应用多元统计分析课后标准答案

AA----izi.

弟一早

2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。

解:多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X=（X,,X2,.X。）'的联

合分布密度函数是一个P维的函数，而边际分布讨论是X=（X],X2，XQ'的子向量的概

率分布，其概率密度函数的维数小于p«

2.2设二维随机向量（X1X2）'服从二元正态分布，写出其联合分布。

解:设（X|X2）'的均值向量为p=（从〃2）'，协方差矩阵为巧巧；，则其联合

分布密度函数为

2.3已知随机向量（X1X2）'的联合密度函数为

21(d-C)(X]-a)+(h——c)—2(Xj—。)(无2—c)]

/UpX)

2s—a)2(d—c)2

其中aV%<b,c4%2V〃。求

（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差;

⑵随机变量X,和x2的协方差和相关系数；

（3）判断X1和X?是否相互独立。

（1）解:随机变量X,和X]的边缘密度函数、均值和方差;

fzx_fJ2[((7—c)(Xj—a)+(b-a)(x—c)—2(x)-a)(x—c)]

U1)=22

Jc(h-a)\d-c)2

2(d-c)(X—a)/2[(〃-a)(x2-c)-2(%j-a)(x2-c)]

(b-a)2(d-c)2(b-a)2(d-c)2

d出

2(d-c)(x{-a)x2+r-。2[(b—a)t—2(x,—a)t}

2+22

(b-a)\d-c)cJ0-(b-a)(d-c)""

22

2(d—c)(x”[(b-a)t-2(x}-d)t]"'_1

2+22

(b-a)\d-c)c(b-a)(d-c)0b-a

所以

由于X|服从均匀分布，则均值为皆，方差为

同理，由于X?服从均匀分布儿(毛)=<1^内e[c，d],则均值为竺£,

0其它2

方差为

12

(2)解:随机变量X,和X?的协方差和相关系数;

COV(Xj,x2)

2[(J-0)(玉一a)+S—a)(x-c)-2(%—a)(x一c)]

22dX'dx?

(b—ci)2(t/—c)2

(c-d)(b-a)

36

_COV(Xp^)_1

aa3

x\-*2

(3)解：判断X1和X?是否相互独立。

Xi和X2由于f(xt,x2)*4(x))4(x2),所以不独立。

2.4设X=(X],X2，X,,)'服从正态分布，已知其协方差矩阵X为对角阵，证明其分量是

相互独立的随机变量。

解：因为X=（X],X2，.X。）'的密度函数为

1

0

1

一；（X-N）TT7

(X-M

1

1（七一勺尸

%)'exp<_J_匆-〃1)-_j(工2一〃3)-—---------------->

2of2cr；2可j

山山exp卜号+/（%）.••"

则其分量是相互独立。

2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为

"201588000.0038900.0083722500.00-736800.00'

38900.0013.06716710.00-35.80

V乙—一

83722500.0016710.0036573750.00-199875.00

、-736800.00-35.800-199875.0016695.10,

10

—1

注:利用X=-X'i,其中/,,=

px[nnn

01

在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：

1.选择菜单项Ana1yze-*DescriptiveStatistics-*Descriptives，打开Descrip

tives对话框。将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。

图2.1Descriptives对话框

2.单击Options按钮，打开Options子对话框。

在对话框中选择Mean复选框,即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue

按钮返回主对话框。

图2.20ptions子对话框

3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1,即样

本均值向量为(35.3333,12.3333,17.1667,1.5250E2).

