2020-2021学年高二数学新题速递17 空间向量与立体几何（单选题）11月理解析版

专题17空间向量与立体几何（单选题）

1.已知空间向量£=（3,1,0）,力=（%—3,1）,且打人则尸（）

A.-3B.-1

C.1D.2

【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】C

【解析】因为£，石，所以£%=0,又因为空间向量2=（3,1,0）,i=（x,-3,l）.

所以3x+lx（-3）+0xl=0,解得x=l,故选C

2.已知向量。=（3,—2,1）,否=（一2,4,0）,则4£+2坂等于（）

A.（16,0,4）B.（8,-16,4）

C.（8,16,4）D.（8,0,4）

【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】D

【解析】因为4）=（12,—8,4）,X=（T,8,0）,所以4%+%=（8,0,4）,故选D.

3.点P（l,1,1）关于x轴对称的点的坐标为（）

A.（1,—1,—1）B.（―1,—1,—1）

C.（―1,1,1）D.（—1,-1,1）

【试题来源】广东省东莞市光明中学2020-2021学年高二上学期期初考试

【答案】A

【解析】根据关Tx轴对称，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为相反数，可得点P。,1,1）关

于x轴对称的点的坐标为故选A.

4.已知£=（-3,2,5）,1=（1,加,3）,若。J,则常数加=（）

A.-6B.6

C.-9D.9

【试题来源】山东省济宁市鱼台县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）

【答案】A

【解析】由〃得色石=0,又2=（—3,2,5）,1=（1,加,3）,

a*b=-3X1+2X/M+5X3=2W+12=0>解得，〃=-6，故选A.

5.若直线/的方向向量。=(1,0/)，平面尸的法向量3=则()

A.lu/3B.IV/3

C.IH/3D./u尸或〃//7

【试题来源】蓉城名校联盟2019-2020学年度高二下学期期中联考(理)

【答案】D

【解析】直线/的方向向量2=(1,0,1),平面£的法向量3=(1,0,—1)

由73=0，则/u4或〃/£,故选D.

6.在空间直角坐标系中，点A(2,-1,3)关于。孙平面的对称点为8,则砺•丽=()

A.-4B.-10

C.4D.10

【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】A

【解析】由题意，关于平面。到对称的点横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标变为它的相反

数，从而有点A(2,—1,3)关于。孙对称的点3的坐标为(2,-1,-3).

丽•丽=(2,-1,3>(2,-1,-3)=4+l—9=T.故选A.

7.点尸(3,4,-5)关于xOz平面对称的点的坐标是()

A.(3,4,5)B.(3,-4,-5)

C.(-3,4,-5)D.(-3,-4,5)

【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考

【答案】B

【分析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.

［解析】因为点(x,%z)关于xOz平面对称的点的坐标是(x,-y,z),

所以点产(3,4,-5)关于xOz平面对称的点的坐标是(3,Y,-5),故选B.

【名师点睛】本题考查求点关于坐标平面对称的点的坐标，是基础题.

8.若直线/的方向向量为汗=(I,0,2),平面a的法向量为〃=(—2,1,1),则()

A.l//aB.IA.a

C./ua或///aD./与a斜交

【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】C

【解析】因为a=(1,0,2)，n=(—2,1,1),

所以73=lx(-2)+0xl+2xl=0,即/ua或〃/a.故选C.

9.在平行六面体ABCD-AiBiCQi中，化简油+45+砥丁()

A.AQB.C\

C.西D.国

【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】A

【分析】结合图形，根据向量运算的平行四边形法则或三角形法则求解.

［解析］在平行六面体ABCD-4与&。，连接AC,如图，

则通+而+丽=(而+而)+*+^"=故选A.

【名师点睛】本题考查空间向量的线性运算，解题的关键是结合图形并根据向量加法的平行

四边形或三角形法则求解，属于基础题.

