四川省广安市2024届高三一模数学试题（理）（解析版）

PAGEPAGE1四川省广安市2024届高三一模数学试题（理）一､选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，则.故选：B.2.复数，则（）A.1 B. C.2 D.4〖答案〗C〖解析〗，则，故选：C.3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为2023，则输出的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗第1次循环：；第2次循环：；第3次循环：；由以上可知，第次循环：；当时，一直循环，所以由，且，解得；因此，第506次循环：，即，则，输出.故选：D.4.甲、乙两个口袋中均装有1个黑球和2个白球，现分别从甲、乙两口袋中随机取一个球交换放入另一口袋，则甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知：若甲口袋的三个球中恰有两个白球，则从甲袋中取出的球为黑球，乙袋中取出的球为黑球，或从甲袋中取出的球为白球，乙袋中取出的球为白球，所以甲口袋的三个球中恰有两个白球的概率为.故选：B.5.已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得，解得，所以.故选：C.6.如图，正方形的边长为4，E为的中点，为边上一点，若，则（）A. B. C. D.5〖答案〗D〖解析〗如图，建立平面直角坐标系，设，则，可得，因为，即，解得，即，所以.故选：D.7.“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则当，可得，为最大值，所以函数的图象关于直线对称，即充分性成立；若函数的图象关于直线对称，则，解得，不一定成立，即必要性不成立；综上所述：“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.故选：A.8.已知为双曲线的左、右焦点，点在上，若，的面积为，则的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，又因为点在上，所以，即，所以，在中，由正弦定理得，所以，又，所以，故，则，所以，则，所以，所以，所以的方程为.故选：B.9.甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（）A.420 B.460 C.480 D.520〖答案〗C〖解析〗求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法，4个学校所选研学基地都不相同有种方法，所以不相同的选择种数有（种）.故选：C10.若点是函数图象上任意一点，直线为点处的切线，则直线倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗函数中，，即，设点，求导得，由，得，即，因此函数的图象在点处的切线斜率，显然直线的倾斜角为钝角，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：C11.如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），点是线段的中点，设与平面所成角为，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，不妨设，则，故，，设平面的法向量为，则，可取，则，所以，当时，，当时，，当，即时，，综上所述，的最小值是.故选：A.12.已知为坐标原点，是椭圆的左、右焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴，直线与轴交于点，直线与交于点，直线与轴交于点．若，则的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗不妨令点在第一象限，设，因为，在中，则，即，所以，在中，则，即，所以，在中，则，所以，所以，因为，所以，所以，即的离心率为.故选：B.二､填空题13.已知实数满足，则的最大值为________．〖答案〗11〖解析〗由约束条件，画出可行域，如图：令，化为斜截式方程得，由图可知，当直线过点时，直线在轴上的截距最大.由得，即.所以点代入目标函数可得最大值，即最大值为.故〖答案〗为：11.14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：________．①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗例如，可知其定义域为，则，即为偶函数；显然的最大值为2；且的最小正周期为；所以符合题意.故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）.15.在正四棱台内有一个球与该四棱台每个面都相切（称为该四棱台的内切球），若，则该四棱台的外接球（四棱台的顶点都在球面上）与内切球的半径之比为________．〖答案〗〖解析〗根据题意，该正棱台的轴截面，如图：由题意，由知，由圆的切线长性质可知，所以，所以，所以该四棱台的内切球的半径为，下面画出正四棱台，连接,，交于点,连接,，交于点，如图，由可得,，，设外接球的半径为，，则，由得，解得，于是，则.所以.故〖答案〗为：.16.若点为的重心，，则________．〖答案〗〖解析〗设点为边上的中点，因为点为的重心，所以，则，所以，所以，因为，所以，即，因为不共线且，所以，所以，由正弦定理可得，不妨设，则.故〖答案〗为：.三､解答题（一）必考题17.某工厂注重生产工艺创新，设计并试运行了甲、乙两条生产线．现对这两条生产线生产的产品进行评估，在这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了300件进行测评，并将测评结果（“优”或“良”）制成如下所示列联表：良优合计甲生产线4080120乙生产线80100180合计120180300（1）通过计算判断，是否有的把握认为产品质量与生产线有关系？（2）现对产品进行进一步分析，在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取了6件产品．若在这6件产品中随机抽取3件，求这3件产品中产自于甲生产线的件数的分布列和数学期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中．解：（1），所以有的把握认为产品质量与生产线有关系.（2）在测评结果为“良”的产品中按生产线用分层抽样的方法抽取6件产品，则应在甲生产线抽取件产品，在乙生产线抽取件产品，由题意可知：，则：，可得的分布列为012所以的数学期望.18.已知数列与正项等比数列满足，且________．（1）求与的通项公式；（2）设，求数列的前项和．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）设等比数列的公比为，若选①：因为，则，解得，所以；若选②：因为，则，解得，所以.（2）由（1）可得：，所以.19.已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点．（1）求；（2）在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，，由消去x并整理得，显然，于是，所以.（2）由（1）知，假定存在不同于点的定点，使得恒成立，由抛物线对称性知，点在x轴上，设，则直线的斜率互为相反数，即，即，整理得，即，亦即，而不恒为0，则，所以存在不同于点的定点，使得恒成立，点的坐标为.20.如图，在三棱柱中，直线平面，平面平面．（1）求证：；（2）若，在棱上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：在三棱柱中，由平面，平面，得，在平面内过作于，由平面平面，平面平面，得平面，而平面，则有，显然平面，因此平面，又平面，所以（2）解：过点作，由，得，由（1）知平面，平面，则，即直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，由，得，，假定在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，令，则，，设平面的一个法向量，则，令，得，显然平面的一个法向量，依题意，，解得，即，所以在棱上存在一点，使二面角的余弦值为，.21.已知函数（其中为实数）．（1）若，证明：；（2）探究在上的极值点个数．（1）证明：若，，则，令，则，因，所以，所以，所以函数在上单调递减，即函数在上单调递减，又，故存在，使得，则当时，，即，当时，，即，所以函数上单调递增，在上单调递减，又，所以；（2）解：，在上的极值点个数，即为函数在上零点的个数（零点两边异号），因为，所以不是函数的零点，当时，令，则，令，因为，所以函数为偶函数，，令，则，所以函数在上单调递减，所以，即，所以函数在上单调递减，又，当时，，，如图，作出函数的大致图象，由图可知，当，即时，函数无零点，所以函数在上没有极值点，当，即时，函数有个不同的零点，且零点两边异号，所以函数在上有个极值点，综上所述，当时，函数在上没有极值点；当时，函数在上有个极值点.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线（为参数，），曲线（t为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求的极坐标方程；（2）若曲线与分别交于两点，求面积的最大值．解：（1）因为曲线（其中），且，所以的极坐标方程为，即.（2）由题意可知：曲线（为参数，）表示过坐标原点，倾斜角为的直线，所以曲线的极坐标方程为；曲线（t为参数，），即，表示过坐标原点，倾斜角为的直线，所以曲线