描述统计里

N均值

X1635650.0000

x2612.3333

x3617325.0000

x46152.5000

有效的N(列表状态)6

表2.1样本均值向量

在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下：

1.选择菜单项Analyze->Corre1ate-*Bivariate，打

开BivariateCorrelations对话框。将三个变量移入右边的Variab1es

列表框中，如图2.3。

图2.3BivariateCorre1ations对话框

2.单击Options按钮，打开Options子对话框。选

择Cross-productdeviationsandcovariances复选框，即计算样本离差阵

和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。

图2.4Options子对话框

3.单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给

出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，PearsonC

orrelation为皮尔逊相关系数矩阵,SumofSquaresandCross-produ

cts为样本离差阵。）

相关性

XIx2x3x4

x1Pearson相关性1.758.975”-.402

显著性（双恻）.081.001.430

平方与叉程的和1.008E9194500.0004.186E8-3684000.000

协方差2.016E838900.0008.372E7-736800.000

N6666

x2Pearson相关隹.7581.764-.077

显著性（双恻）.081.077.885

平方与叉租的和194500.00065.33383550.000-179.000

协方差38900.00013.06716710.000-35.800

N6666

x3Pearson相关性.975-7641-.256

显著性（双侧）.001.077.625

平方与叉租的和4186E883550.0001.829E8-999375.000

协方差8.372E716710.0003.657E7-199875.000

N6666

x4Pearson相关性-.402-.077-.2561

显著性（蚁恻）.430,885.625

平方与叉程的和-3684000.000-179.000-999375.00083475.500

协方差•736800.000-35.800•199875.00016695.100

N6666

2.6渐近无偏性、有效性和一致性;

2.7设总体服从正态分布,X〜有样本XyXz，…,由于又是相互独立的正

态分布随机向量之和，所以及也服从正态分布。又

£（x）=£|Xx,.n〉Un=

k/=!

〃i=lHi=l〃

所以X〜N〃（内X）。

2.8方法1:七二一1-^^*,-*）△,.—*）'

1fl____

方双

E（E）=，E（YX,.X；-〃双）

〃一1片

^^E（X,.X；）-nE（XX9

1〃y1

Y^-n-（n—1）E=Lo

n-1白nn-1

方法2:S=t（X厂及）（X,」X）'

i=l

Z[X,-N一（X—N）][Xj叩一（X-R）]

I=I

,

=£（X「N）（X,r）'—2£（X,.-H）（X-fi）+n（X-n）（X|i-如y

i=li=\

=S（X,.-|1）（X「H）'-2〃（玄-必玄-n）z+n（X-|i）（X—>

i=\

=Z（X/g（x,r）'-〃（火-Ji）区-N'

i=l

喈十士晦（x，r）（x-H（j"），

二2度E区-M（X,-_N（又_N）''E。

故二一为£的无偏估计。

n-1

2.9.设X（»X⑵,...,X（“）是从多元正态分布X~Np（",£）抽出的一个简单随机样本，试求S

的分布。

证明：设

*、

***

***=（左）为一正交矩阵，即「T=I。

111

、4Iy/n4n,

令z=(z1z2Zn)=(x,x2xjr,

由于Xj(i=1,2,3,4,〃）独立同正态分布，且「为正交矩阵

所以Z'=（Z]Z2Z“）独立同正态分布。且有

z„=X,,E(Z“)=E(xj=Gp,Var(Zn)=E

E(Z“)=E(W%X,)(a=l,2,3,.，〃一1)

J=1

j=i7〃

=廊24%=0

i=\

J=1

=为物"凶)=£曲厚

7=1j=l

所以Z|Z2---Z“T独立同N(0,E)分布。

又因为S=t(x,-又)(X厂5)'

i=l

_〃

=ZXjX丁欣对

因为〃=x14fxi=z“z；

\>/=1八i=\7

2

又因为x2…xj

J=1,

(xj

X、

/、，x;

=(“x2xn)rr

，z;、

=(Z|z2zn)Z2

Z”

所以原式Sx'_zz=£zw—z.z：

j=lj=l

=Z1Z；+Z2Z；+...+Z„Z；-ZnZ；1

i^S=^Z,Z；,由于Z1,Z2，,Z,T独立同正态分布M，(O,E),所以

j=l

$=*£”(〃—1,Z)

