河北省张家口市张垣联盟2023-2024学年高二上学期12月阶段测试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1河北省张家口市张垣联盟2023-2024学年高二上学期12月阶段测试数学试题考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.2.请将各题〖答案〗填在答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点在抛物线上，则点到抛物线的准线的距离为（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗因为在抛物线上，所以，解得，故抛物线的准线为，所以点到抛物线的准线的距离为.故选：B.2.已知两点到直线的距离相等，则（）A.1 B.-5 C.1或-5 D.1或-8〖答案〗C〖解析〗因为两点到直线的距离相等，所以或，故选：C.3.双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，得，经过一、三象限的渐近线方程为，其倾斜角为.故选：B4.若方程表示双曲线，则的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.〖答案〗B〖解析〗由题意得，解得.故选：B.5.四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，，又，不共面，则.故选：A.6.在抛物线上有三点.为其焦点，且为的重心，则（）A.6 B.8 C.10 D.12〖答案〗A〖解析〗为的重心，故.设抛物线上的点的坐标分别为抛物线为其焦点，.，即点在抛物线上，，，.故选：A.7.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则.两式作差可得，即.又是的中点，则，，即.，直线的方程为，即.经检验，符合题意.故弦所在直线的方程为：.故选：B.8.已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由直线，变形可得，由，解得，可得直线恒过定点，则，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对抛物线，下列描述正确的是（）A.开口向下，准线方程为B.开口向下，焦点为C.开口向左，焦点为D.开口向左，准线方程为〖答案〗AB〖解析〗由题设，抛物线可化为，开口向下，焦点为，准线方程为.所以AB正确，CD错误.故选：AB.10.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，若椭圆上有4个点使得，则的离心率可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗设，依题意有①，又，所以②，易知，所以②除以①的平方得，，所以，即或（舍去），当且仅当时取等号，这时有2个点使得，故舍去，又椭圆的离心率，所以.故选：CD.11.若是双曲线上一点，为的左､右焦点，则下列结论中正确的是（）A.双曲线的实轴长为B.若，则三角形的周长为C.的最小值是D.双曲线的焦点到渐近线的距离是2〖答案〗BC〖解析〗对于，由双曲线得，则，即，故双曲线实轴长为，故错误；对于，由，即，设，因为，则，所以，解得，则的周长为，故B正确；对于，易知，故C正确；对于，由选项知，双曲线焦点为，渐近线为，即，所以焦点到渐近线的距离为，故错误.故选：.12.已知点分别在圆和圆上.则（）A.的最小值为3B.的最大值为8C.若成为两圆的公切线，方程可以是D.若成为两圆的公切线，方程可以是〖答案〗BC〖解析〗圆的圆心坐标，半径，圆，即的圆心坐标，半径.圆心距，所以两圆外离.又在圆上，在圆上则的最小值为，最大值为，故选项A错误，选项B正确；因为到直线的距离，M到直线的距离，所以是两圆的公切线，故选项C正确；因为到直线的距离，所以是圆的切线，但到直线的距离，故选项D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的焦点为，点在双曲线上，若，则__________.〖答案〗21〖解析〗由，得，得.因为，所以5或，解得（舍去）或.故〖答案〗为：21.14.已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为__________.〖答案〗〖解析〗当圆与圆均外切时，，所以，则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为，则，则，所以轨迹方程为.故〖答案〗为：.15.已知抛物线，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过上的另一点，则的坐标为__________.〖答案〗〖解析〗光线平行于轴,从点射入，则有，根据抛物线性质，直线过抛物线焦点，抛物线的焦点为，直线的斜率为，则直线的方程为，代入抛物线的方程解得或，可得的坐标为.故〖答案〗为：16.几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成角，则该椭圆的离心率为__________.〖答案〗〖解析〗如图所示：切面与底面的二面角的平面角为，故，设圆半径为，则，设椭圆的长轴长及短轴长分别为，故，故，所以.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.求满足下列条件的双曲线的标准方程.（1）经过点，且与双曲线具有相同的渐近线；（2）与椭圆共焦点，且过点.解：（1）因为所求双曲线与双曲线具有相同的渐近线，故设要求双曲线的标准方程为，代入点，得，则双曲线的方程为（2）椭圆的焦点坐标为，在轴上.所以设所求双曲线的方程为.则，解得：，即所求方程为：.18.菱形的顶点的坐标分别为边所在直线过点.（1）求边所在直线的方程；（2）求对角线所在直线的方程.解：（1）由菱形的性质可知:.边所在直线过点，点坐标为，则.又点坐标，边所在直线方程为，即.所以边所在直线的方程为.（2），线段的中点为，且.由菱形的几何性质可知：且为的中点.则.所以对角线所在直线的方程为，即.所以对角线所在直线的方程为：.19.数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知的顶点，且的欧拉线的方程为，若外接圆圆心记为.（1）求圆的方程；（2）过点引圆的切线，求切线的长.解：（1）因，则的中点为，又，则的中垂线方程为.将其与欧拉线方程联立有，解得故的外心为，则外接圆半径为，故圆的方程为.（2）设切点为，由题有，故切线长.20.已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合.（1）求的方程；（2）若直线与相交于两点，求.解：（1）双曲线即，焦点坐标为，又抛物线的焦点，，即.抛物线的方程为；（2）将抛物线方程与直线方程联立得，消去，得，，设，则，故21.如图，四棱锥中，底面是矩形，，且.（1）求证：平面；（2）若，在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，找出点的位置；若不存在，请说明理由.解：（1），，平面，，故平面，平面，故，同理可得，，平面，故平面（2）如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系.则设，则，有，，平面的一个法向量是，设平面的一个法向量是，则，取得，即，解得，即存在点满足条件，是上靠近点的三等分点.22.以双曲线顶点为焦点，离心率倒数的平方为离心率作一椭圆.（1）求的标准方程；（2）已知为的左焦点，过的直线与椭圆交于两点（在上方），且，若，求斜率的取值范围.解：（1）因为双曲线的顶点为，所以椭圆的焦点为，因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，设椭圆的标准方程为：，椭圆的焦距为，则