2021北京重点校高一（下）期中数学汇编：两角和与差的正弦、余弦、正切公式

2021北京重点校高一（下）期中数学汇编

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

一、单选题

1.（2021.北京市第五中学高一期中）已知男））是单位圆上（圆心在坐标原点0）任意一点，将射线OA绕点

。逆时针旋转?到08交单位圆于点％,），则6%+4的最大值为（）

A.1B.2C.y/2D.6

2.（2021.北京.101中学高一期中）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的

一个大正方形（如图）.如果小正方形的边长为2,大正方形的边长为10,直角三角形中较小的锐角为。，则

5-4>/3

B.

1010

-5+4退-5-46

D.

10-~10~

3兀3

3.（2021•北京四中高一期中）已知兀vav—,p贝ijcosa的值为（）

2

7及D.建

C.

lo-10

4.（2021•北京八中高一期中）在锐角&4BC中，设彳=$皿45皿3,〉=以》48$3,则苍了的大小关系为

A.xVyB.X>yC.D.x<y

cos2a_\/2

5.（2021.北京四中高一期中）若一7一眉=3，贝Icosa—sine的值为（）

sin[a+4）

A.一立B.--C.1D.立

2222

6.（2021.北京.北大附中高一期中）下列说法错误的是（）

A.ma、/3,使sin（a+/?）=sina+sin尸

B.弋a、fi,sin（<z+/7）sin（6Z-/7）=sin2tz-sin2/3成立

C.3a,/3,使cos(a+0=cose+cosp

D.Ya,（3,COS（6Z+/）005（£—/?）=00$2夕-（：0$2?成立

二、填空题

7.（2021•北京•北大附中高一期中）sin35°cos250+cos350cos650=.

三、解答题

8.（2021•北京♦北大附中高一期中）已知角a终边落在直线y=4小上，且cosa=-

（1）求tana；

（2）求sin[?+a）的值；

⑶若cos3+/）=\,求户的值.

9.（2021.北京.101中学高一期中）已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,%,c,cosC=g,c=8,再从条件

①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1M的大小；

（2）角A的大小和AABC的面积.

条件①：a=7；条件②：cos=77

14

10.（2021・北京・清华附中高一期中）如图，在四边形A8CD中，CD=2,BC=近，AS=4,ZBDC=60°,

(1)求sin/OBC；

(2)求A£).

参考答案

1.A

【详解】

设4(cosa,sin2),B\cos

则y/3yA+xB=V3sincr+cos^a+yj=V3sina+^cosa-^-sincr=^cosa+^-sincr

=sina+—

I6j

，为以十修的最大值为1

故选A

2.D

【分析】

设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x的值，从而求出sine,cosO的值，再利用两角和与差的三角

函数公式即可算出结果.

【详解】

直角三角形中较短的直角边为羽

则：/+(X+2)2=102,

解得：x=6,

・•A_3”4

••sinO-§,cosO-,,

sin(0-—)-cos(0+—)=-cos0-(cosOcos--sinOsin—)=—sin0-(—+1)cos0=-46-5,

26662210

故选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题.

3.C

【分析】

先判断出的范围，求出cos(a-：)=-1,利用两角和的余弦公式直接求得.

【详解】

3兀,3n7i5it.(兀、3

因为兀vav二,所以一；-<0-：<-；-,所以sm|a-7=[.

2444I4J5

b”(乃乃](乃)乃.，7ly.71

所以cosa=cosa——+—=cosa---cos----sina——sin—

44J(4)44J4

.(ax四C]7近

I2⑸210

故选：C

4.C

【详解】

试题分析：在锐角&4BC中，90°<A+B<180°.

贝ljy-x=cosA-cosB-sinAsinB=cos(/A+5)<0,所以x>y.故选c.

考点：三角恒等变换

点评：本题应用公式：cos(«+/?)=cosa-cosp-sina-sin[3

5.C

【分析】

根据余弦的二倍角公式及正弦的和差公式即可求解.

【详解】

cos2a41cos2a-sin2a0

因为sinJ+7tl彳'所以忑一二T，

sina十:——cosa4-——sina

I4；22

B|]cosa-sina=；.

故选：C.