>1

2.10.设Xj(4xp)是来自(也.工)的简单随机样本,i=l,2,3,,Z,

⑴已知Hl=%=...=人=Jl且=22=…==£,求JI和E的估计。

(2)已知Xi=L2=♦..=£欠=工求出,“，…，，出,和E的估计。

1卜"a

解：(1)A=X=-------------------Z£x；,

n,+〃2+•••+«*Zi

£_"=li=l_______________________

n[+&+…+%

(2)ln£3，,”,Z)

ln[(2])。国[*exp[—垃£(x：-x；-|i”)]

La=\i=\

In1f<①

InL(M，L)=--pnln(2^)--In|E|(x：-儿)'T(x：-儿)

Z224=11=1

*??)=-卜"+；££(x;-4)(x；—儿yA)2=o

"ZLa=li=l

Sin加广）=£1(X「内)=0(/=1,2,.../)

i=\

解之，得

knj

i”,EE(xu-\)(xu-

M=可=，!>"上=且上-----------

n.*7〃1+〃2+…+〃*

第三章

3.1试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。

其基本思想和步骤均可归纳为：

答：

第一,提出待检验的假设H。和H1;

第二，给出检验的统计量及其服从的分布；

第三,给定检验水平，查统计量的分布表,确定相应的临界

值，从而得到否定域；

。第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策

（拒绝或接受）。

均值向量的检验:

统计量拒绝域

均值向量的检验：

在单一变量中

(X-Ao)^

当"已知z=

a

IZl＞Z/2

当，未知

s

1〃＞如2（"-1）

1«_

（S2=——Z（X,-又）2作为02的估计量）

一个正态总体H（）t|i=%

甯=〃6_〃。），广途一〃0）~/（p）

协差阵N已知T：＞片

(//-1)—/?+12T?(\

协差阵E未知--——-----T-F(p,n-p)

n-p2

T>Fa

("Dp

2,

(T=(n-l)[^(X-n0)S-'V^(X-3)])

两个正态总体Ho：ji,=ji2

有共同已知协差阵T~=(X-Y)^-1(X-Y)~2(p)甯>/

n+mZ

有共同未知协差阵F=(2+加―2)一2+172〜F(p,n+m-p-l)F>Fa

(〃+/n-2)p

(其中

T2=(n+m-2)J-^-(X-Y)S-'EK(X-Y))

Vn+m\n^m

协差阵不等n=mF=P也宏s'G~F(p,n—p)

P

F>Fa

协差阵不等n#mF=(n—P)nq，s“G~F(p,n—p)

P

F>Fa

多个正态总体Ho：=〃2=…=Nk

SSARk-D

单因素方差F(k-l,n-k)

SSE/(n-k)

F>F,

多因素方差A_B__H_~A(p,n-k,k-l)

|T||A+E|

协差阵的检验

检验2=£。

%：£=L，

%£="L，

检验£]=%=~工kHo：=%=…=Z

统计量4=户口国产小产口仍2

3.2试述多元统计中霍特林T2分布和威尔克斯A分布分别与一元统计中t分布和F分布的关

系。

答：(！)霍特林T2分布是t分布对于多元变量的推广。

22

t=_Ay(S)-'(N-M而若设X~Np(ji,E),S~Wp(n,E)且X与S

相互独立，p,则称统计量T：=n(X-囚的分布为非中心霍特林「分布。

若X~N?(0,£),S~%(〃,£)且X与S相互独立，令T2=nX'S-'X,则

----------T~b(p,〃-p+1)o

np

(2)威尔克斯八分布在实际应用中经常把人统计量化为统计量进而化为尸统计量,

利用F统计量来解决多元统计分析中有关检验问题。

A与E统计量的关系

P«|〃2F统计量及分别

，八

-P+11-A(p,〃]!,l)

任意任意1-------------------------------F(/7,n.-p+1)

pA(p,4,l)

%—Pl-jA(p,〃|,2)

任意任意2r---------------〜P(2p,2(〃|/?))

