辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二上学期期末数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二上学期期末数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一､二册.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一组样本数据、、、、、、、不全相等）的散点图中，若所有的样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为所有的样本点都在直线上，所以相关系数满足.又因为，所以，所以.故选：C.2.某学生要从5门选修课中选择1门，从4个课外活动中选择2个，则不同的选择种数为（）A.11 B.10 C.20 D.30〖答案〗D〖解析〗先从5门选修课中选择1门，有5种选法；再从4个课外活动中选择2个，有种选法.所以该学生不同的选择种数为.故选：D.3.设，随机变量的分布列为：589则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以.故选：D4.已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为二项式系数之和为256，所以，得，的展开式的通项，令，得.故选：A5.（）A.120 B.119 C.110 D.109〖答案〗B〖解析〗因为，所以故选：B.6.法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图所示，分别与椭圆相切，显然所以点C一定在其蒙日圆上，所以，所以，故椭圆的离心率为.故选：C.7.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（）A.564 B.484 C.386 D.640〖答案〗A〖解析〗8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时，其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法；当在4人组时，有种方法.第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法；当在3人组时，有种方法.故这8名同学游玩行程的方法数为.故选：A.8.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可知通项公式，所以，同时，上述两式相加得，所以，所以.故选：B二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，且与相互独立，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为与相互独立，所以.故选：AC.10.随机变量，且，随机变量，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗因为，且，所以，故A正确.因为，所以.因为，所以，所以，故B错误.因为，所以，故C正确.因为，所以，故D错误.故选：AC.11.在直角坐标系中，已知点，直线，过外一点作的垂线，垂足为，且，记动点的轨迹为，过点作的切线，该切线与轴分别交于两个不同的点，则下列结论正确的是（）A.动点的轨迹方程为B.当时，三点共线C.对任意点（除原点外），都有D.设，则的最小值为4〖答案〗ABC〖解析〗易知动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以的方程为，故选项A正确；当时，记点，由，所以.不妨设，则.设过点的切线方程为，联立方程组消去得：.由解得：，所以过点的切线方程为且，因，所以三点共线，故选项B正确；设过点的切线方程为，联立方程组消去得：，由可得：.因为，所以，化简得：.则，故，又，故，所以，故选项C正确；因为，点为抛物线上任一点，故当且仅当三点共线时，最小，即的最小值为点到直线的距离，所以，故选项D错误.故选：ABC.12.某公司成立了甲、乙、丙三个科研小组，针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克该技术难题的小组都会获得奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关，则（）A.该技术难题被攻克的概率为：B.在该技术难题被攻克的条件下，只有一个小组获得奖励的概率为C.在丙小组攻克该技术难题的条件下，恰有两个小组获得奖励的概率为D.在该技术难题被两个小组攻克的条件下，这两个小组是乙和丙的概率最大〖答案〗BD〖解析〗记甲、乙、丙三个小组各自攻克该技术难题分别为事件A，B，C，对于A项，记该技术难题被攻克为事件M，则，故A项错误；对于B项，记恰有一个小组获得奖励为事件R，则．由A项知，记技术难题被攻克为事件M，则，在该技术难题被攻克的条件下，只有一个小组受到奖励的概率为，故B项正确；对于C项，在丙小组攻克该技术难题的条件下，恰有两个小组获得奖励的概率为，故C项错误；对于D项，记恰有两个小组获得奖励为事件N，则．在该技术难题被两个小组攻克的条件下，这两个小组是乙和丙的概率为，这两个小组是甲和乙的概率为，这两个小组是甲和丙的概率为，故D项正确．故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上13.已知服从参数为0.6的两点分布，则__________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：14.已知与具有相关关系，且利用关于的回归直线方程进行预测，当时，，当时，，则关于的回归直线方程中的回归系数为__________.〖答案〗5〖解析〗设关于的回归直线方程为，由题意得，解得，即回归系数为5.故〖答案〗为：5.15.某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则__________.〖答案〗〖解析〗因.故〖答案〗为：.16.已知，直线为上的动点.过点作的切线，切点分别为，当最小时，点的坐标为__________，直线的方程为__________.〖答案〗①②〖解析〗的标准方程为，其圆心为，半径为2.如图，由题意可知，则，所以当最小时，最小，此时与直线垂直，所以直线的方程为，即.联立，解得，所以点的坐标为，.在Rt中，，同理.以为圆心，为半径作圆，如图，则线段为与的公共弦，的方程为，即，两圆方程相减得，即直线的方程为.故〖答案〗为：；四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某机构为了解学生是否喜欢绘画与性别有关，调查了400名学生（男女各一半）的选择，发现喜欢绘画的人数是300，喜欢绘画的男生比女生少60人.（1）完成下面的列联表；喜欢绘画不喜欢绘画总计男生女生总计（2）根据调查数据回答：有把握认为是否喜欢绘画与性别有关吗？附：.临界值表如下：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）列联表为:

喜欢绘画不喜欢绘画总计男生12080200女生18020200总计300100400（2）由（1）中列联表得:所以有的把握认为是否喜欢绘画与性别有关.18.已知抛物线的焦点为是上的点，且.（1）求的方程；（2）已知直线交于两点，且的中点为，求的方程.解：（1）因为，所以，故抛物线方程为.（2）易知直线的斜率存在，设的斜率为，则两式相减得，整理得.因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即.联立与，得，显然，综上满足题意的方程为.19.如图，长方体的底面为正方形，为上一点.（1）证明：；（2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值.解：（1）由题可知，平面，所以.连接，因为四边形为正方形，所以.又，平面，所以平面，所以.（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则.因为平面，所以，解得，所以平面的一个法向量为.易知是平面的一个法向量，，所以平面与平面夹角的余弦值为.20.已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为1.（1）求的方程；（2）若动直线与恰有1个公共点，且与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.解：（1）设右焦点为，一条渐近线方程为，所以该焦点到渐近线的距离为.因为，所以.故的方程为.（2）当直线的斜率不存在时，的方程为，此时.当直线的斜率存在时，不妨设，且.联立方程组得.由，得.联立方程组，得.不妨设与的交点分别为，则.同理可求，所以.因为原点到的距离，所以.因为，所以.故的面积为定值，定值为.21.在四面体中，分别是和的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）因为是的中点，所以.又是的中点，所以.因为，所以.又，平面.所以平面因为平面，所以平面平面.（2）在平面内作，交于点.以为原点分别以的方向为轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以在平面内，.作，垂足为，作，垂足为，则平面，所以.因为是边长为2的正三角形，所以为的中点，且，可得，所以.由（1）知平面的一个法向量为，所以可取平面的一个法向量为.因为，所以.设直线与平面所成角，则，即直线与平面所成角的正弦值为.22.甲袋中装有3个红球，3个白球，乙袋中装有1个红球，2个白球，两个袋子均不透明，所有的小球除颜色外完全相同．先从甲袋中一次性抽取3个小球，记录颜色后放入乙袋，再将乙袋中的小球混匀后从乙袋中一次性抽取3个小球，记录颜色．设随机变量X表示在甲袋中抽取出的红球个数，Y表