河南省开封市通许县高三冲刺（四）文科数学试题

2023届高三冲刺卷（四）全国卷文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数满足，则（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】应用复数的除法求复数即可.【详解】由题设，则.故选：C2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合，再根据交集运算求解.【详解】由，可得，解得,所以.因为，所以.故选:D.3.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到的2个数之和为偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】应用列举法求古典概型的概率即可.【详解】任取2个不同数可能有、、、、、、、、、，共10种情况，其中和为偶数的情况有、、、，共4种情况，所以取到的2个数之和为偶数的概率为.故选：D4.某学校组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，全校2000名学生每人都参加且只参加其中二个社团，校团委从这2000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的两个统计图：则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（）A.20 B.30 C.40 D.45【答案】A【解析】【分析】由题图可求合唱的比例，由饼状图求出绘画的比例，从而可求解.【详解】选取的学生中，合唱的比例为，所以绘画的比例为，所以选取的学生中，参加绘画社团的学生数为.故选:A.5.如图为某几何体的正视图与侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据各项中的俯视图，结合已知图确定底面形状求体积，即可判断是否符合要求.【详解】由正视图、侧视图知：几何体的高，若俯视图为A、B，即几何体底面是等腰直角三角形，则，不满足；若俯视图为C，即几何体底面是正方形，则，满足；若俯视图为D，与正视图矛盾，没有对应几何体，不满足.故选：C6.函数满足，则下列函数中为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.【详解】A：，定义域为，不关于原点对称，不符合；B：，定义域为关于原点对称，且，符合；C：，定义域为，不关于原点对称，不符合；D：，定义域为，不关于原点对称，不符合；故选：B7.已知正方体，则（）A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面所成的角为【答案】D【解析】【分析】对于选项A，设分别是的中点，连接，可得直线与所成的角为或其补角，根据勾股定理即可判断；对于选项B，由，可得直线与所成的角为或其补角，根据正方体的性质即可判断；对于选项C，由平面可得直线与平面所成的角为,根据正方体的性质即可判断；对于选项D，根据线面垂直的判定定理证明平面，可得为直线与平面所成的角，解三角形即可判断.【详解】对于A：设分别是的中点，连接，所以，所以直线与所成的角为或其补角.,,，所以,即，即，所以直线与所成的角为，故A错误；对于B：由正方体的性质可得，所以直线与所成的角为或其补角，易知是等边三角形，所以,所以直线与所成的角为，故B错误；对于C：由正方体的性质平面，所以直线与平面所成的角为,故C错误；对于D：因为平面，平面，所以.在正方形中，因为是中点，所以.因为平面，所以平面,所以为直线与平面所成的角.因为,，所以,所以，所以直线与平面所成的角为，故D正确.故选:D.8.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】构造，利用导数判断其单调性可比较的大小关系.构造，利用导数判断其单调性可比较的大小关系.【详解】，，，设，所以，所以在上单调递增，所以，即.所以，即.设，则，所以在上单调递减，所以，即.所以，即.所以.故选:C.9.将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的平移变换可得，再根据余弦函数的图象可得，求解即可.【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.时，，在轴右方的零点为因为函数的图象在区间内有5个零点，所以，解得.故选:D.10.已知直线过抛物线的焦点，直线与抛物线相交于两点，若的中点到抛物线的准线的距离为，则（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由直线所过定点及抛物线的焦点所在位置可求，设,联立直线与抛物线的方程，求出，根据即可求解.【详解】因为直线过定点，抛物线的焦点在轴，且直线过抛物线的焦点，所以抛物线的焦点坐标为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为.联立，消去，可得，即.设,因为,所以.所以.因为的中点到抛物线的准线的距离为，且抛物线的准线方程为,所以，解得.所以，即，解得.故选:B.11.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.为的一个极值点C.点是曲线的一个对称中心D函数有且仅有一个零点【答案】B【解析】【分析】根据、是否成立判断A、C；利用导数研究在上的单调性，进而判断是否为极值点判断B；由，应用零点存在性判断零点的个数判断D.【详解】A：，错；B：，在上，则时，时，故，即是一个极小值点，对；C：，故不是对称中心，错；D：由解析式知：，，，所以上存在零点，故不止一个零点，错.故选：B12.已知若函数有两个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别利用导数求出函数在与上的单调性与最值，画出函数的图象，由题意可得与的图象有两个交点，数形结合求解即可.【详解】当时，,则,当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.当时，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以时，.画出函数的图象如图所示：因为函数有两个零点，所以与的图象有两个交点，由图可知或.所以的取值范围为.故选:C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知两点，，若向量与垂直，则__________．【答案】【解析】【分析】求出，根据即可求解.【详解】因为，，所以.因为向量与垂直，所以，解答.故答案为:.14.