PjA(p,〃1,2)

区.上幽(…)

I任意任意

4-17A(2,4，%)sc/1'、

2任意任意-r-------------F(2n,,2(nl1))

n2JA(2,〃1,“2)

3.3试述威尔克斯统计量在多元方差分析中的重要意义。

答：威尔克斯统计量在多元方差分析中是用于检验均值的统计量。

"o：内=%=%至少存在存/使也片均

用似然比原则构成的检验统计量为A=(^=」^~A(p,〃-给定检验水

lTl|A+E|〃

平a,查Wilks分布表，确定临界值，然后作出统计判断。

第四章

4.1简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。

答：设p维欧几里得空间RP中的两点X=(X/；，…Xp)'和Y=(0Y；.““Yp)‘。则欧几里得

距离为YJ；。欧几里得距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理。②会受

到实际问题中量纲的影响。

设X,Y是来自均值向量为|1,协方差为工的总体G中的p维样本。则马氏距离为D(X,Y)

=(X-Y)?E-lx-Y)。当£"*=1即单位阵时，D(X,Y)=(X-Y)'a-¥>里式％-Y>

即欧几里得距离。

因此,在一定程度上,欧几里得距离是马氏距离的特殊情况,马氏距离是欧几里得距离的

推广。

4.2试述判别分析的实质。

答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某

种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。设R1,R2,…,Rk是p维空

间Rp的k个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为R，，则称R，，R?…Rp为Rp的一个

划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对P维空间Rp构造一个“划

分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。

4.3简述距离判别法的基本思想和方法。

答:距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。其基本思想都

是分别计算样本与各个总体的距离(马氏距离)，将距离近的判别为一类。

①两个总体的距离判别问题

设有协方差矩阵£相等的两个总体&和&其均值分别是和〃2,对于一个新的样品％要

判断它来自哪个总体。计算新样品才到两个总体的马氏距离加(4G,)和万(尤名)，则

XWG],4(X,GQgD-(X,G2)

XEG2>呢x,G.)>Z/(X,G2,

具体分析，

22

D(X,G,)-D(X,G2)

=XX-1X-2X2。1+吟口-(X£TX-2X2T%+NA'”)

=2XT-'仙一冉)+山匚冉一照匚出

=2XX-1(%-冉)+(冉+飓)£'3f2)

=—2(X—与2)

\2)

=_2(X_.)'a=_2a'(X_@)

记W(X)=a'(X-@)则判别规则为

XWG-W(X)NO

XrG2,W(X)<0

②多个总体的判别问题.

设有％个总体G.G2,…,G*,其均值和协方差矩阵分别是出12,…，人和二，％，…，％，

且4=2?=-=£*=£。计算样本到每个总体的马氏距离,到哪个总体的距离最小就属

于哪个总体。

具体分析，Z)2(X,Ga)=(X—4)'£'(X-gJ

=次£一》2%£飞+心”

=XT-'X-2(I；X+Ca)

取L=£为“，6=—］；工"“，a=l,2,…,左。

可以取线性判别函数为

Wa(X)=raX+Ca,a=1,2,…水

相应的判别规则为XeG,若叱(X)=maxO：X+Ca)

\<a<k

4.4简述贝叶斯判别法的基本思想和方法。

基本思想:设k个总体G1,G2,…,G小其各自的分布密度函数/(x),/2(x),…，人(x),假设k

个总体各自出现的概率分别为0,…，①，q；>0,火/=1。设将本来属于。总体的样品

1=1

错判到总体Gj时造成的损失为C(_/|i),i,j=\,2,…,ko

设k个总体G，G?,G&相应的〃维样本空间为R=(鸟，&，。

在规则R下,将属于G；的样品错判为Gj的概率为

P(八i,R)=\&(x)dx=i^j

J勺

则这种判别规则下样品错判后所造成的平均损失为

r(z|R)=1i)P(j\i,R)]i=1,2,…M

内

则用规则R来进行判别所造成的总平均损失为

g(R)=Z%r(i,R)

i=\

=£q,£c(八

i=lJ=l

贝叶斯判别法则,就是要选择一种划分鸟，6,,使总平均损失g(R)达到极小。

kk

基本方法：g(R)=IOP(./Ii,R)

