辽宁省部分学校2024届高三上学期12月月考数学试题（解析版）

PAGEPAGE1辽宁省部分学校2024届高三上学期12月月考数学试题一、选择题1.（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，当且仅当时，等号成立，所以，而，则.故选：A.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则.当，时，，但，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4.若为奇函数，则（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗因为是R上的奇函数，则，，因此，整理得，所以故选：D.5.如图，在由九个相同的正方形组成的九宫格中，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由图可知，，则.故选：B.6.在等比数列中，已知，，则（）A. B.42 C. D.〖答案〗C〖解析〗设的公比为，则，解得，所以，解得，所以.故选：C.7.已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，其顶点和底面圆周均在同一个球的球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为圆锥的底面半径为4，母线长为5，所以圆锥的高，故球心在圆锥外部.设球心到圆锥底面圆心的距离为，如图所示：则，解得，则球的半径，表面积.故选：C.8.已知实数，满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题可知，则，则，则，解得，检验各选项可知只有B选项成立.故选：B.二、选择题9.如图，在四面体中，两两垂直，，则（）A.向量在向量上的投影向量为B.向量在向量上的投影向量为C.向量D.向量〖答案〗AD〖解析〗如图所示，取，连接，则.因为两两垂直，，所以在上的投影为点，在上的投影为点，所以向量在向量上的投影向量为，故A正确，B错误；，故C错误，D正确.故选：AD.10.下列函数中，存在两个极值点的是（）A. B.C D.〖答案〗BC〖解析〗由，得恒成立，则无极值，A不正确.由，得，当时，，当时，，则在和上单调递增，在上单调递减，有两个极值点，B正确.由，得，当时，，当时，，则在和上单调递减，在上单调递增，有两个极值点，C正确.由，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，有且只有一个极值点，D不正确.故选：BC.11.若函数在上恰有10个零点，则的值可能为（）A.50 B.54 C.51 D.58〖答案〗BD〖解析〗当时，，令，得，要使在上恰有10个零点，则需满足，解得.故选：BD.12.已知函数的值域为，，，，则下列函数的最大值为的是（）A.B.C.D.〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，当的取值范围为时，的取值范围为，所以的最大值与的最大值相等，均为，A正确.因为，所以的最大值为，B错误.因为，所以，当的取值范围为时，的取值范围为，所以的最大值与的最大值相等，均为，所以的最大值为，C正确.，因为，，，所以，所以的最大值一定不是，D错误.故选：AC.三、填空题13.已知，均为单位向量，且，则______.〖答案〗〖解析〗因为，均为单位向量，且，所以，所以故〖答案〗为：14.如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.〖答案〗〖解析〗取的中点，连接，，.因为是的中点，所以.又，，三棱柱为直三棱柱，所以，，，，故异面直线与所成角的余弦值为.故〖答案〗为：.15.若，当时，，则实数的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗由题意等价于，即等价于，即等价于.令，则原问题可转化为，当时，，即函数在上单调递减，即，，则，又，，所以，所以实数的取值范围是，故〖答案〗为：16.某景区的平面图如图所示，其中，为两条公路，，为景点，，，现需要修建一条经过景点的观光路线，，分别为，上的点，则面积的最小值为______.〖答案〗200〖解析〗设，，由，可得，即.由，解得，当且仅当，时，等号成立，此时取得最小值.故面积的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题17.记为等差数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）求的最小值.（1）解：设等差数列的公差为，由，，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）解：由（1）知，可得数列为递增数列，且，所以当时，；当时，；当时，，所以，当或时，取得最小值，即，所以，故的最小值为.18.的内角，，的对边分别为，，.已知.（1）求；（2）若，，，成等比数列，求.解：（1）因为，所以，又，所以，即，又，所以，（2）因为，，成等比数列，所以，又，所以，故.19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在上的最值.解：（1）因为，所以，则，，故曲线在点处的切线方程为（2）因为，所以当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减.所以当，为在区间的极大值且为最大值，又，，，所以在上的最大值为，最小值为.20.如图，在四棱锥中，，，与均为正三角形.（1）证明：平面.（2）证明：平面.（3）设平面平面，平面平面，若直线与确定的平面为平面，线段的中点为，求点到平面的距离.（1）证明：因为，所以，，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）证明：取的中点，连接，则四边形为正方形.过作平面，垂足为.连接，，，.由和均为正三角形，得，所以，即点为正方形对角线的交点，则.因为平面，且平面，所以，又，且平面平面,所以平面，因为平面，所以.因为是的中点，是的中点，所以，因此.因为，所以，又，平面，平面，所以平面.（3）解：设，连接，则直线为直线，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，且平面平面，所以.由（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，取，得.又，所以点到平面的距离.21.已知数列满足.（1）求的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：.（1）解：当时，当时，由，得，则，则，又，所以.（2）证明：由（1）可知，，当时，.当时，，则，所以.综上，.22.已知，是函数的两个零点，且.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.（1）解：令，则.令，则.因为在上单调递增，且当时，，所以当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单