的三个顶点到直线的距离分别为1，2，3，则该三角形的重心到直线的距离为__________（答案不唯一，填一个即可）．【答案】1（答案不唯一）【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用重心坐标、点到直线的距离公式求得三角形的重心到直线的距离的范围，由此确定正确答案.【详解】以平面内一点为原点，建立平面直角坐标系，设，则，设直线的方程为（不同时为），不妨设，设三角形的重心到直线的距离为，则，则当同号时，取得最大值为，当，或时，取得最小值为，也即过重心.所以.故答案为:1（答案不唯一）.15.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】若为中点，由、，应用向量数量积的运算律化简得，根据位置关系求最小值.【详解】如下图，，若中点，且，则，则，要使其最小，只需共线，此时，由图知此时.故答案为：.16.已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】由题设可得，结合点在双曲线上及参数关系求出双曲线参数，即可得离心率.【详解】由题设知：，则，所以且，易知：，又，故，且，所以，则，化简得，解得或（舍），综上，，故，则离心率为.故答案：三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17已知数列满足且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题设得，应用累加法求通项公式即可；（2）应用错位相减及等比数列前n项和公式求.【小问1详解】由题设，即，而，所以，且，所以，显然也满足上式，故.【小问2详解】由（1）知：，所以，则，两式相减得：，所以.18.在三棱台中，，分别是，的中点，，平面，且，．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形、棱台、线面垂直的性质证四边形为矩形，并求得相关线段的长度，再证得到，根据面面垂直的判定、性质证平面，进而得到，最后由线面垂直的判定和性质证结论.（2）由，结合棱锥体积公式求体积即可.【小问1详解】由，，则，是的中点，即，由为棱台，易知，且，故，又，且，故四边形为平行四边形，又平面，平面，则，所以四边形为矩形，又，是的中点，故，在中，且，所以，易得，则，由平面，平面，则平面平面，由等腰三角形性质知，平面，平面平面，所以平面，平面，则，又，面，则面，由面，则.【小问2详解】由，由（1）知：平面，所以.所以三棱锥的体积为.19.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断．为了研究“冰墩墩”与“雪容融”在不同性别的人群中受欢迎程度是否存在差异，某机构从关注冬奥会公众号的微信用户中随机调查了200人，得到如下列联表：男生女生总计更喜欢“冰墩墩”50更喜欢“雪容融”70总计100100200参考公式：，其中．附表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（1）完善列联表，并求女生中更喜欢“冰墩墩”的频率是多少？（2）是否有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”．【答案】（1）；（2）有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”．【解析】【分析】（1）根据完善列联表，再求频率即可；（2）根据公式求出，对比临界值表即可求解.【小问1详解】由列联表可得，解得，故完善列联表如下：男生女生总计更喜欢“冰墩墩”503080更喜欢“雪容融”5070120总计100100200故女生中更喜欢“冰墩墩”的频率是.【小问2详解】,所以有90%的把握认为“对两个吉祥物的喜好倾向与性别有关”．20.已知点在椭圆上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0．（1）求直线的斜率；（2）求的面积的最大值（为坐标原点）．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）代入，求出，得到曲线方程，当直线的斜率不存在时，不合要求，设，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，由求出，得到；（2）由求出，求出，并得到点到直线的距离为，表达出，从而求出的面积的最大值.【小问1详解】由题意得，解得，代入椭圆方程中，，解得或6（舍去），故，当直线的斜率不存在时，关于轴对称，此时有对称性可知，直线，的斜率之和不为0，舍去；设，联立椭圆方程得，，则，则，设，则，，故，即，故，即，当时，，此时直线，显然直线恒过，矛盾，当时，经检验，满足题意，故直线的斜率为1；【小问2详解】设，联立椭圆方程得，，，解得，，点到直线的距离为，故，故当，即时，取得最大值，最大值为.【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21.已知函数．（1）若函数图象与直线相切，求实数的值；（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）设切点坐标，根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而列出关于的方程组，解之即可;（2）由题意可得只有一个根，易知，可转化为与的图象只有一个交点，根据导数研究函数的单调性，数形结合即可求解.【小问1详解】设直线与函数的图象相切于点，因为,所以，由②③可得④，易知.由①得，代入④可得，即，即，解得.故.【小问2详解】令，可得，由题意可得只有一个根.易知不是方程的根，所以，所以由，可得.设，则与的图象只有一个交点.，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.设，则，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以.所以.又，时，，时，，画出函数的图象如图所示：由图可知，若与的图象只有一个交点，则.所以实数的取值范围是.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数）．直线的参数方程为（为参数）．（1）求曲线和直线的普通方程；（2）直线与曲线相交于不同的两点，，，过且与直线平行的直线，与相交于，两点，求的值．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）消参求曲线的普通方程，讨论或、或并消参求直线方程；（2）由题设排除或的情况，将两直线的参数方程代入曲线普通方程，结合韦达定理求目标式的值.【小问1详解】由，则曲线的普通方程为，由，若或时，则直线