湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1湖北省云学名校联盟2023-2024学年高二上学期12月联考数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.已知双曲线的渐近线方程为，则实数（）A.4 B.8 C.32 D.64〖答案〗A〖解析〗由题意，双曲线焦点在轴上，且，∴，∴渐近线为，∴，解得，故选：A.2.已知l、m、n是不同直线，是不同的平面，则的一个充分条件是（）A.B.C.D.〖答案〗D〖解析〗对于A，若，则可能平行，也可能异面，故A错误；对于B，若，则可能相交，可能平行，也可能异面，故B错误；对于C，若，则可能相交，可能平行，故C错误；对于D，如图，设，在上取一点，作，垂足为，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又，，∴，∵，∴，故D正确.故选：D.3.已知点，若经过点的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，直线的斜率，直线的斜率，直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足，当时，直线l的倾斜角，当时，，所以直线l的倾斜角的取值范围为.故选：C4.我国经济的迅速发展使得对能源的需求增加，常规的化石能源供应不足的矛盾日益突出．能源安全成为我国必须解决的战略问题．发展新能源和可再生能源有利于改善我国能源结构，保障能源安全，保护环境，走可持续发展之路．为响应国家号召，甲、乙两公司在某小区设置电动汽车充电桩．某一天，甲公司设置的10组充电桩被使用的平均时间为a，方差为2；乙公司设置的30组充电桩被使用的平均时间为b，方差为．若，则该小区这40组充电桩被使用时间的方差为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗总样本平均数为，设该小区这40组充电桩被使用时间的方差为，则由题意可得.故选：B.5.下列有关事件与概率的说法错误的是（）A.若，则B.若，则A与B不独立C.若A与B对立，则与互斥D.若，则A与B对立〖答案〗D〖解析〗根据概率的性质可知，若，则，故A正确；根据独立事件的定义可知，若，则A与B不独立，故B正确；若A与B对立，则与对立，所以与互斥，故C正确；一枚骰子投掷一次，记事件A＝{出现点数为1，3，6}，事件B＝{出现点数为2，4，6}，则，满足，但A与B不是对立事件，故D错误.故选：D．6.已知，直线上存在点P，且点P关于直线的对称点满足，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗设，则，由，得，由两点间的距离公式可得：，整理可得，由题意，得，解得或，即实数k的取值范围是.故选：A.7.已知A、F分别为椭圆的左顶点和左焦点，B、C是椭圆上关于原点对称的点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，设，则的中点，∵三点共线，∴，即，整理得，∴．故选：A.8.如图所示，两个不同的平面，A、B两点在两平面的交线上，，以AB为直径的圆在平面内，以AB为长轴，F、为焦点的椭圆在平面内．过圆上一点P向平面作垂线，垂足为H，已知，且．若射线FH与椭圆相交于点Q，且，在平面内，以点H为圆心，半径为4的圆经过点Q，且圆H与直线AB相切．则平面所成的角的余弦值为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设圆与直线相切于点,连接，因为平面，平面,所以又因为,所以平面,所以，即为平面所成的平面角.在中，，，所以，.在中，,由椭圆的定义可得,又，，，由余弦定理可得且.设的中点为,则，所以.在中，所以，在中，.平面所成的角的余弦值为.故选：C.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知圆和圆相交于A，B两点，则下列结论正确的是（）A.两圆的公共弦AB的长为B.四边形OACB的面积为C.两圆的公切线相交于点D.两圆的公切线相交所成角的大小为〖答案〗ACD〖解析〗A项中，两圆方程相减得公共弦AB所在直线方程：，则弦长，故A正确；B项中，四边形OACB的面积为，故B错误；C项中，设公切线：，可得，解得，，所以公切线为，解方程组，可得，即两圆的公切线相交于点，故C正确；D项中，在直角三角形ODE中，，，可得，由对称性可得两圆的公切线相交所成角的大小为，故D正确.故选：ACD.10.设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取1球是白球”，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗从甲袋中任取1球是红球的概率为，故A正确；，故C错误；，故D正确；，故B正确.故选：ABD.11.如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别是棱、上的动点，且，则下列说法正确的是（）A.与的夹角取值范围是B.平面与正方体的截面为梯形C.三棱锥的体积为定值D.当E、F分别是棱、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，设与的夹角为，，则，令，则，当时，，则；当时，，∵，∴，∴，当时取等号，∴，则，综上，，故A正确；对于B，当与重合，与重合时，平面与正方体的截面为，如图，故B错误；对于C，∵面,∴三棱锥的体积,故C正确；对于D，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，又E、F分别是棱、的中点，则，设三棱锥的外接球的球心坐标为，半径为，则由，得，即，解得，∴，，∴三棱锥的外接球的表面积为，故D正确.故选：ACD.12.已知曲线，其中，则下列结论正确的是（）A.方程表示的曲线是椭圆或双曲线B.若，则曲线的焦点坐标为和C.若，则曲线的离心率D.