新教材高中数学人教B版学案2-2-4第2课时不等式的实际应用

第2课时不等式的实际应用[课程目标]1.能把现实世界和日常生活中的不等关系转化为不等式问题；2.能从实际情景中抽象出不等式模型，能运用不等式的知识和方法解决常见的实际问题(如比较大小、确定范围、求最值)；3.进一步了解如何从实际情景中建立数学模型，逐步体会数学知识和客观实践之间的相互关系，培养良好的数学意识和情感态度．知识点一作差法解决实际问题[填一填](1)作差法的依据是a－b>0⇔a>b；(2)若a>b>0，m>0，则eq\f(a＋m,b＋m)<eq\f(a,b)；(3)若0<a<b，m>0，则eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).[答一答]1．作差法解决实际问题的基本步骤是怎样的？提示：(1)理解题意，准确地将要比较的两个对象用数学式子表示出来；(2)作差、变形；(3)分析差的符号；(4)得出结论，解决实际问题．知识点二利用均值不等式解决实际问题[填一填](1)设a，b是两个正数，则eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2)).(2)已知x，y是正数，如果xy是常数p，则x＋y有最小值，且这个值是2eq\r(p)；如果x＋y是常数s，则xy有最大值，且这个值是eq\f(1,4)s2.[答一答]2．应用均值不等式解决实际问题的步骤是怎样的？提示：(1)理解题意，设出变量；(2)建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；(3)对建立起来的关系式进行整理、变形，使之能应用均值不等式求最值；(4)回扣实际问题，写出准确答案．知识点三利用一元二次不等式解决实际问题[答一答]3．应用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是怎样的？提示：(1)理解题意，弄清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．类型一作差法解决实际问题[例1]甲、乙两人同时到一家米店买米两次，两次米的价格不同，甲每次购买m千克，乙每次购买n元钱的，则甲、乙两人谁的买法更便宜些？[解]设第一次米店的米价为a元/千克，第二次为b元/千克，则甲共买了2m千克，花了(ma＋mb两次的平均价格为eq\f(ma＋mb,2m)＝eq\f(a＋b,2)(元/千克)．乙共买了2n元钱的，买米(eq\f(n,a)＋eq\f(n,b))千克，两次的平均价格为eq\f(2n,\f(n,a)＋\f(n,b))＝eq\f(2ab,a＋b)(元/千克)．eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(a＋b2－4ab,2a＋b)＝eq\f(a2＋b2－2ab,2a＋b)＝eq\f(a－b2,2a＋b).∵两次米价不同，∴a≠b，∴a－b≠0，(a－b)2>0.又a>0，b>0，∴2(a＋b)>0，∴eq\f(a－b2,2a＋b)>0，即eq\f(a＋b,2)>eq\f(2ab,a＋b).∴甲两次买米的平均价格高于乙的平均价格，∴乙买的米更便宜些．涉及两者大小比较的问题，解题时常用作差法比较，结合不等式的性质得到正确结论.解决此类问题的关键在于准确把需要比较大小的两个对象表示出来.[变式训练1]现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面积均为a2，高分别为a和b，C、D的底面积均为b2，高分别为a和b(其中a≠b)．现规定一种游戏规则：每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜，则先取者有没有必胜的方案？若有的话，有几种？解：依题意可知A、B、C、D四个容器的容积分别为a3，a2b，ab2，b3.按照游戏规则，四个容器只有三种不同的分法：①若先取A、B，则后取者只能取C、D.∵(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a－b)(a＋b)2，(a＋b)2>0，但a与b的大小不确定，∴(a－b)(a＋b)2的正负不能确定．②若先取A、C，则后取者只能取B、D.∵(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a－b)(a2＋b2)，∴类似于①的分析知，这种取法也无必胜的把握．③若先取A、D，则后取者只能取B、C.∵(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2，又a≠b，a>0，b>0，∴(a＋b)(a－b)2>0，∴a3＋b3>a2b＋ab2.故先取A、D是唯一必胜的方案．类型二利用一元二次不等式解决实际问题[例2]据市场调查：某杂志价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多，现有该杂志，若每本定价2元，则可以发行10万本，若每本价格提高0.2元，发行量就减少5000本，要使总收入不低于22.4万元，则杂志的定价应是多少元？每本价格是多少时，可使总收入最多？[解]设每本价格提高0.2x(0≤x≤20)元，则发行量减少5000x本，提价后的单价为(2＋0.2x)元，发行量为(100000－5000x)本．由题意得(2＋0.2x)(100000－5000x)≥224000，即x2－10x＋24≤0，解得4≤x≤6.最高定价：x＝6时，2＋0.2x＝3.2(元)．最低定价：x＝4时，2＋0.2x＝2.8(元)．故每本杂志的定价应在2.8元到3.2元之间(包括2.8元和3.2元)．令总收入为y元，则y＝(2＋0.2x)(100000－5000x)＝－1000(x2－10x)＋200000∴当x＝5，即每本价格为3元时，总收入最高．1本题也可设每本提高x元，或设每本定价x元求解，但都不如设每本提高0.2x元简单.,2解答实际应用题时，要特别注意单位的统一.[变式训练2]汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对后同时刹车，但还是撞了．