材料力学课件7（新）

七、应力状态与强度理论

(Stateofstressandtheoryofstrength)1.

二向应力状态、主应力应力状态——一点处不同方位截面上应力的集合应力分析的目的——确定一点应力的变化规律与极值应力二向应力状态——一对面上应力为零的应力状态τxτy

y

xτxτy

y

x（1）斜截面上的应力单元体平衡

正——外法向

正——顺时针

正——逆时针σx、

σy、

τx=τy表示

σα、τα？yxατyτxσααταnt

x

y斜截面上的应力确定极值应力（2）应力圆应力平面(

,

)，应力平面上点的坐标——截面上的应力值应力随截面方位的变化应力平面上的圆——（Mohr）应力圆圆心，半径B(

x,x)(

,

)A1A2(

y,-

y)2

2

0

Co

（3）主应力应力圆上，点A1对应截面上的正应力最大，点A2对应截面上的正应力最小——主平面主平面上的切应力为零，极值正应力——主应力(principalstress)

1

2

x>

y时，

1截面——0，x>0——0<0；x<0——0>0

2截面——90+0

x<

y时，反之点B对应截面上的切应力最大极值切应力所在截面与主平面成45º主平面相互垂直思考：通过求极值分析主平面、主应力、最大切应力及其关系

分析单向应力状态与纯剪切应力状态

两个相互垂直截面上正应力之和的不变性解：构件中某点处于二向应力状态，已知单元体各面上的应力。试求：(1)斜截面

=30上的应力；(2)主应力大小；(3)画出主平面的位置与主应力的方向。(1)

截面上例7-1.160MPa80MPa

(3)主平面、主应力方位(2)主应力

0

1

2直杆横截面为边长a＝40mm、b＝5mm的矩形，两端受轴向拉力F作用试，测得与轴线成

=45截面上的切应力

=150MPa。试求力F的大小。解：取单元体

截面上力F，例7-2.

杆拉伸，横截面上正应力某点处于二向应力状态，已知两截面上的应力

A、

B、

A，夹角

。试求切应力

B与主应力。解：-(180

-

)

面上，应力

B、B，例7-3.xy

A

B

A

B

取上面法线为x轴解得主应力思考：P241-7-1，2，3，习题7-1，5练习：P244-习题7-3，7，8(d)思考：

<90

时，

A=B=A=0应力状态

=90

时，

<180

，

>180

时，又如何？2.三向应力状态单元体独立的应力分量——

x、y、z、xy=yx、xz=zx、

yz=zy存在三对相互垂直的主平面，主应力

1

2

3应力平面上的应力圆xyz

x

xy

z

y

yx

xz

yz

zx

zy包含两个主应力的平面上应力——应力圆的点斜截面上的应力——应力圆所围成区域中的点所在截面与

1、

3的主平面成45°已知一个主平面上的主应力时，三向应力状态二向应力状态确定主平面、主应力及最大切应力最大切应力

1

3

2ACo

DBE

1

2

3

max思考：小长方体与单元体应力的区别已知单元体各面上的应力如图所示，试求主应力、最大切应力及其方位。解：该平面上的应力决定另二个主应力——主应力20202040(MPa)xyz例7-4.方位，最大切应力：注：应力和不变性，不变

1

2

3

0

max3.应力与应变的关系——广义胡克定律点的应力与应变的对应关系各向同性、线弹性、小变形假设下，广义胡克定律：正应力只引起正应变，切应力只引起同一平面内的切应变叠加法x方向的正应变

x、

y、

z—

x、

y、

z，

xy、

xz、

yz—

xy、

xz、

yz同理，二向应力状态切应变由应变表示应力x、y、z为主平面方向时，

1、

2、

3为极值正应变——主应变

1

2

3相应的切应变为零解：同例7-4题，E＝210GPa，

＝0.25。试求三个坐标方向的正应变与主应变。例7-5.正应变主应变注：应变和不变性主应变与主应力次序对应应力为零≠应变为零解：例7-6.二向应力状态，设0°方向—x，90°方向—y设45°方向—x1，135°方向—y1又主应力矩形截面杆，横截面边长a=10mm、b=20mm，受轴向拉力F作用，测得表面B点处

