新教材2023版高中数学第三章空间向量与立体几何4向量在立体几何中的应用4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系第1课时空间中直线平面的平行学生用书北师大版选择性必修第一册

第1课时空间中直线、平面的平行[教材要点]要点空间中平行关系的向量表示设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则线线平行(线线不重合)l∥m⇔l∥m线面平行(线不在平面内)l∥α⇔l⊥n1面面平行(两个平面不重合)α∥β⇔n1∥n2状元随笔零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量，这是因为直线的方向向量与平面的法向量分别用来描述空间直线和平面的位置，而零向量的方向是任意的，无法用零向量来描述空间直线与平面的位置．[基础自测]1．若直线l1和l2的方向向量分别是a＝(1，－1，2)，b＝(－2，2，－4)，则()A．l1∥l2B．l1与l2相交C．l1与l2重合D．l1∥l2或l1与l2重合2．若平面α，β的一个法向量分别为m＝(－16，13，－1)，n＝(12，－1，A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．α∥β或α与β重合3．[多选题]下列命题中正确的是()A．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥βB．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0C．若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0D.若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直4．若直线l的方向向量a＝(2，2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6，8，4)，则直线l与平面α的位置关系是________．题型一直线与直线平行例1如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．方法归纳证明线线平行的依据与思路证明线线平行的依据：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a＝λb(λ∈R)．利用向量证明线线平行有两种思路：一是建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示证明；二是用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．跟踪训练1长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.题型二直线与平面平行角度1证明直线与平面平行例2在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.角度2直线与平面平行的探究性问题例3如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出点E方法归纳1．向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0.(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．2．证明面面平行的方法设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.跟踪训练2在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.题型三平面与平面平行例4如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.方法归纳证明面面平行问题可由以下方法证明：①转化为相应的线线平行或线面平行；②分别求出这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．本题采用的是方法②，解题过程虽复杂，但思路清晰，是证明平面平行的常用方法．跟踪训练3在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个表面的中心．求证：平面EFG∥平面HMN.易错辨析忽视直线与平面平行的条件致误例5已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，C(1，1，0)，D(1，2，0)，E(0，0，1)，则直线DE与平面ABC()A．直线DE与平面ABC平行B．DE⊂平面ABCC．直线DE与平面ABC相交D．直线DE与平面ABC平行或DE⊂平面ABC解析：因为AB＝(－1，1，1)，BC＝(1，0，－1)，设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，1)，则n·AB＝0，n·BC＝0，所以-x+y+1=0，x-1=0，解得x=1，y=0.所以又DE＝(－1，－2，1)，所以DE·n＝(－1，－2，1)·(1，0，1)＝0，所以DE⊥n，所以DE∥平面ABC或DE⊂平面ABC.因为BD＝(1，1，－1)，所以BD＝2BC+所以A，B，C，D四点共面，即点D在平面ABC内，所以DE⊂平面ABC，选B.答案：B【易错警示】易错原因纠错心得本题易得直线DE的方向向量DE与平面ABC的法向量垂直，进而得到直线DE与平面ABC平行的错误解答，实际上，当直线DE在平面ABC内，也有DE与平面ABC的法向量垂直，因此，需进一步判断DE是否在平面ABC内．当直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面的位置关系有两种：一是直线与平面平行；二是直线在平面内，具体是哪一种，应进一步考查．[课堂十分钟]1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则能使l∥α的是()A．a＝(1，0，0)，u＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，u＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，u＝(－1，0，1)D．a＝(1，－1，3)，u＝(0，3，1)2．设平面α的一个法向量为(1，2，－2)，平面β的一个法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2B．－4C．4D．－23．已知直线l1，l2的方向向量分别为a，b，且a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若l1∥l2，则λ与μ的值可以分别是()A．－3，12B．－C．－3，2D．2，24．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.第1课时空间中直线、平面的平行新知初探·课前预习[基础自测]1．解析：由题意知：b＝－2a∴l1与l2平行或重合．故选D.答案：D2．解析：∵n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．故选D.答案：D3．解析：A、B不正确，C、D正确．答案：CD4．解析：∵μ·a＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a，∴l⊂α或l∥α.答案：l⊂α或l∥α题型探究·课堂解透例1证明：以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1为正交基建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E(0，0，12)，C1(0，1，1)，F∴AE＝(－1，0，12)FC1＝-1，0，12，EC1＝(0，1，12∴AE＝FC1，EC1＝又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形．跟踪训练1证明：如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a，0，0)，C1(0，b，c)，E(23a，23b，cF(a，b3，∴FE＝-a3，b3，c3，AC∴FE＝13又FE与AC1不共线，∴直线EF∥AC1.例2证明：∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE.又∵AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴ED＝(0，2，2)，EG＝(2，2，0)，AB＝(2，0，－2)．设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，则ED·n令y＝1，得z＝－1，x＝－1，则n＝(－1，1，－1)，∴AB·n＝－2＋0＋2＝0，即AB⊥n.∵AB⊄平面DEG，∴AB∥平面DEG.例3解析：分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)．假设在棱PD上存在符合题意的点E，设E(0，y，z)，则PE＝(0，y，z－1)，PD＝(0，2，－1)．∵PE∥PD，∴y(－1)－2(z－1)＝0①∵AD＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，CE＝(－1，y－1，z)∴由CE∥平面PAB，可得CE⊥AD.∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0.∴y＝1，代入①式得z＝12.∴E是PD的中点，即当E为PD的中点时，CE∥平面PAB跟踪训练2证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M(0，1，12)，N(12，1，1)，于是DA1＝(1，0，1)，DB＝(1，1，0)，MN＝(12，设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥D取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝(12，0，12)·(1，－1，－1)＝∴MN⊥n.又MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.例4证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，A1(a，0，a)，D1(0，0，a)，B1(a，a，a)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)．∴Na2，0，Ea2，a，∴AN＝-aNM＝a2，a2，0，DB＝(设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，则m·AN∴y1＝－x1＝－2z1.取z1＝1，则x1＝2，y1＝－2.∴平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2，1)．同理可得平面EFDB的一个法向量为n＝(2，－2，1)．∵m＝n，∴m∥n，∴平面AMN∥平面EFDB.跟踪训练3证明：如图所示，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则E(1，1，0)，F(1，0，1)，G(2，1，1)，H(1，1，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1)．∴EF＝(0，－1，1)，EG＝(1，0，1)，HM＝(0，1，－1)，HN＝(－1，0，－1)．设m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分别是平面EFG和平面HMN的法向量，由m·EF令x1＝1，得m＝(1，－1，－1)．由n·HM令x2＝1，得n＝(1，－1，－1)．于是有m＝n，所以m∥n，故平面EFG∥平面HMN.[课堂十分钟]1．解析：由l∥α，故a⊥u，即a·u＝0，故选D.答案：D2．解