高考数学大二轮复习 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语等 第1讲 集合与常用逻辑用语练习-人教版高三数学试题

第一部分专题一第一讲集合与常用逻辑用语A组1．(文)(2018·天津卷，1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝(C)A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}[解析]∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x<2}，∴(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C．(理)(2018·天津卷，1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁RB)＝(B)A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}[解析]全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁RB＝{x|x<1}．∵集合A＝{x|0<x<2}，∴A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}．故选B．2．(2018·蚌埠三模)设全集U＝{x|ex>1}，函数f(x)＝eq\f(1,\r(x－1))的定义域为A，则∁UA＝(A)A．(0,1] B．(0,1)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]全集U＝{x|x>0}，f(x)的定义域为{x|x>1}，所以∁UA＝{x|0<x≤1}．3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是(C)A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0≥0[解析]全称命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是特称命题“∃x0∈[0，＋∞)，xeq\o\al(3,0)＋x0<0”．4．设有下面四个命题p1：若复数z满足eq\f(1,z)∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq\x\to(z)2；p4：若复数z∈R，则eq\x\to(z)∈R.其中的真命题为(B)A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若eq\f(1,z)∈R，即eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝eq\x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0⇒/a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒eq\x\to(z)＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．5．已知命题p：在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，则有m＋n＝p＋q，命题q：∃x0>0,2－x0＝ex0，则下列命题是真命题的是(C)A．p∧q B．p∧綈qC．p∨q D．p∨綈q[解析]命题p是假命题，因为当等差数列{an}是常数列时显然不成立，根据两个函数的图象可得命题q是真命题，∴p∨q是真命题，故选C．6．设集合M＝{x|x2＋3x＋2<0}，集合N＝{x|(eq\f(1,2))x≤4}，则M∪N＝(A)A．{x|x≥－2} B．{x|x>－1}C．{x|x≤－1} D．{x|x≤－2}[解析]因为M＝{x|x2＋3x＋2<0}＝{x|－2<x<－1}，N＝[－2，＋∞)，所以M∪N＝[－2，＋∞)，故选A．7．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(D)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b8．下列四个命题中正确命题的个数是(A)①对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1>0；②m＝3是直线(m＋3)x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝1.23x＋0.08；④若实数x，y∈[－1,1]，则满足x2＋y2≥1的概率为eq\f(π,4).A．1 B．2C．3 D．4[解析]①错，应当是綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0；②错，当m＝0时，两直线也垂直，所以m＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x，y∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x2＋y2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x2＋y2≥1的概率为eq\f(4－π,4).9．(文)已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的Venn图如图所示，则阴影部分所求集合中的元素共有(B)A．3个 B．4个C．5个 D．无穷多个[解析]由Venn图可知，阴影部分可表示为(∁UA)∩B．由于∁UA＝{x|x≤0或x≥9}，于是(∁UA)∩B＝{x|－4<x≤0，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．(理)设全集U＝R，A＝{x|x(x－2)<0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为(B)A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}[解析]分别化简两集合可得A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}，故∁UB＝{x|x≥1}，故阴影部分所示集合为{x|1≤x<2}．10．下列命题的否定为假命题的是(D)A．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B．任意一个四边形的四顶点共圆C．所有能被3整除的整数都是奇数D．∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1[解析]设命题p：∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1，则綈p：∃x∈R，sin2x＋cos2x≠1，显然綈p是假命题．11．已知全集U＝R，设集合A＝{x|y＝ln(2x－1)}，集合B＝{y|y＝sin(x－1)}，则(∁UA)∩B为(C)A．(eq\f(1,2)，＋∞) B．(0，eq\f(1,2)]C．[－1，eq\f(1,2)] D．∅[解析]集合A＝{x|x>eq\f(1,2)}，则∁UA＝{x|x≤eq\f(1,2)}，集合B＝{y|－1≤y≤1}，所以(∁UA)∩B＝{x|x≤eq\f(1,2)}∩{y|－1≤y≤1}＝[－1，eq\f(1,2)]．12．给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题q：函数y＝eq\f(ex－1,ex＋1)为偶函数，下列说法正确的是(B)A．p∨q是假命题 B．(綈p)∧q是假命题C．p∧q是真命题 D．(綈p)∨q是真命题[解析]对于命题p：y＝f(x)＝ln[(1－x)(1＋x)]，令(1－x)(1＋x)>0，得－1<x<1.所以函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，因为f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以命题p为真命题；对于命题q：y＝f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，因为f(－x)＝eq\f(e－x－1,e－x＋1)＝eq\f(\f(1,ex)－1,\f(1,ex)＋1)＝eq\f(1－ex,1＋ex)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以命题q为假命题，所以(綈p)∧q是假命题．13．已知命题p：x≥1，命题q：eq\f(1,x)<1，则綈p是q的既不充分也不必要条件．[解析]由题意，得綈p为x<1，由eq\f(1,x)<1，得x>1或x<0，故q为x>1或x<0，所以綈p是q的既不充分也不必要条件．