6.D

【分析】

当。=尸=0时，代入检验，可判断A的正误；利用两角和差的正弦公式，化简整理，可判断B的正误；当

7Trr

a=t'夕=-2时，代入检验，可判断C的正误；令a=Z?=。，代入检验，可判断D的正误，即可得答案.

【详解】

对于A：当a=/?=()时，sin(6Z+^)=sin0=0,sin+sin/?=sin04-sin0=0,

所以三口,/?,使sin(a+/?)=sina+sin用，故A正确;

对于B:因为5抽(二+/)5由(二一万)=①11185/+850$m/?)(5抽二8577-8520m尸)

=sin2acos22一cos?asin2>9=sin2a(l-sin2/?)-(l-sin2a)sin2/?

=sin?a-sin2asin。用一sin2夕+sin2asin?/?=sin2cr-sin2/7,

所以Da,/7,sin(a+msin(a-0=sin2a_sin2尸成立,故B正确;

对于C：当。=',夕=一工时，cos(a+p)=cos0=1,cosa4-cosP=cos—+cos[|=-4--=1,

所以ma4,使cos(a+/7)=cosa+cos/,故C正确;

对于D：取。=力=0,则COS(6Z+^)cos(«-/7)=cos0-cos0=1,

cos2a-cos2/?=cos20-cos20=0,此时85(1+/?)85(。一/?)W8521—8$2/?,故D错误.

故选：D

7.B

2

【分析】

利用诱导公式将原式化为Sin350cos25o+cos350sin25。，再根据两角和得正弦公式即可得出答案.

【详解】

解：sin350cos250+cos350cos65°

=sin35°cos25°+cos35°sin25°

=sin(35°+25°)

c

=sin60°=—.

2

故答案为：也.

2

8.(1)4x/3;(2)_*+4#.；(3)-

143

【分析】

(1)用同角三角函数的基本关系求解即可；

(2)用正弦的和角公式求解即可；

(3)先用正弦的差角公式求出sinp,再由角的范围确定角即可

【详解】

(1)由题意可知，角a位于第三象限，月.cosa=-g,

所以sina=-A/1-COS2a=,

所以tana=S'n"=4A/3•

cosa

n,7171.

(2)sin—+a=sin—cosa+cos—sina

444

一如亍，[(I一、母#(4三用五[+144瓜―；

(3)Qa位于第三象限，cos(a+0="，

+A位于第四象限，且sin(a+夕)=-Jl-cos2(c+夕)=-等,

sin/3=sin[(a+£)-a]=sin(a+£)cosa-cos(a+#sina

又可。，3

所以£

9.(1)5；(2)—；10石.

【分析】

(1)选条件①，由余弦定理即可得解，选条件②，由同角公式求出正弦值，再用正弦定理得解；

(2)选条件①，由(1)结合余弦定理及三角形面积定理得解，选条件②，由(1)结合和差角的正余弦公式及三角形面积

定理得解.

【详解】

选条件①：4=7,

⑴中，由余弦定理<?=/+从-2必8$。得，从-2b-15=0,

解得6=5或6=-3(舍去)，即6=5；

(2)由(1)及余弦定理得cosA=从+'2―您=5?+82-72=」,而O<A<I,则人=£,

2bc2-5-823

SAKr=—fecsinA=—•5■8-sin—=10>/3,

“we223

选条件②：cos8中

(l)aABC中，0v3<],0<。<乃，则sin8=Jl—cos?8=

74月

sinC=>/l-cos2C=

7

85-

由正弦定理号=*得6=安=4=5；

sinBsinCsinC4,3

~T~

(2)由(1)知cosA=-cos(3+C)=-cosBcosC4-sinBsinC=+=,而0<A</r,则A=£

14714723

SA4Be=g8csinA=；•5•8•sin2=10石.

10.(1)上；(2)厉.

7

【分析】

(1)在△8。中，结合正弦定理即可求出结果;

(2)结合两角差的余弦公式求出cos/ABO,在△88中利用余弦定理求出8。的长度，进而在△430中利用余弦

定理即可求出结果.

【详解】

连接8。，

(1)8=2,BC=S,AB=4,ZBDC=60°,cosZABC=--

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mRC2_近

由正弦定理得三二口7=.氏M，即sinNOBC一正，

sinZDBCsinZ.BDCy―