若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为〖答案〗BCD〖解析〗对于选项A，当时，曲线，表示直线或，故选项A错误；对于选项B，当时，曲线方程为，可知曲线为焦点为和的椭圆，故选项B正确；对于选项C，当时，曲线方程为，因为，可得曲线为焦点在轴上的椭圆，，，则，所以离心率，因为，所以，故选项C正确；对于选项D，若方程表示的曲线是双曲线，因为曲线方程为，所以，即，故，所以，，所以，因为，所以，所以，故，所以，故焦距，所以其焦距的最小值为，故选项D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线经过点，且与圆相切，则直线的方程为___________；〖答案〗或〖解析〗由题知，圆，化为标准方程：，则圆心，半径为，设直线为，即，若不存在，则直线为，符合题意；若存在，则，解得，所以直线为，综上，直线的方程为或.故〖答案〗为：或14.已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量的坐标为___________；〖答案〗〖解析〗直线l的方向向量为和，可得，则向量直线l上的投影向量的坐标为.故〖答案〗为：.15.如图，直线AB在平面内，点C在平面外，直线AB与AC的夹角为，直线AC与平面所成的角为交．若平面ABC与平面所成角的大小为，且，则的值为___________〖答案〗〖解析〗过点作,且交于点,过点作，且交于,则直线AC与平面所成的角为,所以,不妨设，易得,则,又平面ABC与平面所成角为，,则,则,中，，代入，可求得，故〖答案〗：.16.过焦点为F的抛物线上一点A作其准线的垂线，垂足为B，直线BF与抛物线相交于C、D两点，当时，三角形ABF的面积为___________．〖答案〗〖解析〗过点做垂直准线于点，过点做垂直准线于点，设准线与轴交于点，做出图像如图所示，由抛物线的定义可得，，，因为，则点为中点，为的中位线，即，所以，由可得，，且抛物线，则，则，则点的横坐标为，将代入抛物线方程，可得，即，又，则直线的斜率为，由点斜式可得直线方程为，联立，解得，即，则点的纵坐标为，代入抛物线方程可得其横坐标为，则，所以.故〖答案〗为：四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.己知直线，直线，其中．（1）若直线经过点，且，求m，n；（2）若直线，当与之间的距离取最大值时，求直线的方程．解：（1）因为直线经过点，将点代入直线的方程可得，解得，又因为，所以，解得．综上所述，．（2）根据题意，直线过定点，直线过定点．因为，所以与之间的距离当时，与之间的距离取得最大值．此时，又因为直线AB的斜率，直线的斜率为，所以，解得，所以直线的方程为．18.2023年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利78周年纪念日，某市宣传部组织市民积极参加“学习党史”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了50人，统计了他们的竞赛成绩，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求出图中x的值：（2）求这50位市民竞赛成绩的平均数和上四分位数：（3）若成绩不低于80分的评为“优秀市民”，从这50名市民中的“优秀市民”中任选两名参加座谈会，求这两名市民至少有一人获得90分以上的概率．解：（1）由频率分布直方图可知：，.（2）由得：，设市民竞赛成绩的上四分位数为a，则，，，（3）由频率分布直方图可知：50名市民中有“优秀市民”12人，其中8人成绩在不高于90分，记为，有4人成绩在90分以上，记为．从“优秀市民”中任选两名参加座谈会，用集合表示这个试验的一个样本点，因此该试验的样本空间为，其中，事件“两名市民至少有一人获得90分以上”，则，其中，.19.如图，等腰梯形中，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为上的一点，若平面与平面的夹角的余弦值为，求点到平面的距离．解：（1）在梯形中，取的中点，连接,∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）取中点，连接，，为中点，，又平面平面，平面平面，平面，平面，，分别为，中点，，平面，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，∴，，设，则，设平面的法向量，则，令，得，则，∵平面与平面夹角的余弦值为，又平面的一个法向量，则，解得，∴，又，∴点到平面的距离.20.已知曲线上的点到直线的距离是点到点的距离的2倍，曲线是顶点为原点，焦点为的抛物线．（1）求曲线的方程；（2）经过点F的直线，与曲线相交于A、B两点，与曲线相交于M、N两点，若，求直线的方程．解：（1）记点到直线的距离为，由题知，，，所以，化简为．对于抛物线，，所以..（2）由于在椭圆的内部，所以与椭圆必有个交点，由题意可知，直线与轴不重合，此时与抛物线必有个交点，设直线，由曲线，联立方程，消去并整理得，，所以．联立直线与曲线，即，消去并整理得，，所以，又，所以，解得，即，所以直线的方程为或．另解：当斜率不存在时，代入计算可知不符题意，当斜率存在时，设直线，由曲线，联立方程，消去并化简得，得，所以，联立直线与曲线，即，消去并化简得，所以，所以，又，所以，解得，所以直线的方程为.21.如图，在直三棱柱中，，M、N分别是，的中点，．（1）在平面MBC内找一点P，使得直线平面MNC，并说明理由；（2）若二面角的大小为，求直线BC与平面所成角的正弦值．解：（1）延长交于点P，如图，点M，N为的中点，，即四边形是平行四边形，，，又平面MNC，平面MNC，平面MNC，故在平面MBC内可以找一点，使得直线平面MNC．（点P不唯一）（2）如图所示，连接，，平面，平面，又，所以平面，又平面，，是二面角的平面角，即，，以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，令，