1=1j=l

=E^Eco'io£力(x)dx

i=lj=IJ

=ZJR(X/C(力i)fi(x))dx

j=lji=T

令(川i)E(x)=/(x),则g(R)=Ejjj(x)dx

i=lj=\Jj

若有另一划分R*=(R：,R；,R；),g(R*)="%(x)dx

则在两种划分下的总平均损失之差为

kk

g(R)-g(R)=CR」“(X)-hj(x)Mx

i=\j=\」Q)

因为在号上加(x)＜号(x)对一切j成立,故上式小于或等于零,是贝叶斯判别的解。

从而得到的划分R=因，&，)为K一回“(X)一嘿/(X)[i=1,2,…次

4.5简述费希尔判别法的基本思想和方法。

答：基本思想:从2个总体中抽取具有，个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造

一个线性判别函数

U(X)=u,Xl+u2X2++upXp=u'X

系数u=(%,%，…，叫,)’可使得总体之间区别最大,而使每个总体内部的离差最小。将新样

品的P个指标值代入线性判别函数式中求出u(x)值,然后根据判别一定的规则，就可以判

别新的样品属于哪个总体。

4.6试析距离判别法、贝叶斯判别法和费希尔判别法的异同。

答:①费希尔判别与距离判别对判别变量的分布类型无要求。二者只是要求有各类母体的两

阶矩存在。而贝叶斯判别必须知道判别变量的分布类型。因此前两者相对来说较为简单。

②当k=2时，若工-工；二工则费希尔判别与距离判别等价。当判别变量服从正态分布时，二

者与贝叶斯判别也等价。

③当时，费希尔判别用卫十E：作为共同协差阵，实际看成等协差阵，此与距离判

别、贝叶斯判别不同。

④距离判别可以看为贝叶斯判别的特殊情形。贝叶斯判别的判别规则是X[G],W

(X)itod

xe,w(x)<lnd

G2

距离判别的判别规则是

«X「W(X)iO

XE,W(X)<0

G2

二者的区别在于阈值点。当0=%,C(1|2)=C(2|1)时，d=l,ind=。•二者完全相同。

4.7设有两个二元总体G；和G?，从中分别抽取样本计算得到

和=(：)，"=巴)$=因烈假设工=!：；,试用距离判别法建立判别函数和

判别规则。样品X=(6,0)'应属于哪个总体？

解出水⑴=用，再次⑵二仁)，群手=(二J

%=球(x-R)=(x-llVr'\Hj-jij)

(x-JI)=(6X))-(4,0.5)=(2AS；

F1__L/76-2.1\

-3967V-24IS)

血-%)=(2廿

“=(如焉(乙二)©=4>°

•XeGi即样品X属于总体G]