10.已知向量M=(2,—3,1),B=(2,0,3),c=(0,0,2),则。-(5+乙)=()

A.6B.7

C.9D.13

【试题来源】福建省福清西山学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试

【答案】C

【解析】由4=(2,—3,1),5=(2,0,3),c=(0,0,2),+c=(2,0,5),

/.a-^+cj=2x2+(-3)x0+lx5=9,故选C.

11.已知四面体ABC。的所有棱长都是2,点E是的中点，则丽.屋=()

A.1B.-1

C.y/3D.—\/3

【试题来源】北京教师进修学校2020-2021学年高二十月数学月考试题

【答案】A

【解析】如图，可知屋=m+而，

..丽宜=丽•(与+荏)=丽•场+丽荏=2x2xcos600+2xlxcosl200=l.

故选A.

12.己知A(2,2,0),3(0,2,2),C(2,0,2),则A,B,C满足()

A.三点共线B.构成直角三角形

C.构成钝角三角形D.构成等边三角形

【试题来源】北京教师进修学校2020-2021学年高二十月数学月考试题

【答案】D

［解析］因为|AB|=J(2-0)2+(2_2>+(0—2)2=272，

|BC\=J(0-2)2+(2-0)2+(2-2)2=272，

IAC|=J(2—2)2+(2—0)2+(0—2)2=2V2，

所以|AB|=|BC|=|AC|,所以AABC为等边三角形.故选D.

13.己知平面a的一个法向量为3=(1,—1,0),则)'轴与平面a所成的角的大小为()

【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测(9月月考)

【答案】B

u

【解析】易知y轴的方向向量为m=（（）」,（）），

(1,-1,0)-(0,1,0)V2IT

解得sina=cos(〃,加)ci——,故选B.

24

nkJ35,》二（-3,/1,一£^满足〃〃〃，则4等于（

14.已知Q=11,_Q,Q)

29

A.B.一

32

9

C.D

2-4

【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】B

［解析］因为Q=,b=f—3,2,——

,,ii广-…八3c5151八9

因为xIQ〃Z?,所以a=仍，即1=—3兀一万="q=——t,得/=A=~.故选B.

15.已知向量。=(3,6,7),5=(4,6,〃)分别是直线4,4的方向向量，若〃〃2,I()

A.771=8,«=28B,m=4,m=28

「。28428

C.m=Q,n=—D.m=4,n=—

【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】C

【解析】因为“〃2,且白=（3,6,7）,5=（4,加,〃）分别是直线人4的方向向量，

所以列/5,所以3=9=2,所以相=&〃="，故选c.

4mn3

16.点户与尸关于平画xOy对称，点P”与产关于Z轴对称，则点尸'与尸关于()对

称

A.x轴B.平面yOz

C.原点。D.不是以上答案

【试题来源】福建泉州科技中学2020-2021学年高二年第一学期第一次月考

【答案】C

【解析】设尸(1,1,1),则1),••・尸•(一1,一1,一1),•.・尸’与P关于原点对称，故选C.

17.已知]=3，+2了-K]+21(其中7,工员是两两垂直的单位向量)，则54与3b的

数量积等于()

A.-15B.-5

C.-3D.-1

【试题来源】福建泉州科技中学2020-2021学年高二年第一学期第一次月考

【答案】A

【解析】V«=37+2；-^=(3,2,-1),=7-7+2^=(1,-1,2)

.­.55=(15,10,-5),3日=(3,-3,6),

•••5a•3^=(15,10,-5)•(3,-3,6)=-15,故选A.

18.设,向量a=^=(1,^,1),c=(2,-2,2),且£1.2,bUc<则,+q=

A.25/2B.3

C.D.4

【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】C

【解析】Q：J，.•.72=2x—2+2=0,得％=0，

又•:引3则:=义=:，得,=一1，；.a=(O，l，l),B=(l，_l，l)，

2—22

.-.a+^=(o,i,i)+(i,-i,i)=(i,o,2),.^.卜+H=^/iT^=逐.故选c.

