广东省湛江市雷州市重点中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题(含答案)

-2024学年度第二学期高二年级开学考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集则（）A．B．C．D．2．设复数且,则实数t等于（）A．B．C．D．3．在棱长为1的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．4．已知直线,若，则实数（）A．或1B．0或1C．1D．5．直线与圆相切，则实数b的值是（）A．或12B．8或C．8或D．8或126．已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（）A．B．C．D．7．在等比数列中，,则数列的前10项和等于（）A．2B．C．10D．58．已知椭圆的左焦点为,右顶点为A，上顶点为B．若，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆的焦距是4，则实数m的值可能为（）A．5B．13C．8D．2110．已知是首项为，公比为q的等比数列，是其前n项和，且,则（）A．B．或2C．D．11．已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（）A．2B．3C．4D．1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知双曲线的离心率为，则___________．13．若圆与圆的公共弦长为,则___________．14．将石子摆成如图的梯形形状，各梯形里石子的个数为5,9,14,20，…，即构成一个数列，根据图形的构成，此数列的第n项即___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知空间向量．（1）计算和;（2）求与夹角的余弦值．16．（本小题满分15分）已知数列是一个等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和的最大值．17．（本小题满分15分）已知抛物线与直线相切．（1）求抛物线C的方程；（2）已知过点且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A,B两点．若，求弦的中点到直线的距离．18．（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，底面．（1）求证：平面．（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离．19．（本小题满分17分）对于无穷数列,“若存在,必有”,则称数列具有性质．（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？（2）对于无穷数列,设,求证：若数列具有性质，则T必为有限集；（3）己知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，使得成等差数列．若存在，请加以证明；若不存在，说明理由．2023-2024学年度第一学期高二年级开学考试数学试卷答案一、单项选择题：1．C．2．D3．C4．D5．A6．A7．D8．B二、多项选择题：9．AB10．ACD11．BC三、填空题：12．13．114．或四、解答题：15．（1）．（2），,与夹角的余弦值为．16．（1）设数列的公差为d，由已知条件知解得,所以．（2）,所以当时，取得最大值4．17．解析：（1）联立，化简得，即，令，因为,解得，故抛物线C的方程为．（2）注意到点即为抛物线C的焦点，设A的坐标为的坐标为,则，故，则弦的中点的横坐标是，故弦的中点到直线的距离是．18．解析：（1）底面平面．．又平面．（2）设,取的中点E,易得三角形是正三角形，．又底面．故可建立如图所示的空间直角坐标系，．设平面的一个法向量为，则即令，得．同理得平面的一个法向量为．，．又可求得平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为．19．（1）因为，,但，所以数列不具有性质,同理可得数列具有性质;（2）因为数列具有性质,所以一定存在一组最小的且,满足,即,由性质的含义可得，所以数列中，从第k项开始的各项呈现周期性规律：为一个周期中的各项，所以数列中最多有个不同的项，所以T最多有个元素，即T为有限集；（3）因为数列具有性质，又具有性质，所以存在,使得,其中p,q分别是满足上述关系式的最小的正整数，由性质的含义可得,