方向的正应变

=3.25×10-4，

=30

，E=210GPa，

=0.25。试求力F值。解：例7-7.FF

直杆轴向拉伸，点B处于单向应力状态

与90

+

方向的正应力

方向正应变力F，边长为a的立方体，放入宽为a+

(

<<a)

的刚性槽，上面作用均布力，合力为F，方块碰到槽壁，方块的弹性模量为E，泊松比为

。试求其主应力、主应变。解：（不计摩擦）Fxyz例7-8.立方块受力、变形均匀，看作单元体方块碰到槽壁的条件相应钢板厚δ＝6mm，两个垂直方向受拉，正应力为

x=150MPa，

y=55MPa，E=210GPa，

=0.25，。试求板厚变化

。解：，厚度方向正应变思考：P241-7-4，5，6，7，8习题7-13练习：P246-习题7-15(a)，16(a)，18，21，22厚度改变例7-9.板中各处应力状态相同，变形均匀三个弹性常数的关系单元体的体积变化：体应变用应力表示

1

3

2a2a1a3思考：拉压杆与扭转轴的体积变化分离应力成产生体积改变与形状改变两部分4.应变能密度在线弹性、小变形假设下，应变能与外力作用顺序无关——按同一比例加载单元体应变能应变能密度

x

y

z

x

xy

z

y

yx

xz

yz

zx

zyx、y、z为主平面方向时将应力分成产生体积改变与形状改变两部分体积改变能密度(

1,

2,

3)(

m,

m

,

m)+(

1-

m

,

2-

m

,

3-

m

)平均正应力思考：通过单元体两组截面上的应力，分别计算纯剪切应力状态与单向应力状态的应变能密度，并证明三个弹性常数的关系式形状改变能密度5.基本强度理论、相当应力材料失效的基本形式——脆性断裂、塑性屈服有关的因素——材料性质、应力状态第一类强度理论：失效类型——脆断破坏假说——最大拉应力达到极值注意：

1>0强度条件（1）第一强度理论——最大拉应力理论（2）第二强度理论——最大拉应变理论失效类型——脆断破坏假说——最大拉应变达到极值注意：形式上更完善，但用于三向拉应力情况不合理强度条件第二类强度理论：（3）第三强度理论——最大切应力理论失效类型——屈服失效假说——最大切应力达到极值强度条件注：仅考虑了一个极值切应力（4）第四强度理论——形状改变能密度理论失效类型——屈服失效

假说——形状改变能密度达到极值注：考虑到三个极值切应力，但形式较复杂强度条件应力状态分析主应力相当应力统一形式

r相当应力第一类强度理论第一强度理论

r1=

1第二强度理论

r2=

1-v(

2+

3)第二类强度理论第三强度理论

r3=

1-

3第四强度理论6.基本强度理论的应用影响材料失效类型的因素——材料性质、应力状态（1）脆性材料、非三向压应力状态下，脆断破坏，可用第一或第二强度理论（2）脆性材料、三向压应力状态下，屈服失效，可用第三或第四强度理论，

极限应力的试验有所不同（3）塑性材料、非三向拉应力状态下，屈服失效，可用第三或第四强度理论（4）塑性材料、三向拉应力状态下，脆断破坏，可用第一或第二强度理论，

极限应力的试验有所不同构件上某点单元体各面的应力如图所示，试分别按各强度理论计算相当应力（

=0.25）。解：主应力5070（MPa）例7-10.相当应力偏安全偏安全利用纯剪切应力状态，分析许用切用力与许用正应力的关系。解：（1）塑性材料第四强度理论正应力比较切应力强度条件得例7-11.纯剪切应力状态，切应力为

略小于前者，偏安全（2）脆性材料第二强度理论比较切应力强度条件得小于前者，偏安全第一强度理论第三强度理论简支梁，AB=2.5m，AC=BD=0.42m。工字型截面尺寸h=280mm，h1=252.6mm，b=122mm，

=8.5mm。受力F=200kN，[

]=170MPa，[

]=100MPa。试按第四强度理论校核其强度。解：ACDBFF200200FS(kN)84M

(kN·m)例7-12.