19.在一平面直角坐标系中，已知4(—1,6),8(2,-6),现沿X轴将坐标平面折成60。的二

面角，则折叠后A,5两点间的距离为()

A.2出B.而

c.VnD.375

【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】D

【解析】平面直角坐标系中已知4(一1,6),5(2,-6),沿x轴将坐标平面折成60。的二面角

后，作ACLx轴，交x轴于C点，作轴，交x轴于。点,

贝.恁卜6,|丽卜3,|丽卜6,衣,而，丽,丽，/，丽的夹角为120°

所以荏=*+函+丽，

*2*2*2,2------...——*■c。cI

AB=AC+CD+DB+2AC-CD+2CD-DB+2AC-DB=62+32+62-2x6x6x-=45

2

.•.荏=3石，即折叠后A，5两点间的距离为3百.故选D.

20.已知向量£=(1,2,2)石=(-2,1,1),则向量B在向量々上的投影向量为()

I9，9'9)(99”

C-D.)

【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】B

【分析】首先求出向量B在向量£上的投影，从而求出投影向量，

【解析】因为。=(1,2,2)石=(—2,1,1),所以=—2x1+2x1+2x1=2，

a*b22

所以向量I在向量1上的投影为R=&2+2T7=5

r\

设向量办在向量£上的投影向量为百，则正=苏(/1>0)且同=§,

所以»=(4242/1),所以;P+4储+4分=(|),解得4

一(2441

所以m=故选B.

21.在正方体ABC。-44GD中，棱AB，AA的中点分别为E，F，则直线EF与平

面明。短所成角的正弦值为()

A而R2后

65

•---D•--

65

【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】C

【解析】以。为原点，为x轴，OC为)，轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABC。—AgG2的棱长为2,

则E(2,1,0),F(1,0,2),EF=(-1,-1,2),

因为y轴与垂直，则平面的4。的一个法向量3=(0,1,0),

I而臼=1

设直线E尸与平面AAQQ所成角为0,则sin(9=同季广笈=%"

所以直线E尸与平面A4QQ所成角的正弦值为也.故选C.

6

历

22.若向量。=(x,—4,-5),5=(1,—2,2),且［与3的夹角的余弦值为—注，则实数x的

6

值为()

A.-3B.11

C.3D.一3或11

【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】A

_「ab

【分析】根据公式cos<a/>=j^w，计算结果.

_丁abx+8-10V2

【解析】根据公式85<。">=丽=了可

+16+25X^12+(-2)2+226'

「2=_也,fl.x<2.解得x=ll(舍)或X=一3.故选A

6+412

【名师点睛】本题考查根据空间向量夹角公式求参数，重点考查计算能力，属于基础题型,

本题的易错点是容易忽略在解方程是注意x<2这个条件.

23.已知讶=（2,-1,4）,5=（-1,1,一2）忑=（7,5,m），若「瓦"共面,则实数〃?的值为（）

A,.

B.14

7

62

C.12D.―

7

【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】B

［解析】若2,不共面，则c=xa+yb，

即(7,5,/〃)=x(2,-l,4)+y(-l,l,—2)=(2x—y,T+y,4x—2y).

2x-y-7

所以《-x+y=5,解得x=12,y=17,m=14.故选B

4x-2y=in

24.如图所示，在三棱锥A—中，点尸在棱上，且A尸=3FD,£为中点,

则丽等于（）

A.--AC--AB+-ADB.-AC+-AB--AD

224224

C.--AC+-AB--ADD.-AC--AB+-AD

223223

【试题来源】山东省新高考测评联盟2020-2021学年第一学期高二10月联考

【答案】B

【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.

【解析】EF^EB+BA+AF=-（AB-AC]-AB+-AD=一一AC一一AB+-AD,

2、74224

所以，FE=-EF=-AC+-AB--Ai5,故选B.

224

【名师点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题.

