江苏省泰州市兴化市2024届高三上学期期末适应性考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1江苏省泰州市兴化市2024届高三上学期期末适应性考试数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题1.若集合，，则的元素的个数是（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，，故，即的元素的个数是1个，故选：A.2.欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由题意可得：对应的点为，∵，则，故位于第二象限.故选：B.3.八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中给出下列结论，其中正确的结论为（）A.与的夹角为B.C.D.在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）〖答案〗C〖解析〗，所以的夹角为，A选项错误.由于四边形不是平行四边形，所以，是等腰直角三角形，所以，，所以，C选项正确.结合图像可知在上的投影向量与的方向相反，所以D选项错误.故选：C.4.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26 B.28 C.30 D.32〖答案〗B〖解析〗由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，所以正四棱锥的体积为，截去的正四棱锥的体积为，所以棱台的体积为.故选：B.5.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是（）A.3 B.9 C.27 D.81〖答案〗D〖解析〗设鲑鱼原来的游速为耗氧量的单位数为，现在的游速为耗氧量的单位数为，由题意得：，即，所以，故选：D6.己知函数在上是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数在上是单调递增函数，所以对任意恒成立，所以，令，则，所以在内为减函数，所以，则．故选：C7.过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，则（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗将，两点分别代入抛物线方程，可得，解得，则，，解得，则，又抛物线的焦点，由题意可得，三点共线，则，即，解得.故选：D.8.函数，若恰有6个不同实数解，正实数的范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题知，的实数解可转化为或的实数解，即，当时，所以时，，单调递增，时，，单调递减，如图所示：

所以时有最大值：所以时，由图可知，当时，因为，，所以，令，则则有且，如图所示：

因为时，已有两个交点，所以只需保证与及与有四个交点即可，所以只需，解得．故选：D.二、多项选择题9.某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）A.频率分布直方图中a的值为0.005 B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80 D.估计总体中成绩落在内的学生人数为225〖答案〗AD〖解析〗由，可得，故A正确；前三个矩形的面积和为，所以这名学生的竞赛成绩的第百分位数为，故B错误；由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C错误；总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.故选：AD.10.已知数列中，，，则下列结论正确的是（）A. B.是递增数列 C. D.〖答案〗BD〖解析〗由，可得，则，又由，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，所以，由，所以A不正确；由，即，所以是递增数列，所以B正确；由，所以C错误；由，，所以，所以D正确.故选：BD.11.在中，角、、的对边分别为、、，且，，则以下四个命题中正确的是（）A.满足条件的不可能是直角三角形B.面积的最大值为C.当时，的内切圆的半径为D.若为锐角三角形，则〖答案〗BC〖解析〗，则，对选项A：取，则，，故，是直角三角形，错误；对选项B：设，则，，，，当时，最大为，正确；对选项C：时，，，，，故，设内切圆的半径为，则，解得，正确；对选项D：为锐角三角形，则，即，解得，且，即，解得，故，错误；故选：BC.12.已知棱长为1的正方体的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（）A.球的表面积为B.球在正方体外部的体积大于C.球内接圆柱的侧面积的最大值为D.若点在正方体外部（含正方体表面）运动，则〖答案〗ABD〖解析〗对于A．如图所示，正方体的棱切球的半径，则球的表面积为，故A正确；对于B．若球体､正方体的体积分别为．球在正方体外部的体积，故B正确；对于C，球的半径，设圆柱的高为，则底面圆半径，所以，当时取得最大值，且最大值为，所以C项错误；对于D，取中点，可知在球面上，可得，所以，点在球上且在正方体外部（含正方体表面）运动，所以（当直径时，），所以．故D正确．故选ABD．三、填空题13.写出满足“直线：与圆：相切”的一个的值_________.〖答案〗（或，〖答案〗不唯一）〖解析〗由已知圆：的圆心为，半径，又直线：与圆：相切，所以圆心到直线的距离，解得或，故〖答案〗为：（或，〖答案〗不唯一）.14.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为______.〖答案〗〖解析〗记事件A为第1次摸到白球，事件为第2次摸到黑球，则，所以.故〖答案〗为：.15.设奇函数的定义域为，且是偶函数，若，则__________.〖答案〗〖解析〗因为是奇函数，且是偶函数，所以，所以，即，故是4为周期的周期函数，且有，则.故〖答案〗为：.16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围为________.〖答案〗〖解析〗因为倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，可知直线的倾斜角大于双曲线的一条渐近线的倾斜角，即，设，则，根据可知，在中，由余弦定理可知，即，则，故故〖答案〗为：.四、解答题17.记的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求.解：（1）因为，所以，即，所以，因为，所以，所以，又，所以.（2）因为，所以.因为，所以.18.已知数列是等差数列，其前项和为，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设等差数列的公差为，又，，所以，解得，，所以的通项公式.（2）由（1）知，所以.19.为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．表一编号12345学习时间3040506070数学成绩65788599108（1）请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200）（2）基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．表二没有进步有进步合计参与周末在校自主学习35130165未参与周末不在校自主学习253055合计60160220附：，，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1），，又的方差为，所以，，故，当时，，故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为140.5分．（2）零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．根据数据，计算得到：，因为，所以依据独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．20.如图，在三棱锥中，是外接圆直径，垂直于圆所在的平面，、分别是棱、的中点．（1）求证：平面；（2）若二面角为，，求与平面所成角的正弦值．（1）证明：因为是圆的直径，所以，因为垂直于圆所在的平面，平面，所以，又因为，平面，平面PAC，所以平面，因为分别是棱的中点，所以，从而有平面；（2）解：由（1）可知，平面，平面，所以,平面，平面,所以为二面角的平面角，从而有，则，又，得，以C为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，，,，，，，所以，，,设是平面的一个法向量，则，即，可取，设AE与平面ACD所成角为故，所以AE与平面ACD所成角的正弦值为.21.已知是椭圆的左顶点，且经过点.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点，且，求弦的长.解：（1）依题意可得，解得，所以的方程为.（2）联立，消去得，则，.因为经过定点，且点在的内部，所以恒成立.由，解得.所以，所以.22.已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．解：（1）由题意知：定义域为：且令，，上单调递减，在上单调递减在上单调递减又，，使得当时，；时，，即在上单调递增；在上单调递减则