2021-2022学年高二下学期期末复习卷10

2020-2021学年高二数学下学期期末测试卷02测试范围：选择性必修第二、三册一、单选题1．设，，随机变量X的分布列是（）a则方差（）A．既与有关，也与有关 B．与有关，但与无关C．与有关，但与无关 D．既与无关，也与无关【答案】B【解析】根据方差公式求出方差，再判断即可.由分布列可得，故.故选：B【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握期望和方差的公式.2．在的展开式中，含的项的系数是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】先写出展开式的通项，再讨论第一个括号选则令，第一个括号选，则令，两者相加即可求解.展开式的通项为，所以含的项为，所以含的项的系数是，故选：B.3．与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出直线的方程，再求出直线与曲线相切的切点坐标即可得解.因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，设直线与曲线相切的切点，而，则，得，即直线过点(1，0)，方程为y=3x-3，设直线与曲线相切的切点P，有，由得，从而有点，而点P在直线：y=3x-3上，即，解得.故选：D【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.4．已知盒子里有10个球（除颜色外其他属性都相同），其中4个红球，6个白球甲、乙两人依次不放回地摸取1个球，在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分别计算甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球的种数和甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球的种数可得答案.甲先摸到1个红球，乙再从剩下的9个球中摸1个球，共有种，其中甲先摸到1个红球，乙再从剩下的3个红球中摸1个球，共有种，所以在甲摸到红球的情况下，乙摸到红球的概率为.故选：A.5．某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用（万元）23456销售额（万元）1925343844根据上表可得回归直线方程为，下列说法正确的是（）A．回归直线必经过样本点、B．这组数据的样本中心点未必在回归直线上C．回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D．据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元【答案】D【解析】根据回归方程的含义与性质判断ABC，根据最小二乘法求出回归方程可判断D.回归直线，不一定经过任何一个样本点，故A错；由最小二乘法可知，这组数据的样本中心点一定在回归直线上，故B错；回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，预测销售额增加6.3万元，故C错；，，将代入可得，则回归方程为，时，，故D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查回归方程的含义与性质，考查根据最小二乘法求出回归方程以及利用回归方程估计总体，属于基础题.6．已知函数，下列结论正确的是（）①曲线上存在垂直于y轴的切线；②函数有四个零点；③函数有三个极值点；④方程有四个根.A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】C【解析】根据导数的性质，结合函数的零点定义、极值的定义、导数的几何意义进行求解即可.，因为，所以曲线上存在垂直于y轴的切线，因此结论①正确；当时，，因此在上单调递增，当时，由函数的单调性的性质可知：函数单调递减，当时，，因此在上单调递增，当时，，因此在上单调递减，如下图所示：所以函数有三个极值点，因此③正确；因为，，，所以函数有二个零点，，因此②错误；方程可转化为或，结合图象知，方程有两个根，也有两个根，故方程有四个根，因此④正确.综合以上，正确的为①③④，故选：C.【点睛】关键点睛：根据极值的定义、零点存在原理，结合数形结合思想是解题的关键.7．对函数(，且)的极值和最值情况进行判断，一定有（）A．既有极大值，也有最大值 B．无极大值，但有最大值C．既有极小值，也有最小值 D．无极小值，但有最小值【答案】C【解析】先求出导数，，然后讨论方程根的情况，进而判断各选项，下面讨论方程根的情况.令，，（1）当时(即)，仅有一个唯一的正零点，不妨设为，此时有三个不同零点，分别为，0，；满足既有极小值，也有最小值；（2）当时(即)；满足既有极小值，也有最小值；（3）当时(即且)，若(即且)，则仅有一个唯一的极小值点为0，若，结合分析可知：当时，有两个不同的正零点(令为，且).此时在，，上单调递减，当时，则仅有一个唯一的极小值点为0.满足既有极小值，也有最小值；综上分析，故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键在于：求导后讨论方程根的情况，讨论的时候，分情况：（1）当；（2）当；（3）当，进而判断各选项，属于难题8．对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②；③．定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法错误的是（）A．若，则为“s数列”B．