上海市青浦区2024届高三上学期期终学业质量调研数学试题（解析版）

PAGEPAGE1上海市青浦区2024届高三上学期期终学业质量调研数学试题一、填空题1.已知集合，，则_______．〖答案〗〖解析〗由，，得，故〖答案〗为：.2.若复数满足，则________．〖答案〗〖解析〗，，.故〖答案〗为：.3.已知满足，则______．（结果用含有的式子表示）．〖答案〗〖解析〗有诱导公式可知，故〖答案〗为：.4.2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后，园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是___．〖答案〗〖解析〗设事件甲拿到橙色菊花，根据题意有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，甲、乙、丙三人拿到橙色菊花概率相等，都为，所以，则甲没有拿到橙色菊花的概率.故〖答案〗为：5.的二项展开式中项的系数为___________.〖答案〗〖解析〗由题意知的展开式的通项为，故展开式中项的系数为，故〖答案〗为；6.已知球的表面积为4，则该球的体积为________．〖答案〗〖解析〗设球半径为，则，解得，所以.7.某家大型超市统计了八次节假日的客流量（单位：百人）分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第百分位数为_______．〖答案〗〖解析〗将这8个数据按从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，因为，所以第75百分位数为.故〖答案〗为：39.8.若函数是奇函数，则该函数的所有零点是________．〖答案〗；〖解析〗因为函数是奇函数，所以，即，则，得，则，其中，所以该函数的所有零点是.故〖答案〗为：.9.已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为______．〖答案〗〖解析〗为在上的投影向量，故，，故.故〖答案〗为：.10.已知函数的值域为，则实数的取值范围为____________．〖答案〗〖解析〗当时，，此时，当且时，，此时，且，所以不满足；当且时，，由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以，此时，若要满足的值域为，只需要，解得；当且时，因为均在上单调递增，所以在上单调递增，且时，，时，，所以此时，此时显然能满足的值域为；综上可知，取值范围是，故〖答案〗为：.11.已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为____________．〖答案〗或〖解析〗令，则，当时，，，由，得，化简整理得，，解得或；当时，，由，得，化简整理得，解得，这与矛盾，不合题意；综上，符合题意的正整数或.故〖答案〗为：2或3.12.已知三个互不相同的实数、、满足，，则的取值范围为____________．〖答案〗〖解析〗由题，，得，得，所以，则，又，所以由韦达定理得a和b为关于x的方程的两不等根，所以，得，再由，所以，构造函数，则，得或，所以在，上，单调递增，在上，单调递减，，，，所以在上范围为，所以的取值范围为.故〖答案〗为：二、选择题13.已知，，则“”是“”的（）.A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件〖答案〗C〖解析〗因为函数在上单调递增，所以，即“”是“”的充要条件.故选：C.14.若函数在处的导数等于，则的值为（）.A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得，故选：C.15.已知直线m，n，平面，，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（）①若，，且，则②若，，且，则③若，，且，则④若，，且，则A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗对于①，由，且，得或，又，则，①正确；对于②，若，，且，则与平行或相交，②错误；对于③，若，，且，则与平行、垂直或斜交，③错误；对于④，由，得存在过直线的平面，使得，则，而，则，又，则，又，因此，④错误，所以正确的命题的个数是1.故选：A16.定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线；存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（）A.和均为真命题 B.和均为假命题C.为真命题，为假命题 D.为假命题，为真命题〖答案〗A〖解析〗记，易得，因此曲线关于轴，轴成轴对称，关于原点成中心对称，从几何上讲，曲线是到两定点和的距离乘积为的点的轨迹，由可得，因此它在轴上方和下方分别是两个函数的图象，这两个函数图象在轴上有公共点（方程的解相同），由得，时，或，所以曲线与轴无公共点，曲线是在轴两侧的两个曲线构成，是双轨道曲线，当时，，结合对称性知，曲线是一个封闭曲线，是单轨道曲线，（实际上上述过程中只要对取一个特定值讨论即可）命题均正确，故选：A．三、解答题17.已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．（1）求证：平面；（2）若直线与所成的角大小为，求的长．（1）证明：平面，平面，，又底面为正方形，则且，平面，平面．（2）解：平面，，为锐角，又，为直线与所成的角，，在中，，，在中，，，于是．18.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求的周长的最大值．解：（1）由，可得，所以，又，所以（2）由（1）得，所以，则由正弦定理可得，即，，所以周长，又在中，，则，又在中，，所以，所以当时，周长取最大值为.19.上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设：1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物；2.所有人员排成单列行进撤离；3.队列中人员的间隔是均匀的；4.队列匀速地撤离建筑物．（1）上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；（2）如图，设第一间教室（图中右）人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型．解：（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）：假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况；假设2是为了方便模型的建立，与假设1相呼应；假设3是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法；假设4是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法．（2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为，先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间；第二间教室最后一个人达到出口所用时间为．在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考）情况一：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为；情况二：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为，.20.已知椭圆的离心率是，长轴长，椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，，是椭圆上三个不同的点，是椭圆的右焦点，若原点是的重心，求的值；（3）已知，椭圆四个动点，，，满足，，求直线的方程．解：（1）由题意得，，，则，，所以，，所以椭圆的标准方程为（2）设，，，则，即，同理，又是的重心，所以所以，；（3）设，，，，，因为，所以，即又，都在椭圆上，所以，，即，于是，即，又，同理得所以，直线的方程为，即.21.已知有穷等差数列的公差d大于零．（1）证明：不是等比数列；（2）是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；（3）若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值．（1）证明：，故不是等比数列.（2）解：在处的切线方程为，令得，因此，欲使满足条件，只需使，令，则，满足条件，故存在指数函数满足条件．（3）解：取，则成等比数列，故满足条件．考虑，首先，不可能所有项均为正数或均为负数，否则