辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.方程表示的曲线是（）A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线C.一个圆 D.一条直线〖答案〗D〖解析〗由题意可化为或（），在的右方，）不成立，，方程表示的曲线是一条直线.故本题正确〖答案〗为D.2.已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，则，所以，所以，故选：C.3.“”是“圆与圆相切”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗圆圆心，半径为；圆圆心，半径；当两圆相切时，可分为内切和外切两种，圆心距为，①当两圆外切时：，即.②当两圆内切时：，即.则根据充分条件和必要条件的判定原则，可知“”是“圆与圆相切”的充分不必要条件.故选：A4.如图，在四面体中，，分别是，的中点，为上一点，且，若，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，分别是，的中点，所以，.因为，所以.故选：D.5.直线过点且与椭圆相交于，两点，若点为弦的中点，则直线的斜率为（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗设，因为点A，B在椭圆上，所以，两式相减得，即，因为点为弦的中点，所以直线的斜率为，故选：A6.已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，由椭圆的性质，可得.过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，.等于的最小值的3倍，.椭圆中，，即，则.，，解得或（舍）.故选：B.7.已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（）A.13 B.11 C.9 D.8〖答案〗D〖解析〗如图所示，圆的圆心为，半径为4，圆的圆心为，半径为1，可知，所以，故求的最小值，转化为求的最小值，设关于直线的对称点为，设坐标为，则，解得，故，因，可得，当三点共线时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.8.正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（）.A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗取的中点M，连接，则，则，即，故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球.由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3，即动点P的轨迹为正方体的外接球.取的中点N，连接，则由题可知，，则，，则.所以的最小值为，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.过点，在轴上的截距与在轴上的截距相等的直线有两条B.过点作圆的切线，切线方程为C.经过点，倾斜角为的直线方程为D.直线的一个方向向量为〖答案〗ABD〖解析〗A选项，当直线过原点时，直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，，直线方程为，所以过点，在x轴上的截距与在y轴上的截距相等的直线有两条，A选项正确；B选项，由于，所以在圆上，圆心为，，过点作圆的切线的斜率为，所以切线方程为，即，B选项正确；C选项，当时，不存在，所以C选项错误；D选项，直线的斜率为2，一个方向向量为，所以D选项正确，故选：ABD．10.已知椭圆分别为它的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，则下列结论中正确的有（）A.的周长为20 B.若，则的面积为9C.为定值 D.直线与直线斜率的乘积为定值〖答案〗BCD〖解析〗已知椭圆分别为它的左、右焦点，为椭圆的左、右顶点，则对于选项的周长为即选项A错误；对于选项B，若，则,又，则，则，则的面积为9，即选项B正确;对于选项C，设,则即选项C正确；对于选项D，设，则，即，则，故D正确；故选：BCD.11.若实数x，y满足曲线C：，则下列结论正确的是（）A.B.的最小值为C.直线与曲线C恰有1个交点，则实数D.曲线C上有4个点到直线的距离为1.〖答案〗AB〖解析〗对于A:曲线即的图象是以为圆心，2为半径的半圆，如图，，选项A正确；对于B:代表曲线半圆上的点与的斜率，由图可知，曲线取点时，斜率最小，，选项B正确；对于C：直线过定点，由图可知，当直线位于之间，或者直线与曲线C相切时恰有1个交点，相切时，解得：或，故实数，选项C错误；对于D：如图，曲线上最多有2个点到直线的距离为1，D错误；故选：AB.12.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD－的表面上一个动点，则（）A.当P在平面上运动时，四棱锥P－的体积不变B.当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是[，]C.使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为D.若F是的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面时，PF长度的最小值是〖答案〗ABC〖解析〗A选项，底面正方形的面积不变，P到平面的距离为正方体棱长，故四棱锥P－的体积不变，A选项正确；B选项，与所成角即与所成角，当P在端点A，C时，所成角最小，为，当P在AC中点时，所成角最大，为，故B选项正确；C选项，由于P在正方体表面，P的轨迹为对角线AB1，AD1，以及以A1为圆心2为半径的圆弧如图，故P的轨迹长度为，C正确；D选项，FP所在的平面为如图所示正六边形，故FP的最小值为，D选项错误.故选：ABC.