若，则为“t数列”C．若为“s数列”，则为“t数列”D．若等比数列为“t数列”则为“s数列”【答案】C【解析】根据“s数列”和“t数列”的定义逐一对各选项分析判断即可.解：对A：，，又，数列为“s数列”，故选项A正确.对B：，，又，，，数列为“t数列”，故选项B正确.对C：若，，又，所以数列为“s数列”，但，故选项C错误.对D：若等比数列为“t数列”，则，即（公比为）.（1）若公比，因为，所以，所以，所以，此时因为，，，所以，即，所以为“s数列”；（2）若公比，由得，由性质③知，即，所以，但此时与性质③不符，所以时不是“t数列”.综上，若等比数列为“t数列”则为“s数列”，选项D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住数列为“s数列”和数列为“t数列”所满足的性质对各选项逐一分析.二、多选题9．给出下列命题，其中正确命题为（）A．投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）各一次，记硬币正面向上为事件A，骰子向上的点数是2为事件B，则事件A和事件B同时发生的概率为B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和C．随机变量服从正态分布，，则D．某选手射击三次，每次击中目标的概率均为，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中2次的概率为【答案】ABD【解析】分别计算事件A和事件B的概率可判断A；根据对数的运算性质可判断B；根据正态分布的性质可判断C；计算该选手击中2次的概率和3次都击中的概率可判断D.对于A，事件A的概率为，事件B的概率为，则事件A和事件B同时发生的概率为，故A正确；对于B，因为，所以两边取对数得，令，可得，因为，所以，所以，故B正确；对于C，随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称，则，故C错误；对于D，由题意得，该选手1次未击中，2次击中的概率为，3次都击中的概率，则至少击中2次的概率为，故D正确.故选：ABD.【点睛】考查了相互独立事件的概率、线性回归方程、正态分布问题，其中熟练掌握相关知识、性质、运算是解题的关键.10．若，则（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】令，可验证A，令，，计算可验证B、C,令，化简计算可判断D,即可得出结果.令，则，A对，令，则，令，则，∴，，B对，C错，令，则，又，则，D对，故选：ABD.【点睛】方法点晴：二项式系数和问题通常都是通过赋值法求解.11．记表示与实数最接近的整数，数列通项公式为，其前项和为，设，则下列结论正确的是（）．A． B． C． D．【答案】BC【解析】由时，可判定A不正确；由，可判定B正确；由，可得，根据是右侧的最接近的整数，可判定C正确；根据题意归纳得到数列中，有2个1，4个，6个，8个，，结合等差数列求和公式，可判定D不正确.由题意，记表示与实数最接近的整数，且，当时，可得，所以A不正确；由，即，可得，可得成立，所以B正确；由，可得，平方可得，因为，且不是整数，其中是右侧的最接近的整数，所以成立，所以C正确；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；归纳可得数列中，有2个1，4个，6个，8个，又由构成首项为2，公差为2的等差数列，可得，令，解得，所以，所以D不正确.故选：BC.【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.12．已知函数，则下列说法正确的是（）A．若，则在区间上单调递减B．若，则C．若，则有两个零点D．若，则曲线上存在在相异两点，处的切线平行【答案】AB【解析】,求导函数，判断在上的正负确定增减；，求导函数判断增减，求出最小值，；分离参数，求出函数的变化趋势以及最值，判断与轴交点的个数；假设存在相异两点，，利用平行得函数，转化为与交点个数问题.对于A，，在单增，，时，单调递减；A对.对于B，，在单增，，时，单调递减，时，单调递增，，；B对.对于C，若，，，则，，令，显然在上单增，且，时，；，在上单减，时，；，在上单增，故，有零点，则;C错.对于D，，若曲线上存在相异两点处的切线平行，则，即，即，也就是有两相异根，即有两个交点，令，则在上单增，当时，；当时，；故与只有一个交点.D错.故选：AB【点睛】利用导函数的正负判断原函数的增减，求出函数的最值，通常求导，用到的办法有分离参数法，以及将交点的个数问题转化为方程解的个数问题.三、填空题13．某医院传染病科室有5名医生．4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生．2名护士，则不同的选取方法有______种．【答案】【解析】将符合题意的情况分为两类：名医生、名护士和名医生、名护士；利用组合的知识可分别求得两类情况的种数，由分类加法计数原理可得到结果.符合题意的情况有两种：名医生、名护士和名医生、名护士．选取名医生、名护士的方法有：种；选取名医生、名护士的方法有：种；综上所述：满足题意的选取方法共有种．故答案为：.14．已知随机变量，若，则_______.【答案】0.1【解析】根据已知及二项分布的概率公式求参数p，再应用正态分布的对称性知：即可求出.∵随机变量，∴，解得或(舍)，又，∴，故答案为：0.115．设为数列的前项和，满足，，其中，数列的前项和为，满足，则___________.【答案】【解析】首先变形等式为，利用累乘法，求得数列的通项公式，以及数列的通项公式，代入后，利用错位相减法求和.