初中八年级数学课件-12勾股定理应用-利用勾股定理解决平面几何问题

17.1.2勾股定理应用—利用勾股定理解决平面几何问题一复习提问勾股定理的内容是什么?

ACB勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．abc在△ABC中，

a2+b2=c2两点之间,线段最短．二、新课导入从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由．

BA

例1在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？问题情境利用勾股定理解决平面几何问题1——最短路径问题BA

以小组为单位,研究蚂蚁爬行的最短路线．

合作探究

蚂蚁A→B的路线BAA’dABA’ABBAOABA’BAA’rOh怎样计算AB？在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得:侧面展开图其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)．若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则:BAA’3O12侧面展开图123πAA’B用所学数学知识去解决实际问题的关键：根据实际问题建立数学模型；

具体步骤：1.

审题——分析实际问题；2.建模——建立相应的数学模型；3.求解——运用勾股定理计算；4.检验——是否符合实际问题的真实性．方法提炼

练习1.如图:在一个棱柱形的石凳子上，一位小朋友吃东西时留下一点食物在G处，恰好有两只蚂蚁路过A处（A在G的对面），它们的触角同时准确的捕捉到了这个信息，并迅速的传给它的小脑袋，于是它们迫不急待的想从A处爬向G处。

ABCDEFGH324蛋糕求蚂蚁爬行的最短路径的长度？下右正右正上分组计算ABFEGH342正面上面

解：当蚂蚁经过正面和上面时，如图，最短路径为

回5正面右侧面ABEFCG324解：当蚂蚁经过正面和右侧面时，如图，最短路径为下底面右侧面ABDCFG342解：当蚂蚁经过下底面和右侧面时，如图，最短路径为回5最短路径的长度为利用勾股定理解决平面几何问题2——图形面积问题（1）分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示．那么S1，S2，S3之间有什么关系；

（2）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（3）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；（4）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作等腰直角三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系？探究探究如图，以Rt△

的三边为边向外作正方形，其面积分别为、、，请同学们想一想

、、之间有何关系呢？ABCabc+=a2+b2=c2∵a2+b2=c2+=ABCABCABCabc探究S1、S2、S3之间的关系由勾股定理得a2+b2=c2∴S2+S3=S1

动手操作：例2如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为___.

S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC-S半圆AB241、下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.=625225400A22581B=144快速抢答2、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8厘米，则正方形A，B，C，D的面积之和是________平方厘米64例3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求:(1)CF(2)EC.ABCDEF810106X8-X48-X利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题在RtΔABF中

BF=∴FC=4cm

设EC=xcm则DE=EF=（8-x）cm

∵EF2=EC2+FC2

∴（8-x）2=x2+42

解得x=3∴CF=4cm，EC=3cm能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）

小试牛刀练习1、（泰安市中考）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）

解：设CE=x，由题意可得AE=CE=xBC=OC=OA=3能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题利用勾股定理解决平面几何问题4——直角三角形问题例题4、如图在三角形ABC中，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，M是BC边上的动点（点M不与点B、C重合），MD垂直AB，ME垂直AC，垂足分别是D、E。线段DE的最小值是_______cm解题技巧：巧用勾股定理、面积相等法利用勾股定理解决平面几何问题4——直角三角形问题温馨提示：有题无图，莫犯糊涂三、当堂检测：小试牛刀练习1练习2练习3．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？小试牛刀练习1练习2练习3解:如图:已知A是甲、乙的出发点，10:00甲到达B点,乙到达C点．则：AB=2×6=12(km)AC=1×5=5(km)在Rt△ABC中∴BC=13(km)．即甲乙两人相距13km.2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．小试牛刀练习1练习2练习3解:答：沿AB走最近，最近距离为25．3．有一个高为1.5m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5m，问这根铁棒有多长？小试牛刀练习1练习2练习3你能画出示意图吗?解:设伸入油桶中的长度为xm,则最长时:最短时:∴最长是2.5+0.5=3(m)．答:这根铁棒的长应在2～3m之间．∴最短是1.5+0.5=2(m)．小试牛刀练习1练习2练习31．如图，在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20s内从A爬到B？B食物A四、举一反三BAB两条线路,看明白了吗?举一反三1．如图，在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20s内从A爬到B？中国古代人民的聪明才智真是令人赞叹!2．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？举一反三设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得:BC2+AC2=AB2即52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x+1=13．答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．举一反三解：能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）2.