2021年广东省湛江市高考数学测试（一模）试卷（解析版）

2021年广东省湛江市高考数学测试试卷（一）（一模）

一、选择题（共8小题）.

1,已知（CRA）CB=0,则下面选项中一定成立的是（）

A.AC\B=AB.AQB=BC.A（JB=BD.AUB=R

2.中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力

的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次

选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为（）

712344557

X345556

A.85,75B.85,76C.74,76D,75,77

3.已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）

A.64nB.487rC.327TD.16n

4.将函数/（x）=situ图象上所有点的横坐标变为原来的上（3>0）,纵坐标不变，得

到函数g（X）的图象，若g（X）的最小正周期为6n,则3=（）

A.—B.6C.—D.3

36

5.己知等比数列｛〃“｝的前〃项和为S”则“S.+ASJ是"｛«“｝单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知抛物线C：-2py(p>0)的焦点为F,点M是（:上的一点,M到直线y=2p

的距离是M到C的准线距离的2倍，且|MQ=6,则.=()

A.4B.6c.8D.10

7.已知a=3.2。」,&=log25,C=log32,则()

A.h>a>cB.c>h>ac.h>c>aD.a>h>c

22

8.已知椭圆七+J=1(〃>人>0)的左、右焦点分别为Fi,Fi,过八的直线交椭圆C于

a

4,8两点，若就•可=0,且IBF2I，\AB\,成等差数列，则C的离心率为（）

A.返B.返C.返D.—

2232

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若复数z=«-i,则（）

囱=2|z|=4

z的共物复数z2=4-26

10.已知（1-2JC）2021=（j„+aix+a2X2+a3X3+"-+a202ix2（）21,贝U（）

A.展开式中所有项的二项式系数和为22阳

20211

B.展开式中所有奇次项系数和为2O——3

2

20211

C.展开式中所有偶次项系数和为2O——工

2

II.已知函数/1（x）=x3-3lnx-I,则（）

A.f（x）的极大值为0

B.曲线y=/（x）在（I,/（I））处的切线为x轴

C.f（x）的最小值为0

D.于（x）在定义域内单调

12.在梯形A8CC中，AB=2AD=2DC=2CB,将△8DC沿3。折起，使C到。的位置（C

与C不重合），E,尸分别为线段A8,AC的中点，修在直线。。上，那么在翻折的过程

中（）

JT

A.OC与平面A8O所成角的最大值为一

B.F在以E为圆心的一个定圆上

C.若平面AOC,则而=3己厂吊

D.当4。，平面BDC时，四面体C4B。的体积取得最大值

三、填空题（共4小题）.

13.一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于质的直线方程为.

14.若向量W，芯满足q=4,|'3=2A/2，（之+1）喂=8,则之，芯的夹角为,域+田

15.若某商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数

据:

x24568

>12040607080

根据如表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为了=，+1.5,据此预测，当投

入10万元时，销售额的估计值为万元.

16.已知y=/(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的xCR,f(.r+2)=f(-x)恒成立,

当-IWxVO时，f(x)=23则/(2021)=.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在平面四边形ABCZ)中，ADLCD,ZBAD=^^,2AB=80=4.

4

(1)求cosNADB；

(2)若BC=V22，求CD.

18.已知数列｛(?"｝满足2飙=3。"+1-小+2,42-41=1.

(1)证明：数列｛四+「“")是等比数列；

(2)若3=方，求数列｛〃”｝的通项公式.

19.如图，平面4BCD_L平面ABE,AD//BC,BC1AH,AB=BC=2AE^2,尸为CE上一

点，且

平面ACE.

(1)证明：AE_L平面BCE；

(2)若平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60°,求AD.

20.某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下:

时间周一周二周三周四周五

活动项目篮球国画排球声乐书法

要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况,

任选三项.

(1)求甲选排球且乙未选排球的概率；

(2)用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望.

