（普通班）高三数学一轮复习 第十二篇 复数、算法、推理与证明 第4节 直接证明与间接证明、数学归纳法基础对点练 理-人教版高三全册数学试题

第4节直接证明与间接证明、数学归纳法【选题明细表】知识点、方法题号综合法3,5,8,12分析法7,10,11反证法1,2,4,9数学归纳法6,13基础对点练(时间:30分钟)1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是(B)(A)自然数a,b,c中至少有两个偶数(B)自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)自然数a,b,c都是奇数(D)自然数a,b,c都是偶数解析:“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选B.2.设x,y,z>0,则三个数QUOTEyx+QUOTEyz,QUOTEzx+QUOTEzy,QUOTExz+QUOTExy(C)(A)都大于2 (B)至少有一个大于2(C)至少有一个不小于2 (D)至少有一个不大于2解析:假设三个数都小于2,则QUOTEyx+QUOTEyz+QUOTEzx+QUOTEzy+QUOTExz+QUOTExy<6,由于QUOTEyx+QUOTEyz+QUOTEzx+QUOTEzy+QUOTExz+QUOTExy=(QUOTEyx+QUOTExy)+(QUOTEzx+QUOTExz)+(QUOTEyz+QUOTEzy)≥2+2+2=6,所以假设不成立,所以QUOTEyx+QUOTEyz,QUOTEzx+QUOTEzy,QUOTExz+QUOTExy中至少有一个不小于2.故选C.3.设a=3-2,b=6-5,c=7-6,则a,b,c的大小顺序是(A)(A)a>b>c (B)b>c>a (C)c>a>b (D)a>c>b解析:因为a=3-2=13b=6-5=16c=7-6=17又因为7+6>6+5>3+2>0,所以a>b>c.4.(2014高考山东卷)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(A)(A)方程x3+ax+b=0没有实根(B)方程x3+ax+b=0至多有一个实根(C)方程x3+ax+b=0至多有两个实根(D)方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.故选A.5.(2016成都模拟)已知函数f(x)=(QUOTE12)x,a,b是正实数,A=f(a+b2),B=f(ab),C=f(2(A)A≤B≤C (B)A≤C≤B(C)B≤C≤A (D)C≤B≤A解析:因为a+b2≥ab又f(x)=(QUOTE12)x在R上是减函数,所以f(a+b2)≤f(ab)≤即A≤B≤C.故选A.6.用数学归纳法证明1n+1+1n+2+…+(A)增加12(B)增加12k+1(C)增加12k+1和1(D)以上结论都不对解析:n=k时,左边=1k+1+1k+2n=k+1时,左边=1(k+1)+1+1由“n=k”变成“n=k+1”时,不等式左边的变化是12k+1+7.设a>b>0,m=a-b,n=a-b,则m,n的大小关系是解析:法一取a=2,b=1,得m<n.法二a-b<a-b⇐b+a-b>a⇐a<b+2b·a-b+a-b⇐2b·答案:m<n8.已知点An(n,an)为函数y=x2+1图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为解析:由条件得cn=an-bn=n2+1-n=所以cn随n的增大而减小.所以cn+1<cn.答案:cn+1<cn9.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,假设的内容是.

解析:“至少有一个是”的否定为“都不是”.答案:假设a,b,c都不是偶数10.已知a>0,用分析法证明a2+1a2-2≥a+QUOTE1证明:要证a2+1a2-2≥a+QUOTE1只需证a2+1a2≥(a+QUOTE1a因为a>0,所以(a+QUOTE1a)-(2-2)>0,所以只需证(a2+1a2)2≥[(a+QUOTE1a)-(2-2)即2(2-2)(a+QUOTE1a)≥8-42,只需证a+QUOTE1a≥2.因为a>0,a+QUOTE1a≥2显然成立(a=QUOTE1a=1时等号成立),所以要证的不等式成立.能力提升练(时间:15分钟)11.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-ac<3(A)a-b>0 (B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0解析:由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要证b2-ac<3a,只要证(-a-c)2-ac<3a2,即证a2-ac+a2即证a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即证a(a-c)-b(a-c)>0,即证(a-c)(a-b)>0.故求证“b2-ac<3a12.对于函数f(x),若∀a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是(D)(A)f(x)=1(x∈R)不是“可构造三角形函数”(B)“可构造三角形函数”一定是单调函数(C)f(x)=1x2+1(x∈R)是(D)若定义在R上的函数f(x)的值域是[e,e](e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”解析:对于A选项,由题设所给的定义知,∀a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三边长,是“可构造三角形函数”,故A选项错误;对于B选项,由A选项判断过程知,B选项错误;对于C选项,当a=0,b=3,c=3时,f(a)=1>f(b)+f(c)=QUOTE15,不构成三角形,故C错误;对于D选项,由于e+e>e,可知,定义在R上的函数f(x)的值域是[e,e](e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”.13.设a>0,f(x)=axa+x,令a1=1,an+1=f(an),n∈(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.(1)解:因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=a1+a3=f(a2)=a2+a;a4=f(a3)=猜想an=a(n-1)(2)证明:①易知,n=1时,猜想正确.②假设n=k时猜想正确,即ak=a(则ak+1=f(ak)=a=a=a(k-这说明,n=k+1时猜想正确.由①②知,对于任何n∈N*,都有an=a(精彩5分钟1.已知三个不等式①ab>0;②QUOTEca>QUOTEdb;③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成个正确命题.

解题关键:QUOTEca-QUOTEdb=bc-adab.解析:此题共可组成三个命题即①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.若ab>0,QUOTEca>QUOTEdb,则QUOTEca-QUOTEdb=bc-adab>0,得bc-ad>0,即可得命题①②⇒③正确;若ab>0,bc>ad,则bc-adab=QUOTEca-QUOTEdb>0,得QUOTEca>QUOTEdb,即命题①③⇒②正确;若bc>ad,QUOTEca>QUOTEdb,则QUOTEca-QUOTEdb=bc-adab>0,得ab>0,即命题②③⇒①正确.综上可得正确的命题有三个.答案:三2.凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有f(x1)+f(x2)+解题关键:利用所给凸函数的性质求解.解析:因为f(x)=sinx在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C∈(0,π),所以f(A)+f(B)+f(即sinA+sinB+sinC≤3sinQUOTEπ3=332,所以sinA+sinB+sinC的最大值为33答案:33.(2016洛阳模拟)下面有4个命题:①当x>0时,2x+QUOTE12x的最小值为2;②若双曲线QUOTEx2a2-QUOTEy2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=3x,且其一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则双曲线的离心率为2;③将函数y=sin2x的图象向右平移QUOTEπ6个单位,可以得到函数y=sin(2x-QUOTEπ6)的图象;④在Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC的外接圆半径r=a2类比到空间,若三棱锥SABC的三条侧棱SA,SB,SC两两互相垂直,且长度分别为a,b,c,则三棱锥SABC的外接球的半径R=a2其中错误命题的序号为.

解