安徽省阜阳市2023-2024学年高一上学期期末联考数学试卷（含答案解析）

2023～2024学年第一学期期末联考高一数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷．草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版必修第一册.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念和运算求解出结果.【详解】由，，得．故选：C．2.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式将转化为锐角，然后再计算出结果.【详解】．故选：A．3.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根据新函数的定义，代入求解即可.【详解】．故选：D．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用倍角公式结合齐次式问题分析求解.【详解】由题意可得：．故选：D．5.已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质以及作差法结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，，若，则，可得，则，所以成立，即甲是乙的充分条件；若，可知，则，即，可得，即，即甲是乙的必要条件．综上可知：甲是乙的充要条件．故选：C．6.如图是杭州第19届亚运会的会徽“潮涌”，将其视为一扇面，若的长为的长为，则扇面的面积为（）A.190 B.192 C.380 D.384【答案】D【解析】【分析】根据题意设，构造方程组，求出，进而求出扇形面积.【详解】如图，设，由题意可知解得，扇面的面积为.故选：D.7.若函数（m，n常数）在上有最大值7，则函数在上（）A.有最小值 B.有最大值5 C.有最大值6 D.有最小值【答案】A【解析】【分析】先分析函数的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出在上的最小值，由此可知结果.【详解】设，因为，所以恒成立，所以的定义域为且关于原点对称，又，所以是奇函数，因在上有最大值，所以在上有最大值为，所以在上有最小值，所以在上有最小值．故选：A．8.已知，且，则的最小值为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根据将转化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，当且仅当，即，时取得等号．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，，，则函数的一个误差不超过的正实数零点可以为（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用二分法可得出结果.【详解】因为，，，则函数的零点所在的区间为，所以，函数的一个误差不超过的正实数零点可以为或或.故选：BCD.10.已知函数（，，）的部分图象如所示，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由题意，解方程组即可判断AB，由可判断C，由对称中心结合即可判断D.【详解】由图形可知，解得，，A错误，B正确；因为，所以，又，所以，C正确；，由五点作图法可知，，又，所以，D错误．故选：BC．11.已知是定义在上的奇函数，且，若对于任意的且，都有，则（）A.的图象关于点中心对称 B.8为函数的一个周期C.在区间上单调递增 D.在处取得最大值【答案】BCD【解析】【分析】结合函数的单调性，对称性，周期性逐一判断即可.【详解】对于选项A:由，得的图象关于直线对称，又是定义在上的奇函数，所以函数的图象关于原点对称，由对称性可知，函数的图象关于点中心对称，再根据奇偶性可知，函数的图象关于点中心对称，故A错误；对于选项B:由与，得，所以，则8为函数的一个周期，故B正确；对于选项C:因为对于任意的且，都有，所以在上单调递减，又函数的图象关于点中心对称，则在上单调递减，因为的图象关于直线对称，则在区间上单调递增，故C正确；对于选项D:由上可知，在处取得最大值，由周期性可知，，则在处取得最大值，故D正确．故选：BCD．12.已知正实数x，y，z满足，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】首先先把用对数式表示出来，对于ACD直接运用对数的运算公式计算即可，对于B借助选项A的结论以及基本不等式即可，【详解】设，则，，，且，由，A正确；由A可知，，所以，由不等式得，即，所以，即，当且仅当，即，时取得等号，又时，由可得，与，矛盾，所以，B正确；，所以，，所以，所以，C正确，D错误．故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围，则定义域可知.详解】由题意可知，解得且，故函数的定义域为．故答案为：.14.