22

21.已知双曲线C：¥一%=1(〃，b>0)的左、右焦点分别为Fi(-c,0),同(c,0),

abz

其中c>0,M(c,3)在。上，且C的离心率为2.

(1)求C的标准方程；

22

(2)若。为坐标原点，的角平分线/与曲线¥三=1的交点为P,Q,

cbz

试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.

22.已知函数/(冗)=以g(x)=2〃x+l.

(1)若f(x)2g(%)恒成立，求。的取值集合；

(2)若。>0,且方程/(X)-g(x)=0有两个不同的根xi,X2,证明：———<//?2rz.

2

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知（CRA）CB=0,则下面选项中一定成立的是（）

A.AQB=AB.AQB=BC.A（JB=BD.AUB=R

解：-：AQB=A,：.AQB,AW8时，（CRA）ABW0,错误；

•：AnB=B,...BUA,；.（CRA）AB=0,正确；

'：AUB=H,：.AQB,同选项A,，C错误；

'：AUB=R,时，（CRA）ABW0,二。错误.

故选：B.

2.中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响力

的数学竞赛.某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次

选拔赛，所得分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为（）

7I2J44557

X345556

A.85,75B.85,76C.74,76D.75,77

解：由茎叶图可知，集训队考试成绩为71,72,73,74,74,75,75,77,83,84,85,

85,85,86,

故众数为85,中位数为球乙=7&

故选：B.

3.已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）

A.64KB.48KC.32KD.16n

解：因为圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形,

故圆锥的底面半径为4,底面周长为8m

故圆锥的侧面积是兀-8=32K.

故选：C.

4.将函数/（x）=SilU-图象上所有点的横坐标变为原来的3（3>0）,纵坐标不变，得

到函数g（X）的图象，若g（X）的最小正周期为6n,则3=（）

A.—B.6C.—D.3

36

解：将函数f（x）=siru图象上所有点的横坐标变为原来的上（3>0）,纵坐标不变，

得到函数g（X）的图象，

即g（x）=sin3X,

若g（x）的最小正周期为6n,

则7=上/=6"'得川二寺，

故选：A.

5.已知等比数列｛。“｝的前〃项和为S”则“S“+i>S,”是“｛斯｝单调递增”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：在等比数列中，若S"+|>S",则S"+i-S”>0,即0*1>0,

数列斯=1,满足以+>0,即满足S"+1>S",但｛斯｝为常数列,不是单调递增数列，不满

足条件，即充分性不成立，

当m=-l,4=微■时，满足｛%｝单调递增，但S“+|>S",不成立，即必要性不成立，

即“S”+i>S“”是“｛%｝单调递增”的既不充分也不必要条件，

故选：D.

6.已知抛物线C：/=-2py（p>0）的焦点为F,点M是C上的一点，M到直线y=2p

的距离是历到C的准线距离的2倍，且|MQ=6,则0=（）

A.4B.6C.8D.10

解：由抛物线的方程可得准线方程），=]■,

设尸（xo,yo）,由抛物线的性质可得|MF|=6=5-yo,①

由M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍可得：2P-州=12（2）,

由①②可得P=4，

故选：A.

7.已知〃=3.2。」，b=log25,c=log32,则（）

A.b>a>cB.c>b>aC.b>c>aD.a>b>c

解：Vl=3.20<a=3.201<3,20-5<4°-5=2,

b=log25>log?4=2,

log3V3<c=logs2<log33=1,

:・b>a>c.

故选:A.