由题意，即，累乘得，可知，，当时，，所以，又时，，且当时成立，从而有，故，所以，故.故答案为：【点睛】方法技巧常见数列的裂项方法数列（为正整数）裂项方法（为非零常数）（为非零常数）（，）注意：利用裂项相消法求和时，既要注意检验裂项前后是否等价，又要注意求和时正负项相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.16．对于函数，有下列4个论断：甲：函数有两个减区间；乙：函数的图象过点；丙：函数在处取极大值；丁：函数单调.若其中有且只有两个论断正确，则的取值为______.【答案】2【解析】对函数求导后即可判断出甲错误，由于丙、丁相悖，分别讨论丙与丁正确，即可得出答案.（）若甲正确，函数在有两个减区间，记，则在有两个解且开口向下,则无解，即甲错误.因为丙丁相悖.所以若丁正确，则甲丙错误、乙丁正确.，(或)在恒成立.即(或)在恒成立.即.若丁错误，则甲丁错误、乙丙正确.此时此时在处取极小值，与丙矛盾，舍去.综上所述：.故答案为：2.【点睛】本题考查函数的极值与单调性.属于难题.其中需要注意的是极值点是导函数的异号零点，利用导函数为0解出来的极值点，一定要检验其是否真正的极值点.四、解答题17．已知数列首项，且满足，令.（1）求证：数列为等差数列；（2）求数列中的最小项.【答案】（1）证明见解析；（2）-3.【解析】（1）将递推关系两边同除以，得到，从而证得数列为等差数列；（2）由（1）中结论求得的通项公式，求得，写出前3项，当时，，易知其最小的项.（1），，即.又，为首项为-3，公差为1的等差数列，.（2），即.又，，，当时，.数列中的最小项为.【点睛】方法点睛：递推关系较为复杂时，按照题干给定的新数列的表达式形式，化成相同的形式，从而根据等差或等比数列定义求得新数列类型.18．有四个编有1､2､3､4的四个不同的盒子，有编有1､2､3､4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？【答案】（1）种；（2）；（3）种.【解析】（1）用分步乘法计数原理计算，考虑每个球的放法可得；（2）选取2球放在一起作为一个球，共3个球放到3个盒子中，用排列求得放法后由古典概型概率公式可计算出概率；（3）4个球的全排列数减去编号全相同的排法1即可得．（1）每个球都有4种方法，故有种（2）从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法.概率为：（3）每个盒子不空，共有，种．【点睛】关键点点睛：本题考查计数原理，古典概型，排列的应用．难点是事件“4个盒子中恰有一个盒子没放球”，解题关键是确定完成这件事的方法，4个球放到3个盒子中，其中有一个盒子中必有2个球，由此可选取2个球放在一起作为一个球，4个球看作3个球放入4个盒子中的3个中，用排列知识可求解．19．某中学模拟新高考模式，将本校期末考试成绩划分为、、三个等级.教务处为了调研高一新生学习情况，随机抽取了高一某班名同学的语文、数学、英语成绩，并对他们的成绩进行量化：级记为分，级记为分，级记为分，用表示每位同学的语文、数学、英语的得分情况，得到如下结果：人员编号现用综合指标的值评定该同学的得分等级：若，则得分等级为一级；若，则得分等级为二级；若，则得分等级为三级.（1）在这名同学中任取两人，求这两位同学英语得分相同的概率；（2）从得分等级是一级的同学中任取一人，其综合指标为，从得分等级不是一级的同学中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，随机变量的可能取值有：、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.（1）设事件为“从名同学中随机抽取两人，他们的英语得分相同”，英语得分为的有：、、、、、，英语得分为的有：、、、，从名同学中随机抽取两人的所有可能结果数为，英语得分相同的所有可能结果数为，英语得分相同的概率；（2）计算名同学的综合指标，可得下表：人员编号综合指标4461453543其中综合指标是一级的有：、、、、、、共名，综合指标不是一级的有：、、，共名，随机变量的所有可能取值为：、、、、，，，，，，的分布列为：12345.【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.20．已知函数，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)在给定条件下求导，并求出在处的导数值即可得解；(2)先求出的最小值，再分情况讨论即可得解.（1）当时，，求导得，，而，所以在处的切线方程为，即；（2）定义域为，则，当时，令，可得，列表如下：-0+递减极小值递增于是有，令，①当时，即时，，则，不符合题意；②当时，即时，对任意的恒成立，要使，必有，二次函数的对称轴为，则时，即，解得，从而有，所以实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.21．已知函数，.（1）求函数的增区间；（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）求函数的导数，分类讨论，解不等式即可求解；（2）根据极值点可转化为，是方程的两个不相等的正实数根，可得且，要证，只要证，利用构造函数的单调性证明即可.（1）由题意得().令，则.①当，即时，在上恒成立，即的增区间为；②当，即时，或，即的增区间为和.综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为和.（2）因为()，有两个极值点，，所以，是方程的两个不相等的正实数根，可求出从而，，解得.由得.因为，所以且.令，且，则，所以当时，，从而单调递增；当时，，从