已知命题p：，，请写出一个满足“p为假命题”的整数m的值：______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据存在性命题的真假以及一元二次不等式恒成立得出结果.【详解】由命题p：，为假命题，则恒成立，得，解得，所以整数m的值可为，0，1（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）.15.已知函数，若存在且，使得，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】作出的图象，由二次函数对称性可知的值，然后根据对数运算可知的范围，由此可求的取值范围.【详解】作出函数的图象，如图所示，由图象可知，且，所以，则，所以，故的取值范围为．故答案为：．16.函数在区间上的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】由三角恒等变换得，通过换元法即可得解.【详解】，由，得，所以，令，则在上单调递减，所以时，y取最小值1，故的最小值为1．故答案为：1.【点睛】关键点睛：关键是由三角恒等变换化简函数表达式，结合换元法即可顺利得解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）当时，求；（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）求出集合利用补集，交集运算计算即可；（2）由集合是集合的真子集，建立不等式组，求解即可.【小问1详解】由．当时，，则或，所以．【小问2详解】若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，由（1）问可知：，所以且等号不同时成立，解得，故实数m的取值范围为．18.已知.（1）化简；（2）若均为锐角，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式和三角函数的周期性化简即可.（2）把所求角用已知角表示（整体思想），即，之所以用余弦是因为用正弦无法判断是第几象限角.【小问1详解】原式【小问2详解】由（1）得，所以，因为均为锐角，所以，又，所以，由，得，所以，又为锐角，故.19.已知幂函数的图象过点．（1）求实数m的值；（2）设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据幂函数定义可求的值，然后分别检验的取值，由此确定出结果；（2）先表示出的解析式，然后通过“取值、作差、变形、判号、下结论”的过程完成证明.【小问1详解】由幂函数的定义可知，解得，当时，，又的图象不过点，显然不满足题意；当时，，将点代入得，综上所述，．【小问2详解】由（1）可知，，则，任取，且，则，因为，所以，，则，，所以，则，所以，则，即，故在上单调递增．20.某地区打造特色干果产业，助力乡村振兴．该地区某一干果加工厂，打算对干果精加工包装后通过直播平台销售干果，每月需要投入固定成本5万元，月加工包装x万斤需要流动成本万元．当月加工包装量不超过10万斤时，；当月加工包装量超过10万斤时，．通过市场分析，加工包装后的干果每斤售价为12元，当月加工包装的干果能全部售完．（1）求月利润关于月加工包装量x的解析式；（利润＝销售收入－流动成本－固定成本）（2）月加工包装量为多少万斤时，该广获得的月利润最大？最大月利润是多少？（参考数据：）【答案】（1）（2）月加工包装量为15万斤时，该厂获得最大月利润为69万元【解析】【分析】（1）依题意，由年利润＝销售收入－流动成本－固定成本，直接写出解析式，化简即可；（2）由（1）中求得的解析式，分别利用函数的单调性和基本不等式，求得两个式子的最大值，然后作比较，再取较大的值即可.【小问1详解】当时，，当时，．所以．【小问2详解】当时，和在上均单调递增，所以在上单调递增，此时，；当时，，当且仅当，即时，取得等号．因为，所以月加工包装量为15万斤时，该厂获得最大月利润为69万元．21.已知函数（，）在区间上单调，且．（1）求函数的图象的一个对称中心；（2）若，求的解析式．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据条件确定出一个对称中心的横坐标为，由此可求结果；（2）根据单调性先求解出的范围，从而可确定出的可取值；再根据（1）中的对称中心可求满足的关系式，分析关系式结合的可取值可确定出的值，从而可知，则的解析式可求.【小问1详解】由题意可知，因为在区间上单调，所以当时，，则函数的图象的一个对称中心为．【小问2详解】由题意可知，的最小正周期，所以，因为，所以或，由（1）可知，，，因为，所以，所以，或，，若，，则，，即，，，易知，不存在，，使得或；若，，则，，即，，，易知，当时，，此时，，由，得，此时满足条件，所以．综上可知，．22.已知函数，且.（1）解不等式；（2）设不等式的解集为集合，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求解出的定义域，然后根据求解出的值，结合对数函数的单调性求解出不等式的解集；（2）通过换元法令将变形为函数，然后将问题转化为“为时的值域的子集”，最后通过分类讨论求解出的取值范围.小问1详解】由条件可知，，解得，故函数的定义域为，由，可知，得到