4.8某超市经销十种品牌的饮料，其中有四种畅销，三种滞销，三种平销。下表是这十种品

牌饮料的销售价格（元）和顾客对各种饮料的口味评分、信任度评分的平均数。

销售情况产品序号销售价格口味评分信任度评分

12.258

22.567

畅销

33.039

43.286

52.876

平销63.587

74.898

81.734

滞销92.242

102.743

⑴根据数据建立贝叶斯判别函数，并根据此判别函数对原样本进行回判。

⑵现有一新品牌的饮料在该超市试销，其销售价格为3.0,顾客对其口味的评分平

均为8,信任评分平均为5,试预测该饮料的销售情况。

解:增加group变量，令畅销、平销、滞销分别为group1、2、3;销售价格为人,口味评分为

X如信任度评分为X3,用SPSS解题的步骤如下：

1.在SPSS窗口中选择Analyze-»-Classify-*Discriminate,调出判别分析主

界面，将左边的变量列表中的“group”变量选入分组变量中，将Xi、X2、X3

变量选入自变量中，并选择Enterindependentstogether单选按钮，即使

用所有自变量进行判别分析。

2.点击DefineRange按钮，定义分组变量的取值范围。本例中分类变量的

范围为1到3,所以在最小值和最大值中分别输入1和3。单击Continue按

钮，返回主界面。如图4.1

图4.1判别分析主界面

3.单击Statistics...按钮,指定输出的描述统计量和判别函数系数。选中Func

tionCoefficients栏中的Fisher,s：给出Bayes判别函数的系数。（注意:

这个选项不是要给出Fisher判别函数的系数。这个复选框的名字之所以为

Fishery是因为按判别函数值最大的一组进行归类这种思想是由Fisher提出来

的。这里极易混淆，请读者注意辨别。）如图4.2。单击Continue按钮，返回主界

面。

图4.2statistics子对话框

4.单击Classify...按钮，弹出classification子对话框，选中Disp1ay选项栏

中的Summarytable复选框，即要求输出错判矩阵，以便实现题中对原样本

进行回判的要求。如图43。

图4.3classification对话框

5.返回判别分析主界面，单击OK按钮，运行判别分析过程。

1)根据判别分析的结果建立Bayes判别函数：

Bayes判别函数的系数见表4.1«表中每一列表示样本判入相应类的Bayes判别函数系数。

由此可建立判别函数如下：

Groupl：KI=-81.843-11.689X1+12.297X2+16.761X3

Group2：F2=-94.536-10.707X1+13.361X2+17.086X3

Groups：K3=-l7.449-2.194X1+4.960X2+6.447X3

将各样品的自变量值代入上述三个Bayes判别函数，得到三个函数值。比较这三个函数值，

哪个函数值比较大就可以判断该样品判入哪一类。

ClassificationFunctionCoeftici

ents

group

123

X1-11.689-10.707-2.194

x212.29713.3614.960

x316.76117.0866.447

(Constant)-81.843-94.536-17.449

Fisher's1ineardiscriminantfunctions

表4.1Bayes判别函数系数

根据此判别函数对样本进行回判，结果如表4.2。从中可以看出在4种畅销饮料中，有3种被正

确地判定，有1种被错误地判定为平销饮料，正确率为75%。在3种平销饮料中，有2种被正

确判定，有1种被错误地判定为畅销饮料，正确率为66.7%。3种滞销饮料均正确判定。整

体的正确率为80.0%。

ClassiticationResu1tsa

PredietedGroupMem

bership

grou

P123Total

0riginCount13l04

al2

1203

30033

%175.025.0.0100.0

233.366.7.0100.0

3.0.0100.0100.0

a.80.0%oforiginalgroupedcasescorrectlycla

ssified.

表4.2错判矩阵

2)该新饮料的Xl=3.0,X2=8,X3=5,将这3个自变量代入上一小题得到的Bayes判

别函数，丫2的值最大，该饮料预计平销。也可通过在原样本中增加这一新样本,重复上

述的判别过程，并在classification子对话框中同时要求输出casewiseresuits,

运行判别过程，得到相同的结果。

4.9银行的贷款部门需要判别每个客户的信用好坏(是否未履行还贷责任)，以决定是否给

予贷款。可以根据贷款申请人的年龄(XJ、受教育程度(X2)、现在所从事工作的年数(X?)、

未变更住址的年数(X,)、收入(X$)、负债收入比例(X)、信用卡债务(X,)、其它债务

(X,)等来判断其信用情况。下表是从某银行的客户资料中抽取的部分数据，⑴根据样本资

料分别用距离判别法、Bayes判别法和Fisher判别法建立判别函数和判别规则。⑵某客户

的如上情况资料为(53,1,9,18,50,11.20,2.02,3.58),对其进行信用好坏的判别。

目前信用客户

4X,X」XsXfX,Xs

好坏序号

123172316.600.34