25.如果三点A（l,5,-2）,3（2,4,1）,C（a,3,0+2）在同一条直线上，则0

A.a=3,b=2B.a=6,b=-l

C.a=3,b=—3D.a——2,b=\

【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末模拟

【答案】A

【解析】三点共线.•.福，祝为共线向量

又通=(1,T,3),AC=(a-l,-2,b+4\

a—1—2+4

-----=—=------，解得a=3,/?=2.本题正确选项：A

1-13

一1一

26.在四面体。45C中，E为Q4中点，CF=qCB，若。4=a，OB=b>OC=c>

则丽=()

112114

A.—a——rb——cB.——a——br+—c

233233

1_21_1_12_

C.——a+-br+-cD.——a+—rb+—c

233233

【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】D

【分析】运用空间向量基本定理及向量的线性运算可解答此问题.

【解析】根据题意得，OE=-OA,CF=-CB,

23

EF=OF-OE=[OC+CF^-^OA.=^OC+LCB\.LOA

J\0C+U^-0C\\--0AJ\0C+-bB--0c\--0A

L3、42L33J2

―.1一1—,1―,1­.1—.2—•

=OC+—OB——OC——OA=——OA+-OB+-OC

332233t

•/0A=a，OB=b，OC=c»

—•1—.1—.2—­1-1-2-

:.EF=——OA-^-OB+-OC=——a+-b+-c,，故选D.

233233

27已知点M（2〃），7V（l-M-r,r）（re/?）,贝肱旷的最小值为（）

116

A.—B.上

55

C3加D755

-I--

【试题来源】安徽省铜陵市第一中学2019-2020学年高二上学期12月月考（文）

【答案】C

【解析】因为=J«+l『+（2f—1『+。2=’5产—2t+2=/+|，

所以当时有最小值祗=孚.故选C.

【名师点睛】本题考查空间中的点到点的距离公式的运用，难度较易.空间中有点

-+zz

火斗乂泊》贝々,必?）,则|4却=+（yiy2）（i-2）,

28.设立=（一2,2,r）,炉=（6,—4,4）分别是平面。，尸的法向量.若a，尸，贝V等于（）

A.3B.4

C.5D.6

【试题来源】福建省福清西山学校高中部2019-2020学年高二上学期期中考试

【答案】C

【解析】因为力，则箱炉=-2x6+2x（-4）+4r=0,所以”5.故选C

29.如图，四棱锥P—OABC的底面是矩形，P0,底面O48C,设丽=£,灰=5,

OP^c，E是尸。的中点，则()

—■-1-1-■1-1-1―

C.BE——aH—b-\—cD.BE=——a——b——c

22222

【试题来源】容城名校联盟2019-2020学年度高二下学期期中联考(理)

【答案】B

【解析】由题可得

而诙-砺中历+阿-(丽场)=-4浑+萍，—

故选B.

30.已知点A(1,1,-3),8(3,1,-1),则线段AB的中点M关于平面yOz对称的点的

坐标为()

A.(-2,I,-2)B.(2,1,-2)

C.(2,-1,-2)D.(2,1,2)

【试题来源】山西省晋中市平遥古城高级中学2019-2020学年高一上学期期末

【答案】A

【分析】根据中点坐标求出M坐标，根据在空间直角坐标系中，点P(a,b,,c)关于平

面yOz对称的点的坐标为(-a,b,c)求解.

【解析】因为点A(1.1,-3),B(3,1,-1),所以线段A8的中点2),

所以M关于平面yOz对称的点的坐标为(-2,1,-2),故选A.

31.在四面体0—ABC1中，点P为棱6c的中点.设改=a，OB=b,OC=c'那么

向量而用基底｛万，瓦w可表示为（）

A.——。+—。+—cB.-a+—b+—c

22222

一1/1一1一111一

C.Q,H—bH—cD.—ClH—bH—C

22222

【试题来源】北京教师进修学校2020-2021学年高二十月数学月考试题

【答案】B

【解析】•••点P为棱BC的中点，.•.丽=；（丽+玩），

AP=OP—OA=-^^OB+OC^—OA,又OA=a,OB=b,OC=c>

:.AP=-（0B+0C]-O\=-a+-b+-c,故选B.