22

8.已知椭圆（a>人>0）的左、右焦点分别为Fl,过Fl的直线交椭圆C于

A,B两点,若欣•面心=0,且|36|,|AB|,IAF2I成等差数列，则C的离心率为（）

A.返B.返C.返D.—

2232

解:因为|BB|,\AB\,|A尸2I成等差数列,

设|8B|=x,公差为"，\AB\=x+d,\AF2\=x+2d,

因为证,用=0，所以48L8F2,

由勾股定理可得：（（x+2d）2=x2+（x+4）2,解得x=3d,

由椭圆的定义可得三角形ABF2的周长为4a,

lil4〃=3d+4d+5d,即a=3d,\BFo\=a=\BF\\,

在直角三角形中，a2+a2=4c2,

所以离心率e=&=返，

a2

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若复数则（）

A.|z|=2B.|z|=4

C.z的共软复数］=扬，D.z2=4-2仃

解：因为复数

所以|z|=J（“）2+（-l）2=2,故选项A正确，选项B错误；

z的共轨复数^=后3故选项C正确；

z2=（V3-i）2=（V3）2-2V3i+i2=2-2V3i'故选项。错误.

故选：AC.

10.已知（1-2JC）2021=a<>+aix+air2+a3X3+,•,+0202ix2021,则（）

A.展开式中所有项的二项式系数和为22。21

20211

B.展开式中所有奇次项系数和为2Q——3

2

20211

C.展开式中所有偶次项系数和为2O——3

2

ala2a3上3021

D.

232021=-1

2222

2021

解：：（1-2不）2°21=%+“优+。2/+。3%3+•••+^202j%,

故所有项的二项式系数和为2〃=22。2］，故A正确;

令X=-1,可得ao-41+。2-〃3+…-42021=32必①,

令X=1,可得。〃+。］+。2+。3+…+。2021=-1②,

O20211

①+②，并除以2,可得展开式中所有奇次项系数和为。"+。2+如+。3+…+“2020=^--------L

2

故B正确;

_n2021

②-①，并除以2,可得41+43+45+…+42021=—------.故C错误;

1a1a9a2021

令x=—,可得ao+—L+——+-•••+■=0,而ao=l,

2

22222021

•J1.a2..a2021_

故。正确,

,,-2222021_一

故选：ABD.

11.已知函数/(X)-3lnx-1,贝!!()

A./(x)的极大值为0

B.曲线y=/(x)在(1,/(I))处的切线为x轴

C./(x)的最小值为0

D.f(x)在定义域内单调

解：(x)=3N-3=§22/3,=3(乂3-1),

XXX

当x>l时，f(x)>0,f(x)单调递增，

当0<x<l时，f(x)<0,f(x)单调递减，

对于A：f(x)较小他=/(l)=0,故A错误；

对于8：kw~f(1)=0,/(I)=0,

所以曲线y—f(x)在(1,/(1))处的切线为y-0=0(x-1),即y—0,故B正确；

对于C：f(x)(x)极小值=/(1)=0,故C正确；

对于D/(%)在(0,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，故。错误.

故选：BC.

12.在梯形ABC。中，AB=2AD=2DC=2CB,将△BOC沿折起，使C到C的位置(C

与。不重合)，E,F分别为线段AB,AC的中点，”在直线。C上，那么在翻折的过程

中()

JT

A.OC与平面ABO所成角的最大值为名

B.尸在以E为圆心的一个定圆上

C.若平面AOC,则而=3己不

D.当平面时，四面体CAB。的体积取得最大值

解：如图，在梯形ABC。中，因为AB〃C£>,AB=2AD=2DC=2CB,

TTTT

所以得到ZDAB=——，ZBDC=ZDBC=—,

36

在将△BOC沿BD翻折至△8£>C的过程中，ZBDC与ZDBC的大小保持不变，

JT

由线面角的定义可知，与平面AB。所成角的最大值为勺，故选项A正确；

因为/OBC大小不变，所以在翻折的过程中，C的轨迹在以BO为轴的一个圆锥的底面

圆周上，

而EF使△A8C的中位线，所以点尸的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，

但此圆的圆心不是点E,故选项B不正确；

7T

当BH_L平面ADC时，BH1DH,因为NHCB=—,

3

所以。C'=BC=2cH,所以而=3C'口，故选项C正确；

在翻折的过程中，的面积不变，故

当AC平面BOC时，四面体CABO的体积取得最大值，故选项。正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.一条与直线x-2y+3=0平行且距离大于'房的直线方程为x-2y+c=0（c<-2或c>

8）.

