2020-2021大学《线性代数》期末课程考试试卷B（含答案）

A.4的任意m个列向量必线性无关；B.4的任意•个”阶子式不等于零;

2020-2021《线性代数》期末课程考试试卷B

C.齐次方程组44=0只有零解；D.非齐次方程组/hr=b必有无穷多解.

适用专业：考试H期：5.设%,%,%,应是一组九维向量,其中的，牝，的线性相关，贝”（）

考试时间：120分钟；考试方式：闭卷；总分100分

A.必线性相关，

—.填空题（2分X10=20分.B.Q1,的必线性相关，

C.%,劭必线性无关，D.a「生，的中必有零向量•

jIsinacosai_

cosasina*一

110

就6.矩阵4=101的特征值为（）.

2.设A=则4的逆矩阵4T=..011.

中

部A.1,1,0B.C.1.1,2D.1,-1.2

21—1

3.设D=111,4了为D中Ej的代数余子式，则4九+4*+4弘=.三.计算与证明题

40-11+a234

1111.（8分）计算行列式12ta34

4.矩阵4=022.^ATA=__________.123+a4

003.1234+a

X1-12-1

矩阵4=3102,则4的秩r（A）

型13-44.

6.设心，儿是3阶实对称矩阵4的两个不同的特征值,Q1=（102）5%=（23a）71是

对应于心的特征向量，则a=.

二.选择题（2分X10=20分）.

凝349

与

与1.行列式57一1的元素ay的代数余子式4”是（）.

2.（6分）求解下面矩阵方程中的矩阵X

钞214

A.3B.-3C.5D.-50100\2-1

0110

002G0134

2.设4为3阶方阵，且⑷=1,则|3用=（）.

A.3B.27C.-3D.-27

裱

建3.若4,B为"ri>2）阶方阵.则下列各式正确的是（）.

A.|4+B|=|4|+出|B.（4B）r=ATBTC]AB\=\BA\D/B=BA

4.设矩阵4mxn的秩rG4）=m<m下述结论中正确的是（）.

3.（7分）设4的逆矩阵A一1=（200\

20.求4的伴随矩阵

33/

6.（12分）证明题：

（1）设向量组%,%,…,小线性无关，向量组％,。2,…,4，6线性相关，证明向量6可由

向量组凡线性表示且表示式唯一。

（2）设4=（aQ是3X3实正交矩阵，且a”=1，向量b=（1,0,0）兀证明线性方程组

p1-x3+x4=2

x—x+2X+x=1

4.（15分）求线性方程组《x234的通解，并用对应齐次线性方程组基

Ax=b有唯一解x=b。

2xx-x2+x3+2X4=3

、

3“i—x2+3X4=5

础解系表示通解。

/Ia1\/300）相似，求a,b的值.

5.(12分)已知矩阵4=(ab0)与8=(03

\411/\00

A.4的任意m个列向量必线性无关；B.4的任意•个加阶子式不等于零:

2020-2021《线性代数》期末课程考试试卷B答案

C.齐次方程组Ax=0只有零解；D.非齐次方程组=。必有无穷多解.

适用专业：考试日期：5.设%,出,%,4是一组沱维向量,其中。1，的。2线性相关，贝"A）

考试时间：120分钟；考试方式：闭卷:总分100分

A.的,%,%必线性相关，B.的,生必线性相关,

一・填空题（2分X10=20分.

C.的,由必线性无关，D.〃,外,附中必有零向量.

.Isinacosa

\=_L

cosasina1

[1101

6.矩阵4=101的特征值为（D).

Lo11J

2.设“J2],则4的逆矩阵4T=

料A.1.1,0B.C.1,1,2D.1,-1.2

21-1

3.设。=10.计算与证明题

1,4了为D中的代数余子式，51IM31+432+433=

40-11+a234

1111101.（8分）计算行列式12+a34

4.矩阵4=022，则4r4123+a4

.003.15131234+a

1-12-11+a23410+a234

矩阵4=2，则4的秩r(4)10+a2+a34

3102解：12+a34

13-44.123+a410+a23+a4

1234+a10+a234+a

设八，%是3阶实对称矩阵A的两个不同的特征值,%=（1.0,2）r,a=（23a）1"是

:12341000

,、12+a34=(10+a)J；:Q=(10+a)a

对应于儿，〃的特征向量，则a=-1=(1°+a)l23+a4

1234+a100a

选择题(2分X10=206).

349

行列式57一1的元素a”的代数余子式48是（C).

214

A.3B.-3C.5D.-5

2.设A为3阶方阵，且⑷=1,则|34|=（B).2.（6分）求解下面矩阵方程中的矩阵X

A.3B.27C.—3D.-27

裱3.若为"九N2）阶方阵,则下列各式正确的是（C）.

MA+8|=|4|+\B\B«8)r=ATBTC.\AB\=\BA\D.AB=BA

4.设矩阵Am、”的秩rG4）=m<m下述结论中正确的是（A）.

0?）（o向量组4,/线性表示且表示式唯一。

\001/\1

（2）设4=（aQ是3X3实正交矩阵，且%】=1，向量b=（1,0,0）丁，证明线性方程组

Ax=b有唯一解％=bo

3.（7分）设4的逆矩阵=（200\

20），求4的伴随矩阵4，.

解：（1）由于%,%，…，%，6线性相关，所以存在不全为零的数的,后,…,心,幻+i使

33/

得：fc1a1+k2a24----1-ksas+ks+1P=0o若匕.1=0,与%,。2,…,%线性无关矛盾，

+1#=0，p=—"-%—~^~a26

r所以上于是有：------匕~%，即，向量可由向量组

xx-x3+x4=2

4.（15分）求线性方程组|^I-^+2X3+X4=1的通解，并用对应齐次线性方程组基

2x-x+x+=3

t232X4%,石，…，均线性表不。

、34i—x2+3X4=5

础解系表示通解。

若设B=ktat+k2a2+•••+ksas=c1a1+c2a2+…+csas

a

解：由于,所以，通解为:则有（A1—q）%+（七—c2）2---»■（七—q）%=0，由%,a2,…,%线性无关得：

2

kt=cvk2=c2,-,ks=cs>即表示式唯一。

（2）由于4是正交矩阵，所以4可逆，|川:0,故方程组有唯一解。