2V'22

32.已知空间中两条不同的直线〃z，〃，其方向向量分别为:工，则“746凡1工/1:'是"直

线加,〃相交，，的（）

A..充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【试题来源】北京教师进修学校2020-2021学年高二卜月数学月考试题

【答案】B

【解析】由可知，M与石不共线，所以两条不同的直线机〃不平行，可能

相交，也可能异面，所以“74€氏；工4:'不是“直线机"相交”的充分条件；

由两条不同的直线〃4”相交可知，M与5不共线，所以

所以“VXeR]wXW”是“直线”4〃相交”的必要条件，

综上所述：“726火1工"'’是"直线加，〃相交”的必要不充分条件.故选民

33.A,B,。不共线，对空间内任意一点0,若。户月+」。3,则P,4,

488

B,C四点()

A.不共面B.共面

C.不一定共面D.无法判断是否共面

【试题来源】山东省济宁市曲阜市第一中学2020-2021学年高二阶段性检测(9月月考)

【答案】B

【解析】因为O户=:。4+：0月+(03,所以6(丽—函)=(万一所)+(诙一丽)，

___(_一1_1一

SdP=6OA+OB+dC>6AP=PB+PC'即4尸二二尸⑶+275。，

oo

故P,A，B,C四点共面，故选B.

34.已知。=(一2,1,3),^=(-1,2,1),若GJ_(万一肪)，则实数4的值为()

-4

A.2B.----

3

14

C.—D.—2

5

【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高：10月月考

【答案】A

【解析】va=(-2,1,3),^=(-1,2,1),

.4—4=(—2,1,3)—4(—1,2,1)=(—2+2,1—22,3—X),

aL(a-A.by.-.a-(«-/l^)=(-2)x(-2+2)+lx(l-2/l)+3x(3-/l)=0,

解得/l=2.故选A.

35.已知三棱锥A-BCD的各棱长均为1,且E是的中点，则荏.口=()

【试题来源】山东省济宁市鱼台县第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（10月）

【答案】D

【解析】以而，/，而为基底进行线性转化，棱长均为1,

故而•而=而•而=而•而=工，E是BC的中点,

2

故荏=g(而+恁)，CD=AD-AC

故荏.而=g（通+阿•（而_〃）=g（通.而一通./+正通-而之

36.在空间直角坐标系。町z中，已知A(2,0,0)B(2,2,0),C(0,2,0),0(1/,0).若$,S2,S3

分别是三棱锥。一4BC在糜翔的.嚎说:坐标平面上的正投影图形的面积，则（）

A.S、=S?=S3B.S2=S］且S21S3

C.S3=H且S3w52D.S3=S2且S3wS]

【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（理）

【答案】D

【解析】结合其空间立体图形易知，£=gx2x2=2,S2=S3=|X2X>/2=^

所以§2=83且故选D.

37.三棱柱ABC—A4cl的侧棱与底面垂直，44=48=47=1,A6LAC,N是BC

的中点，点P在4片上，且满足个=2隔，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值

时，2的值为()

n275

25

【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】A

【解析】如图，以A8,AC,AA分别为x,)，，z轴，建立空间直角坐标系A-型，

则P(/l,0,1),=平面ABC的一个法向量为为=(0,0,1)

PNn\

1

设直线PN与平面A8C所成的角为8,:案巾,二

二当九=；时，6布6),,心=毡，此时角。最大.故选人

25

【名师点睛】本题考查了向量法求线面角的求法，考查了函数最值的求法，是基础题，解题

时要认真审题，注意向量法的合理运用.