解：因为所求直线与x-2y+3=0平行，故设所求直线方程为x-2），+c=0,

因为直线与x-2y+3=0的距离大于遥，

所以d上言1>泥，解得c<-2或c>8,

75

故与直线x-2），+3=0平行且距离大于旄的直线方程为x-2y+c=0（c<-2或c>8）.

故答案为：x-2y+c=0（。<-2或。>8）.

14.若向量之，芯满足|』=4,13=2&,（Z+E）W=8,则之，1的夹角为喘+己!

——2^2--

解:因为|笛=4,1-3=2-^2，

所以QE）吗=,+0最16+0厘，

故Z・E=-&所以cos<2:>==-亚,

a»占ab|；||b|4X2加2

因为b>€[0,兀],故<2,1>斗­

4

而G+EI=V（^+b）2=7a2+2l-b+b2=V42+（272）2-2X8=2近

故答案为：誓，272.

15.若某商品的广告费支出无（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数

据：

X24568

y2040607080

根据如表，利用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为丫=y+1.5,据此预测，当投

入10万元时，销售额的估计值为106.5万元.

-1—1

解：x=—x(2+4+5+6+8)=5,y=—X(20+40+60+70+80)=54,

55

二样本中心为(5,54),

将其代入回归直线方程=/+1.5中，有54=5卜+1.5,解得入=10.5,

ybbb

.•.回归直线方程为=10.5x+1.5,

y

当x=10时，=10.5X10+1.5=106.5,

y

当投入10万元时，销售额的估计值为106.5万元.

故答案为：106.5.

16.已知y=f(x)的图象关于坐标原点对称，且对任意的xeR,/(x+2)=/(-x)恒成立,

当-lWx<0时，f(x)=2*,则f(2021)=_

解：根据题意，y=fCx)的图象关于坐标原点对称，即是奇函数，则有-x)

=­f(X)，

又由对任意的x€R,/(x+2)=/(-x)恒成立，即/(x+2)=-/(x)恒成立，

则有/(1+4)=-/(x+2)=f(x)对任意的x都成立，

故/(X)是周期为4的周期函数，则/(2021)=/(1+4X505)=/(1)=-/(-1),

当-lWx<0时，f(x)=2*,则，(-1)=2'=y,

则了(2021)=/(1)=-/(-1)=-/，

故答案为：-

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在平面四边形4BCD中，ADrCD,/84。=支匕，2AB=80=4.

4

(1)求cos/ADB；

(2)若BC=岳，求CD.

222

解：(1)中，由余弦定理得，cosNDA>=地+AHL

2AD-AB

因为43平

,A3=2,3。=4,

故A£>=</y^-我，cosZADB—^^-,

4

(2)由(1)得sin/AOB=碍斗

因为A£>_LC£>,即NA£>C=90°,

所以cos/AOC=cos(NAOB+NBOC)=0,

解得，cosZBDC=^

4

099

根据余弦定理得，cosN8£>C=以_小二K_

_2BD-CD

所以亚=坨处丝，

42X4XCD

故CO=3&或CD=-&(舍)，

故CQ=3&.

18.已知数列｛〃〃｝；两足2%=3。”+1-Ctn+2fU2~U\=\.

(1)证明：数列｛。用-m)是等比数列；

(2)若0=/，求数列｛斯｝的通项公式.

【解答】(1)证明：•..2%=3%+|-%+2,

••Cln+2~。〃+1=2(Cln+1一,

又。2-。1=1,

工数列｛。向-斯｝是首项为1,公比为2等比数列；

(2)解：由(1)可得：m+i-斯=2"Lm=《，

2

l-2n-\l

n2w3

/.an—(an~a,i-1)+(a,t-1-a,1-2)+…+(«2-a\)+a\=2'+2-+*••+2°+a1，r------

1-22

=2n]-—,

2

又。i=2"，也适合上式,

••.4〃=2〃r--.

