常见递推数列通项公式的求法

常见递推数列通项公式的求法类型一：（1）累加法：时，是等差数列，例1：已知的首项，（）求通项公式。解：……∴（2）待定系数法：时，设∴，比较系数：，、∴，∴是等比数列，公比为，首项为∴∴例2：已知满足，求通项公式。解：设∴∴是以4为首项，2为公比为等比数列∴∴变式1:已知数列中，，，求.变式2:已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列{bn}滿足证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅲ）证明：变式3:已知数列中，求的通项公式。（key:）类型二：（一阶线性递推数列）（1）累加法：时，，若可求和，则可用累加消项的方法。解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例3：已知满足，求的通项公式。解：∵∴……对这（）个式子求和得：∴变式1：已知数列满足，，求。变式2：已知数列满足，求数列的通项公式。（key:）变式3:已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.变式4:数列中，且成等比不为1的等比数列.求这个数列的通项公式。(key:)（2）待定系数法：时，当则可设∴∴解得：，∴是以为首项，为公比的等比数列 ∴∴将A、B代入即可。例4：已知：，时，，求的通项公式。解：设∴解得：∴∴是以3为首项，为公比的等比数列∴∴（3）时，（0，1），（或,其中p，q,r均为常数）①待定系数法：例5：已知数列满足，求数列的通项公式。解：设①将代入①式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入①式，得②由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列。变式1：已知数列满足，求数列的通项公式。（key:）变式2：已知数列满足，求数列的通项公式。②同除法：一般地，要先在原递推公式两边同除以得，引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例6：已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。变式1:已知数列中，,，求。变式2:设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：变式3:已知数列满足，，求数列的通项公式。（key:）变式4:在数列中，其中求数列{}的通项公式。（key:类型三：累积法：（1）若是常数时，可归为等比数列。（2）若可求积，可用累积约项的方法化简求通项。解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例7：已知中，且求数列通项公式。解：∴∴例8：已知数列满足，求的通项公式。解：因为 ①所以 ②用②式－①式得，则，故所以 ③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。变式1：已知，，求。变式2：已知：，（）求数列的通项。（key:）变式3：已知数列满足，求数列的通项公式。（key:）变式4：已知数列满足，，求（key:）变式5：已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项类型四：取对数法：解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例9：已知数列满足，，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ①设 ②将①式代入②式，得，两边消去并整理，得，则，故代入②式，得③由及③式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。变式1：已知数列（1）证明（2）求数列的通项公式an.变式2：已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；变式3：已知数列｛｝中，，求数列变式4：记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1变式5：已知数列满足，求数列的通项公式。（key:）变式6：已知函数设曲线在点处的切线与x轴的交点为，其中为正实数，若时，记.试证明：数列为等比数列，并求此数列的通项公式。()变式7：已知数列{an.}各项都是正数且满足。求数列的通项公式an.（key:)类型五：取倒数法：型。考虑函数倒数关系有∴令则可归为型。例10：数列中，，，求的通项。解：∴设∴∴∴……

∴∴变式1：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。变式2：已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝求数列｛an｝的通项公式；证明：对于一切正整数n，不等式a1a2……an2n！变式3：若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。变式4：已知数列{}满足时，，求通项公式。变式5：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。变式6：若数列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通项a．变式7：已知数列满足：求数列{}的通项公式。（key:）类型六：作差法：，利用与消去或与消去进行求解。例11：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）（2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式1：正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an变式2:数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.变式3：已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足6，求数列{}的通项公式。（key:）变式4：设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。求数列与数列的通项公式；（key:。变式5：设数列的前项的和，求首项与通项；（key:）类型七：奇偶分离法：。解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。例12：（I）在数列中，，求（II）在数列中，，求变式：已知各项全不为零的数列的前k项和为，且，其中求数列的通项公式。类型八：特征方程根法：(1)(2)对于（1）分两种情况：特征方程有两个不等的根时，则是等比数列；当特征方程有且仅有一根时，则是等差数列。对于（2）也分两种情况：特征方程有两不等实根，则数列通项公式为；若特征方程有两相等实根，则数列的通项公式为.例13：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。变式1：数列满足，求数列的通项公式。（key:）变式2：若数列{}中求{}的通项公式变式3：设p,q为实数，是方程的两个实根，数列满足，（1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）若p=1,q=,求的前n项和.变式4：已知数列满足性质：对于且求的通项公式.变式5：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？变式6：数列记（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和类型九、递推公式法：（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为，其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法三（待定系数——迭加法）:例14：数列：，，求数列的通项公式。变式1：已知数列中，,,，求。变式2：已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列变式3：已知数列中，,,，求变式4：已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。变式5：数列：，，求数列的通项公式。(key：)类型十一、换元法例15：已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入，得即，因为，故则，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。类型十二、数学归纳法例16：已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。变式:设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…（Ⅰ）求a1，a2；（Ⅱ）｛an｝的通项公式类型十三、周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例17：若数列满足，若，则的值为___________。变式:已知数列满足，则=（） A．0 B． C． D．【模拟试题】1.已知中，，，求。2.已知中，，（）求。3.已知中，，（）求。4.已知中，，（）求。5.已知中，，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列（2）求的通项公式6.已知在正整数数列中，前项和满足（1）求证：是等差数列（2）若，求的前n项和的最小值

1、若数列为等差数列，且，求数列的递推公式2、若数列为等比数列，且，求数列的递推公式3、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式4、若数列的递推公式为，求这个数列的通项公式5、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式6、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式7、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式8、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式9、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式10、若数列为等差数列，且，求数列的通项公式11、若数列为等比数列，且，求数列的通项公式12、若数列的递推公式为，求这个数列的通项公式13．若数列的递推公式为，求这个数列的通项公式14．已知数列且，求通项公式。15．设数列满足.16．已知斐波那契数列…)，求通项公式【试题答案】