第Ⅱ卷（非选择题90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若坐标原点O在方程所表示的圆的外部，则实数m的取值范围为______．〖答案〗〖解析〗因为，则，解得；又因为点在圆外部，则，解得；所以实数m的取值范围为．故〖答案〗为：.14.已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A(3，2)，B(a，-1)，且l1与l垂直，直线l2:4x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于_____.〖答案〗〖解析〗由直线l的倾斜角为，则的斜率，由l1与l垂直，则且的斜率，得，又由与平行，则斜率，得，则.故〖答案〗为：15.在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为______．〖答案〗〖解析〗设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，则，，所以，又因为异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为，故〖答案〗为：.16.已知椭圆为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则______.〖答案〗〖解析〗由题意椭圆为两个焦点，所以，则①，即，由余弦定理得，又，所以，②联立①②，解得：，而，所以，即.故〖答案〗为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且．（1）证明：面；（2）求点到平面的距离；解：（1）∵平面，面，∴，又∵，面，，∴平面．（2）解法1：过做于，∵平面，面，∴，又，面PAC，∴面，为点到平面的距离，在中，，∵，又∵，∴为的中点，∴点到平面的距离为．解法2：∵平面，∴，在中，，∴，设点到平面的距离为，则，由，得，∴．∵，又∵，∴为的中点．∴点到平面的距离为．解法3：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，则，，，设，则，∴，由，知，∴，为中点，∴，，，，设平面的法向量为，由，得，∴，取，得，∴是平面的一个法向量．∴点到平面的距离为．18.已知圆E经过点，，圆E恒被直线平分；（1）求圆E的方程；（2）过点的直线l与圆E相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．解：（1）由直线方程知：，故直线恒过点，因为圆E恒被直线平分，所以圆E的圆心为，因为在圆上，故圆的半径，综上，圆E的方程为：；（2）因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理得：，所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部，即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧．因为、，以EP为直径的圆的方程为，由，所以M的轨迹方程为：，.19.在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．解：（1）取中点，连接，为的中点，，又，，四边形为平行四边形：，平面平面，平面；（2）平面平面，平面平面平面，平面，取中点，连接，则平面，，，又，如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，，设平面的一个法向量，，则，取，则，平面的一个法向量可取，设平面与平面所成的夹角为，,平面与平面所成的夹角的余弦为20.已知椭圆的上顶点到右顶点的距离为，点在上，且点到右焦点距离的最大值为3，过点且不与轴垂直的直线与交于两点.（1）求的方程；（2）记为坐标原点，求面积的最大值.解：（1）由题意得，，解得，故的方程为.（2）设，直线，联立，整理得：.由得，且，，点到直线的距离，，令，故，故，当且仅当，即时等号成立，故面积的最大值为.21.如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示.（1）求证：；（2）在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（1）在图1连接交于点，在图2中，易知、都是等边三角形，易得，，又，平面，可得平面；又直线平面，所以.（2）解法一：假设存在点，符合题意.设，则，则在中，由，由余弦定理得，由（1）得直线平面，又，∴直线平面，∵平面，∴平面平面作，垂足为，则平面，在，由，，所以如图3，取中点，连接，，由，得四边形为平行四边形，因为平面，所以平面，则直线与平面所成角为，且.由已知，即，由，得在中，设，由余弦定理得即，解得或所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或解法二（等体积法）：设，则，则在中，由，，由余弦定理得，作，垂足为，连接，得，∴由（1）得直线平面，又，∴直线平面，∴，所以是直角三角形，所以的面积为，设点到平面的距离为，由得，得，设直线与平面所成角为，则，所以所以，得，在中，设，由余弦定理得即，解得或所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或解法三（向量法）：由解法一知，如图3，以的中点为原点，，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，所以，因此，，设平面的法向量为，则，解得，令，则；即向量，设存在点，，满足题意，则，所以，设直线与平面所成角为，则，所以所以，解得，所以存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，此时或22.已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的一个端点为，内切圆的半径为，设过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，.（1）求椭圆的标准方程；（2）在轴上是否存在一点，使得当变化时