14．设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝aeq\o\al(x,0)－x－a0没有零点.[解析]全称命题的否定为特称命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝aeq\o\al(x,0)－x－a0没有零点．15．已知集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，则集合A∩Z中所有元素的和等于3.[解析]A＝{x∈R||x－1|<2}＝{x∈R|－1<x<3}，集合A中包含的整数有0,1,2，故A∩Z＝{0,1,2}．故A∩Z中所有元素之和为0＋1＋2＝3.16．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为(－∞，－2].[解析]由已知条件可知p和q均为真命题，由命题p为真得a≤0，由命题q为真得a≤－2或a≥1，所以a≤－2.00B组1．设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝(C)A．{－1} B．{0}C．{－1,0} D．{0,1}[解析]本题主要考查一元二次不等式的解法与集合的表示方法、集合间的基本运算．依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}，选C．2．已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg(x－1)}，集合B＝{y|y＝eq\r(x2＋2x＋5)}，则A∩B＝(C)A．∅ B．(1,2]C．[2，＋∞) D．(1，＋∞)[解析]由x－1>0，得x>1，故集合A＝(1，＋∞)，又y＝eq\r(x2＋2x＋5)＝eq\r(x＋12＋4)≥eq\r(4)＝2，故集合B＝[2，＋∞)，所以A∩B＝[2，＋∞)，故选C．3．给出下列命题：①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；②若log2x＋logx2≥2，则x>1；③“若a>b>0且c<0，则eq\f(c,a)>eq\f(c,b)”的逆否命题；④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．其中真命题的是(A)A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④[解析]①中不等式可表示为(x－1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋eq\f(1,log2x)≥2，得x>1；③中由a>b>0，得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．4．设x、y∈R，则“|x|≤4且|y|≤3”是“eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)≤1”的(B)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]“|x|≤4且|y|≤3”表示的平面区域M为矩形区域，“eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)≤1”表示的平面区域N为椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1及其内部，显然NM，故选B．5．(文)若集合A＝{x|2<x<3}，B＝{x|(x＋2)(x－a)<0}，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]当a＝1时，B＝{x|－2<x<1}，∴A∩B＝∅，则“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分条件；当A∩B＝∅时，得a≤2，则“a＝1”不是“A∩B＝∅”的必要条件，故“a＝1”是“A∩B＝∅”的充分不必要条件．(理)设x，y∈R，则“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的(D)A．既不充分又不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．充分不必要条件[解析]当x≥1，y≥1时，x2≥1，y2≥1，所以x2＋y2≥2；而当x＝－2，y＝－4时，x2＋y2≥2仍成立，所以“x≥1且y≥1”是“x2＋y2≥2”的充分不必要条件，故选D．6．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素个数是(B)A．3 B．4C．8 D．9[解析]用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B．7．(2018·东北三省四市一模)已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)内单调递减，命题q：函数y＝2cosx是偶函数，则下列命题中为真命题的是(A)A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)[解析]命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，是真命题；命题q：函数y＝2cosx是偶函数，是真命题．则p∧q是真命题．故选A．8．已知条件p：x2－2x－3<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为(D)A．a>3 B．a≥3C．a<－1 D．a≤－1[解析]由x2－2x－3<0得－1<x<3，设A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|x>a}，若p是q的充分不必要条件，则AB，即a≤－1.9．若集合P＝{x|3<x≤22}，非空集合Q＝{x|2a＋1≤x<3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的A．(1,9) B．[1,9]C．[6,9) D．(6,9][解析]依题意，P∩Q＝Q，Q⊆P，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋1<3a－5，,2a＋1>3，,3a－5≤22，))解得6<a≤9，即实数a的取值范围为(6,9]．10．下列说法正确的是(D)A．命题“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋2018>0”的否定是“任意x∈R，x2＋x＋2018<0”B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C．函数f(x)＝eq\f(1,x)在其定义域上是减函数D．给定命题p，q，若“p且q”是真命题，则綈p是假命题[解析]对于A，特称命题的否定为全称命题，所以命题“存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＋2018>0”的否定是“任意x∈R，x2＋x＋2018≤0”，故A不正确．对于B，两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；反之，不然．即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B不正确．对于C，函数f(x)＝eq\f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是减函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内既不是增函数，也不是减函数，如取x1＝－1，x2＝1，有x1<x2，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，则f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)＝eq\f(1,x)在其定义域上不是减函数，故C不正确．对于D，因为“p且q”是真命题，则p，q都是真命题，所以綈p是假命题，故D正确．11．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝{0,6}.[解析]由题意可知，－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3，而当x＝0时，不符合元素的互异性，舍去；当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．12．命题“∀x∈[1,2]，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是(－∞，1].[解析]命题p：a≤x2在[1,2]上恒成立，y＝x2