浙江省年考前理科数学五大解答题拔高训练试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2012届浙江高考理科数学解答题拔高训练试题（10）三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．18．（本小题满分14分）在△ABC中,已知角A为锐角，且．（1）将化简成的形式；（2）若,求边AC的长．19．（本小题满分14分）在数列中，a1＝1，当时，其前n项和满足：．(1）求;（2）令，求数列的前n项和．20．(本小题满分15分）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C－AE－F的余弦值的大小．21．(本小题满分15分）圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴,我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点、是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，是垂直于轴的一条垂轴弦，直线分别交轴于点和点．（1）试用的代数式分别表示和；(2）若C的方程为(如图），求证：是与和点位置无关的定值；(3）请选定一条除椭圆外的圆锥曲线C，试探究和经过某种四则运算（加、减、乘、除)，其结果是否是与和点位置无关的定值，写出你的研究结论并证明．（说明：对于第3题，将根据研究结论所体现的思维层次，给予两种不同层次的评分）22．（本小题满分14分）已知函数的图象在上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．（1）（2）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围．2012届浙江高考理科数学解答题拔高训练试题(10)参答18．（本小题满分14分）解：(1）．………………7分（2）由在△ABC中，由正弦定理得：．…………………14分19．（本小题满分14分)20．（本小题满分15分）解：不妨设正方体的棱长为2,分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0），C(0，2，0)，E（1，0，2），F（1,1，2）．（1）由＝(－1,0，2）,＝(1，－1，2），得＝eq\r(5)，｜|＝eq\r（6），·＝－1＋0＋4＝3．又·＝｜|·||·cos<，〉＝eq\r(30)cos〈，〉，∴cos〈,〉＝eq\f(\r(30）,10)，即AE与CF所成角的余弦值为eq\f(\r(30），10）．……7分（2）∵＝(0,1,0)，∴·＝（－1，0，2）·（0，1，0）＝0,∴AE⊥EF，过C作CM⊥AE于M，则二面角C－AE－F的大小等于〈，〉,∵M在AE上,∴设＝m，则＝(－m，0,2m),＝－＝（－2，2，0）－(－m，0，2m）＝（m－2,2，－2m）．∵MC⊥AE，∴·＝（m－2，2，－2m)·(－1，0,2)＝0，∴m＝eq\f(2,5），∴＝（－eq\f（8，5)，2,－eq\f（4，5)），｜｜＝eq\f(6\r(5),5），∴·＝(0,1，0)·（－eq\f（8，5),2，－eq\f(4,5))＝0＋2＋0＝2．又·＝｜|·｜|·cos〈，>＝eq\f(6\r（5），5)cos<，〉,∴cos〈，〉＝eq\f(\r（5）,3)，∴二面角C－AE－F的余弦值的大小为eq\f（\r(5）,3)．……………15分21．（本小题满分15分）解：(1）因为是垂直于轴的一条垂轴弦，所以．则．令则．同理可得：．…………………3分（2）由（1）可知：．在椭圆C:上,，则(定值）．是与和点位置无关的定值．…………8分(3）第一层次：①点是圆C：上不与坐标轴重合的任意一点，是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则．证明如下：由（1)知:．在圆C:上，，则．是与和点位置无关的定值．……10分②点是双曲线C：上不与顶点重合的任意一点,是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则．证明如下:由（1）知:在双曲线C：上，，则是与和点位置无关的定值．………12分第二层次：点是抛物线C：上不与顶点重合的任意一点,是垂直于轴的垂轴弦，直线分别交轴于点和点，则．证明如下：由（1）知:,在抛物线C：上，．则．是与和点位置无关的定值．…………15分22．（本小题满分14分）解：（1）由题意可得,，．于是．若是为上的“阶收缩函数"，则在上恒成立，且成立．令，，则，所以在单调递减，∴,，即，于是在恒成立；又成立．故存在最小的正整数，使是为上的“2阶收缩函数”．…………6分函数,的变化情况如下：x（—∞，0）0(0,2)2(2，+∞)—0+0—y减极小增极大减ⅰ)时，在上单调递增,因此，，．因为是上的2阶收缩函数，所以,①对恒成立；②存在,使得成立．①即：对恒成立，由，解得：或，要使对恒成立，需且只需． ②即：存在，使得成立．由得:或，所以，需且只需．