2

19.如图，平面ABC"平面ABE,AD//BC,BC1.AB9AB=BC=2AE=2,F为CE上一

点，且

平面ACE.

(1)证明：AE，平面BCE；

(2)若平面ABE与平面CDE所成锐二面角为60°,求AD

解：(1)证明：因为平面ABC£>_L平面ABE,

平面ABCDn平面A8E=A8,BC1AB,8Cu平面ABCD,

所以8CL平面4BE,又因为AEu平面ABE,所以BCLAE,

又因为8尺L平面ACE,AEu平面ACE,所以B£LAE,

又因为BFCBC=B,所以AE_L平面BCE.

（2）设AO=r,由（1）知AEJ_平面BCE,BEu平面8CE,

所以AELBE,建立如图所示的空间直角坐标系，

A(0,1,0),B(百，0,0),。(0,1,/),E(0,0,0),（V3.0,2）,

面=(0,1,/),£C=(«,0,2),

设平面CQE的法向量为，=(X,z),

/^―•一

ED*m=y+tz=0入r--「「

<一__,令z=-氏=(2,，愿,-愿)，

EC,m=V3x+2z=0

平面ABE法向量为惹=(0,0,1),

因为平面A8E与平面CDE所成锐二面角为60°,

在zAAni'n|百1

所以cos60=2I」=I-------解得

Im|*|n|V7+31223

20.某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下:

时间周一周二周三周四周五

活动项目篮球国画排球声乐书法

要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况,

任选三项.

(1)求甲选排球且乙未选排球的概率；

(2)用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望.

C1,3

解：(1)甲选排球的概率=—=3，乙未选排球的概率=-4=3，

c23「35

甲选排球且乙未选排球的概率=3xg=3.

3515

(2)用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，则X=0,1,2,3.

♦Q

乙，丙选排球的概率都为一上二

5，

选排球不选排球

甲2_1_

~3~3

乙3_2

~5~5

丙3_2_

~5T

12242

P(X=0)=—X——P(X=l)=2x(^-)+AXcjx—x

355753'5，325575

9291x3%3_33

P(X=2)=—X2X—X

35535575

P(X=3)X—X—=—>

35575

；.X的分布列为：

X0123

p_L2033^8

75757575

数学期望E(X)=ox£l)<^+2X-^-4-3X—.

7575757515

22

21.已知双曲线C：9-%=1Ca,b>0)的左、右焦点分别为入(-c,0),尸2(c,0),

其中c>0,M(c,3)在C上，且C的离心率为2.

(1)求C的标准方程；

(2)若0为坐标原点，/FiMB的角平分线/与曲线当三=1的交点为尸，Q,

试判断0P与。。是否垂直，并说明理由.

解：(1)由题意可得e=£=2,即c=2a,人="二

a

29

又M(c,3)在。上，可得写-2~lf

a

解得人=愿，a=l,

2

则双曲线的方程为N-J=

3

22

(2)由(1)可得M(2,3),曲线。的方程为三_+匚=1,

43

在直角三角形MF1F2中，MFiLFiFi,

|MF2|=3,「|凡|=4,\MFi\=5,

设/尸四危的角平分线/与x轴交于N,

|NF|3

由角平分线的性质定理可得工2|MF2I

|NFJIMF/5

又|NFI|+|NF2|=|QF2|=4,

解得囚尸2|得,

|MFI

所以tan以一幺2「=2,

INF?I

可得直线/的方程为y-3=2(x-2),BPy=2x-1,

y=2x-l

联立《0„，可得19x2-16x-8=0,

J

L3x+4y=12

设P(xi,yi),Q(X2,”)，可得4=