38.四棱锥P—ABC。中，AB=(2,-1,3),AD=(-2,1,0),AP=(3,-1,4),则这个四棱锥

的高为（）

1

AB

55

C.2D.撞

55

【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】A

【分析】求出平面ABCD的法向量n,计算法向量五与衣的夹角得出AP与平面ABCD的

夹角，从而可求出P到平面A8C£）的距离.

五IA6

（nrAD

2x—y+3z=0

.•.<-,令x=l可得y=2,z=0,即云=（1,2,0）,

-2x+y=0

cos<万，/>==方」y，设AP与平面ABCQ所成角为a，则sina=7=」厂_

「是P到平面ABCD的距离为|4户Isina邛，即四棱铢尸—ABCD的高为好.

故选人

39.如图，在正方体ABC。一A8|CQ|中，p,Q,M.N,H,R是各条棱的中点.

①直线AA〃平面MNP；②HR_LCQ；③P,。，“，R四点共面:④4G，平面Aq0.

其中正确的个数为（）

A.1B.2

C.3D.4

【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（八）

【答案】B

【分析】①由面面平行的判定定理可得平面"NP〃平面AOQA，再由面面平行的性质定

理推出A。〃平面MNP,可判断：

②建立空间直角坐标系，得万瓦的。0,可判断：

③取qG的中点E，先证明PQ//SE可得p,。，S,E四点共面，可判断.

④利用向量法发现隔•福。0，砺隔HO,可判断.

【解析】因为M，N分别为4片，GA中点，所以MN〃AA，

又因为MNN平面4〃/平面AOAA，所以平面MN〃平面

同理可得NPH平面A，

又MNcNP=N,所以平面MNP〃平面A。。14，

又AR仁平面MNP,所以〃平面MNP,①正确；

设棱长为2,如图建立平面直角坐标系，

所以。(()，0,2),"(2,0,1),C(0,2,0),0(1,0,0),

用向量法百瓦=(-2,0,1),C0=(1,-2,O),则西•①=一2+0+0W0,②错误；

连接4C，因为“，R分别是A%,CG中点，所以“R//AC，

又因为。，P分别为AO，。。中点，所以QP〃AC,

所以PQ//HR,故p,Q,H,R四点共面，③正确；

4(2,0,0),4(2,2,2),0,(0,0,2),\(2,0,2),q(0,2,2),

所以X瓦=(0,2,2),AZ^=(-2,0,2),=(-2,2,0),必•葩'。0,

所以直线4G不垂直于平面AB1R，④不正确;

所以正确的是①③，故选B.

【名师点睛】本题考查了证明空间中的线面平行与线面垂直的问题，解题时应明确空间中的

线面平行、线面垂直的判定方法是什么，也考查了逻辑思维能力与空间想象能力，属中档题.

40.如图，正方体-的棱长为。，以下结论错误的是()

A.面对角线中与直线4。所成的角为60。的有8条

B.直线4。与垂直

C.直线4。与3。平行

D.三棱锥A-4。。的体积为看苏

【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考

【答案】C

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系.

对于A,£>（0,0,0）,A（^z,0,0）,,

所以=（一〃,0,-々）‘AB】=（0,a,a）»

->一

所以cos（AQ,A%i/£）•明

\p2ci,2'

A,DAB,

由于两异面直线的夹角范围是0，T,所以异面直线4。与所成的角为60°,

同理：正方体的六个面中除了平面ADD^与8CG片的面对角线外,

其他的面对角线都与4。所成的角为6()。，则共有8条，故A正确;

22

对于B,。"。'。'办B（a,a,0），\DBCX=（-a,0,-a）-（-a,0,a）=a-a=0>

所以直线4。与8G垂直，故B正确:

对于c,A(O,O,a),因为&.丽=(一七0,-/).(-4,一七二)=/一/=0'

所以直线4。与8。1垂直，不平行，故c错误；

对于D,三棱锥A-ACO的体积为％_AA0=；xga2.a=/a3,故口正确；

综上可知，只有C不正确.故选C.

