即可求得答案.详解：(1)证明方法一:连接，因为底面是等腰梯形且所以，，又因为是的中点，因此，且，所以，且，又因为且，所以，因为，平面，所以平面，所以，平面平面，在平行四边形中，因为,所以平行四边形是菱形，因此，所以平面.解法二：底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,，由得，所以,,,，因此，且，所以且，所以，平面.(2)底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则,,,，所以，,，设平面的一个法向量，由得，由是平面的法向量，因此，平面和平面所成的锐二面角的余弦值是.点睛：本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等相关知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力.18、（1）6；（2）75%；（3）4；【解题分析】

（1）利用频率分布直方图可求得物理成绩低于分的频率，利用频率乘以总数可得所求频数；（2）根据频率分布直方图可计算得到物理成绩不低于分的频率，从而得到及格率；（3）计算出成绩不低于分的人数，根据古典概型概率计算公式可列出关于的方程，解方程求得结果.【题目详解】（1）物理成绩低于分的频率为：物理成绩低于分的学生人数为：人（2）物理成绩不低于分的频率为：这次考试物理学科及格率为：（3）物理成绩不及格的学生共有：人其中成绩不低于分的有：人由题意可知：，解得：【题目点拨】本题考查利用频率分布直方图计算频数、根据样本数据特征估计总体数据特征、古典概型概率的应用问题；关键是熟练掌握频率分布直方图的相关知识点，考查概率和统计知识的综合应用.19、（1）；（2）．【解题分析】分析：(1)直接带入即可(2)利用向量数量积打开后再利用二倍角公式变形化同名详解：(1)当时，，，所以.(2)，若.则，即.因为，所以，所以，所以.点睛：三角函数跟向量的综合是高考当中的热点问题，常常需要利用二倍角公式的逆用对得到的函数关系式进行化简，最终化简为的形式.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)单调递增区间是，单调递减区间是.【解题分析】分析：（1）换元法，，进而得到表达式；（2），结合图像得到单调区间.详解：（Ⅰ）令，，，即函数解析式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，结合函数的图像得到，函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是.点睛：这个题目考查了函数的解析式的求法，求函数解析式一定注意函数的定义域；常见方法有：换元法