事发后，现场测量甲车的刹车距离超过12m，但不超过15m；乙车的刹车距离超过10m，但不超过12m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x甲＋0.01xeq\o\al(2,甲)，s乙＝0.05x乙＋0.005xeq\o\al(2,乙)，问谁应负主要责任？解：由题意得下列不等式：12<0.1x甲＋0.01xeq\o\al(2,甲)≤15，①10<0.05x乙＋0.005xeq\o\al(2,乙)≤12，②①化为1200<10x甲＋xeq\o\al(2,甲)≤1500，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,甲)＋10x甲－1200>0，③,x\o\al(2,甲)＋10x甲－1500≤0.④))由③得x甲>30或x甲<－40(舍去)．由④得－5－5eq\r(61)≤x甲≤－5＋5eq\r(61)，由③④得30<x甲≤－5＋5eq\r(61)<35.同理，解②得40<x乙≤－5＋5eq\r(97)<45.这表明乙车的车速超过40km/h，超过规定限速，故乙车应负主要责任．类型三利用均值不等式解决实际问题[例3]某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162m2的三级污水处理池，平面图如图所示，水池的深度为1m．如果水池四周墙的建造费用为400元/m2，中间两道隔墙的建造费用为248元/m2，池底建造费用为80元/m2试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．[解]设污水处理池的宽为x(x>0)m，则长为eq\f(162,x)m，则总造价y＝400×(2x＋eq\f(2×162,x))＋248×2x＋80×162＝1296x＋eq\f(1296×100,x)＋12960＝1296(x＋eq\f(100,x))＋12960≥1296×2eq\r(x·\f(100,x))＋12960＝38880，当且仅当x＝eq\f(100,x)(x>0)，即x＝10时，等号成立．故当长为16.2m，宽为10m时，总造价最低，为38880元．1在运用均值不等式时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足均值不等式中“正”即条件要求中字母为正数、“定”不等式的另一边必须为一定值、“等”等号取得的条件.2对于形如y＝的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的性质进行求解.[变式训练3]某厂家拟在2018年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(万元)(m≥0)满足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k为常数)，若不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2018年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数；(2)该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－eq\f(k,0＋1)，即k＝2.∴x＝3－eq\f(2,m＋1).∵每万件产品的销售价格为1.5×eq\f(8＋16x,x)元，∴y＝x×1.5×eq\f(8＋16x,x)－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8×(3－eq\f(2,m＋1))－m＝－[eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)]＋29(m≥0)．(2)∵m≥0时，eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq\r(16)＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当eq\f(16,m＋1)＝m＋1即m＝3时，ymax＝21.∴该厂家2018年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．1．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为x、y、z，则下列选项中能反映x、y、z关系的是(C)A．x＋y＋z＝65 B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝65，,x>z，,y>z))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝65，,x>z>0，,y>z>0)) D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝65，,x<65，,y<65，,z<65))解析：A、B、D中x、y、z都有可能为负数．2．买4枝郁金香和5枝丁香的金额小于22元，而买6枝郁金香和3枝丁香的金额大于24元，那么买2枝郁金香和买3枝丁香的金额比较，其结果是(A)A．前者贵 B．后者贵C．一样 D．不能确定解析：设郁金香为x元/枝，丁香为y元/枝，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋5y<22，,6x＋3y>24，))∴由不等式的性质，得x>3，y<2，∴2x>6,3y<6，故前者贵．3．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为1_760解析：设池底的长为xm，因为容积为8m3，深为2m，所以池底的宽为eq\f(4,x)m，则水池的总造价为y＝120x·eq\f(4,x)＋80eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x×2＋2×\f(4,x)×2))＝480＋320eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co