新教材数学人教A版学案5-1-1任意角

第五章三角函数5．1任意角和弧度制5．1.1任意角【素养目标】1．了解任意角的概念，能区分各类角的概念．(数学抽象)2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角．(直观想象)3．理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题．(数学运算)4．能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基础．(逻辑推理)【学法解读】在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升自己的数学抽象及直观想象等素养．必备知识·探新知基础知识知识点1角的概念角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形．思考1：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？提示：根据旋转方向，射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向．知识点2角的表示顶点：用O表示；始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置；终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置．思考2：(1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？(2)你能说出角的三要素吗？提示：(1)不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定．(2)角的三要素是顶点、始边、终边．知识点3角的分类类型定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角思考3：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的．(2)不一定．零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转．知识点4象限角如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考4：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？提示：象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象限角．如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角．知识点5终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合！！！S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．思考5：反过来，若角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？提示：当角α，β满足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}时，表示角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同．基础自测1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]正角有126°，99°共2个．2．将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为(A)A．120° B．－120°C．60° D．240°3．(2021·济南外国语期中)下列各角中，与－1110°的角终边相同的角是(D)A．60° B．－60°C．30° D．－30°[解析]－1110°＝－3×360°－30°，所以与－30°的角终边相同．4．若－30°角的始边与x轴的非负半轴重合，现将－30°角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是690°.[解析]因为逆时针方向旋转为正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.5．图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是390°、－150°、60°.[解析]题图中(1)中的角是正角，α＝390°，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，β＝－150°，γ＝60°.关键能力·攻重难题型探究题型一任意角的概念例1下列命题正确的是(C)A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角[分析]角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量．[解析]终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D错误．[归纳提升]关于角的概念问题的处理正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．【对点练习】❶(1)(多选题)下列说法，不正确的是(ACD)A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．钝角比第三象限角小D．小于180°的角是钝角、直角或锐角(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(B)A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°[解析](1)对A,90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B正确；对C中钝角大于－120°，但－120°的角是第三象限角，故C错误；对D,0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D错误．(2)顺时针旋转为负角，eq\f(2,12)×360°＝60°，2×360°＝720°，故钟表的时针、分针转过的角度分别为－60°，－720°.题型二终边相同的角例2已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．[解析]因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为－45°.(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.[归纳提升](1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略．【对点练习】❷(2020·济南高一检测)下列各角中，与角30°终边相同的角是(B)A．－390° B．－330°C．330° D．570°[解析]－330°＝－360°＋30°，与30°终边相同．题型三终边在给定直线上的角的集合例3写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．[分析]先在0°～360°内找到终边在y＝x上的角；再推广到任意角；最后找出－360°≤β<720°内的角．[解析]直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°。因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．所以S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.注意解题过程的规范性：①终边在直线y＝x上注意讨论两种情况．②这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合．[归纳提升](1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x≥0和x<0两种情况讨论，最后再进行合并．【对点练习】❸写出终边在直线y＝－eq\r(3)x上的角的集合．[解析]S＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋120°，k2∈Z}＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°－60°}＝{α|α＝2k1·180°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°－60°}＝{α|α＝n·180°－60°，n∈Z}．题型四区域角的表示例4已知，如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．[解析]①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之间的与之终边相同的角组成的集合，故可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[归纳提升]1.表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．【对点练习】❹如图所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？[解析]在0°～360°范围内、阴影部分(包括边界)表示的范围是：150°≤α≤225°，则满足条件的角α为{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．题型5象限角的确定例5若α是第一象限角，则2α，eq\f(α,2)分别是第几角限角？[分析]由α是第一象限角可知k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，则2α，eq\f(α,2)的范围分别为2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°(k∈Z)．再通过对整数k分类讨论即可得结果．[解析]因为k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，所以2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)．所以2α是第一、二象限角或终边落在y轴非负半轴上的角．又k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°(k∈Z)，所以当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<eq\f(α,2)<n·360°＋45°.所以eq\f(α,2)是第一象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，n·360°＋180°<eq\f(α,2)<n·360°＋225°，所以eq\f(α,2)是第三象限角．故eq\f(α,2)是第一、三象限角．[归纳提升]已知α角所在象限，判断nα，eq\f(α,n)(n∈Z)所在象限的方法(1)若已知角α是第几象限角，判断eq\f(α,2)，eq\f(α,3)等是第几象限角，主要方法是解不等式并对整数k进行分类讨论．求解题的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略．(2)由α的象限确定2α的象限时，应注意2α可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．【对点练习】❺若φ是第二象限角，那么eq\f(φ,2)和90°－φ都不是(B)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]∵φ是第二象限角，∴k·360°＋90°<φ<k·360°＋180°，k∈Z，∴k·180°＋45°<eq\f(φ,2)<k·180°＋90°，k∈Z，即eq\f(φ,2)终边是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角，故选B．课堂检测·固双基1．与－457°角终边相同的角的集合是(C)A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}[解析]－457°与－97°角终边相同，又－97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°＋263°角终边相同，∴应选C．2．－215°是(B)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．3．下列各组角中，终边相同的是(B)A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3000°，－840°4．若角