41.如图，已知正方体A8C£M|BiG2棱长为8,点〃在棱44上，且44=2,在侧面BCCB

内作边长为2的正方形EFGG,P是侧面BCGBi内一动点，且点尸到平面CCGC距离等

于线段PF的长，则当点P在侧面BCG3运动时，|”P「的最小值是()

A.87B.88

C.89D.90

【试题来源】福建泉州一中2020-2021学年高二上学期第一次月考

【答案】B

【分析】建立空间宜角坐标系，过点〃作垂足为“，连接MP,得出

HP1=HM2+MP2-当MP最小时,HP?最小，利用空间直角坐标系求|HP「的最小值.

【解析】如图，建立空间直角坐标系，过点H作耳，垂足为M，连接

则HW_LPM，所以HP?uHMe+MP2，当MP最小时，小^最小，

过p作PNJ.CG，垂足为N,设P(x,8,z),

则F(2,8,6),M(8,8,6),N(0,8,z),且0«xK8,0Kz«8,

因为PN=PF,所以J(x—2)2+(z—6>=x，化简得4x—4=(z—6尸，

所以A/p2=(x—8)2+(z—6)2=(x—8)2+4x—4=x2-12x+60=(x—6/+24224，

当x=6时，"产取得最小值24,此时〃尸=〃例2+用产=8?+24=88,

所以的最小值为88,故选B.

42.在直三棱柱ABC—A/G中，ZABC=90°,AB=2,BC=CC,=1,则异面直线

A4与BQ所成角的余弦值为（）

VioD

To"f

【试题来源】安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中（理）

【答案】C

【分析】本题首先可以根据题意建立空间直角坐标系，然后根据45=2以及BC=CG=1

AB.xBC,

得出通'=（-2,0,1）、Bq=（0,1,1）,最后根据cosO国同即可得出结果.

【解析】因为三棱柱ABC—4与G是宜三棱柱，且NA3C=90°，

所以可以以3为原点、A5为x轴、5c为V轴、B耳为z轴构建空间直角坐标系，如图:

因为AB=2，5C=CG=1，所以4（2,0,0），B,（0,0,1）,B（0,0,0）,C,（0,1,1）,

故福=（-2,0,1）,国=（0,1,1）,设异面直线人用与3G所成角为。，

A1Vio

则3°;画函"ET五’故选C

【名师点睛】本题考查异面直线所成角的求法，可借助空间向量来求解，能否合理的构建空

间直角坐标系是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.

43.如图所示，在正方体A5CO-AMG4中，点E为线段AB的中点，点尸在线段AO

上移动，异面直线用。与EE所成角最小时，其余弦值为()

A.0

V-•------------

【试题来源】云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷(二)(理)

【答案】C

【分析】以。为原点，D4为x轴，。。为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利

用向量法能求出异面直线4c与£尸的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果.

【解析】以。为原点，D4为％轴，为丁轴，。2为z轴，建立空间直角坐标系，

在正方体ABCO—AAGD中，点E为线段AB的中点，设正方体棱长为2,

则D(0,0,0),E(2,1,0),(2,2,2),C(0,2,0),^C=(-2,0-2),

设厂(m,0,0)(04〃?W2),EF=(,n-2,-l,0),设异面直线BC与炉的夹角为，，

有防配I1—2x(/〃—2)|1

则一|二H品「20.J(阳-2了+1-

异面直线瓦。与所所成角最小时，则cos。最大，即加=0时，

44.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在鳖席A-BCD中，

AB_L平面BCD,BCLCD,且AB=BC=CD,M为A。的中点，则异面直线BM与

CO夹角的余弦值为()

A.也B.立

34

C.@D.巫

34

【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考

【答案】C

【分析】画出四面体A-BCD,建立坐标系，利用向量法求异面直线所成角的余弦值即可.

【解析】四面体A—BCD是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示

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