2022年云南省昆明市高考理科数学押题试卷及答案解析

2022年云南省昆明市高考理科数学押题试卷

本试卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座

位号和考生号填写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码

粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合A={1,2,6},B=[2,4},C={\,2,3,4},则(AUB)AC=()

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}

2.(5分)设复数z=l-3i,则2(l-i)=()

A.-2-4zB.4-2ZC.-2+4/D.4+2/

如果:与「共线且方向相反，则机的值为（

3.(5分)设向量a=(m,1)»b=(1,m),)

A.-1B.1C.-2D.2

4.（5分）命题p：V.rGR,7+1>0,命题q：30eR,sin20+cos20=1.5,则下列命题中真命

题是（）

A.p[\qB.fpt\qC.-'pVgD.pALq）

5.（5分）已知函数/（x）的图像如图所示，则/（尤）的解析式可以是（）

A.7'。)=弊B./(%)=?

1

C-D.f(x)=x--

6.（5分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕.为保证冬奥会顺利进行,

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组委会需要提前把各项工作安排好.现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服

务，若甲去两天，乙去三天丙和丁各去一天则不同的安排方法有（）

A.840种B.140种C.420种D.210种

7.（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120。的扇形AO8,C是该小区的一个出

入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD己知某人从。沿0。走到。用了2分钟，

从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径

的长度为（）

Od

A.50^5B.50V7C.50VHD.50719

8.（5分）已知小、〃为两条不同的直线，a、0为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

（）

A.若机_La,则〃〃a

B.若加_La,且a〃0,则"?_L〃

C.若mua,〃ua且则a〃0

D.若直线机、〃与平面a所成角相等，则加〃〃

9.（5分）已知直线/：工+厂1=0将圆C/+），2-2¥-4）叶1=0分为例，N两部分，且M

部分的面积小于N部分的面积.若在圆C内任取一点，则该点落在M部分的概率为（）

111331

A.-B.---C.-D•一—一

442n4427r

10.（5分）已知函数/（x）满足/（1+x）+f（l-x）=0,且/（-X）=f（x）,当

时，f（x）=2r-1,则了（2021）=（）

A.-1B.0C.1D.2

11.（5分）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！

为进步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮

扶活动.该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%.每年年底扣

除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资

金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（）（单位：万元，结果精确

到万元）（参考数据：1.2%2.07,1*2.49）

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A.83B.60C.50D.44

x2y2

12.（5分）已知椭圆=+77=I（。>8>0）的右焦点为尸（c,0）,上顶点为4（0,b）,

标bz

fj2TTT

直线k色上存在一点P满足（FP+FA）•>!0=（）,则椭圆的离心率取值范围为（）

A.[^,>1）B.[-^>1）C.[―^―->1）D.（0,~^\

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知双曲线C；捺-，=1（a>0,b>0）的右焦点到它的一条渐近线的距离为

4,且焦距为10,则该双曲线的渐近线方程为.

14.（5分）己知sina-cosa=&（0<a<ir）,则tana的值是.

15.（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺

品可以看成是一个球被一个棱长为4遮的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正

方体的中心重合），若其中一个载面圆的周长为4m则该球的表面积为.

16.（5分）关于函数/（久）=3sin（2x-§,下列结论正确的有个.

①函数/（x）的图像关于直线犬=岩对称；

②函数/（x）的图像关于点（卑，0）对称；

5TC

③函数/（X）在区间（-各—）内是增函数；

71

④函数fCx）的图像是函数y=3sin2x的图像向右平移I个单位长度得到的.

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考

题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：

共60分。

17.(12分)已知首项为2的数列｛斯｝满足即+i=2n

(1)证明：数列｛翳｝是等差数列.

(2)令bn=an+n,求数列｛b｝的前〃项和

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18.（12分）某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市3名成年男性进行了问卷

调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝100,地以上的”为常喝.已知在所有的

（II）已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且

有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.

参考公式及数据：心（■黑扁方）,ka+出海.

P（片20.150.100.050.0250.0100.0050.001

如）

履2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

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19.（12分）如图，在长方体ABC。-AiBiCiOi中，E、F分别是棱8C、CCi上的点，CF

=AB=2CE,AB：AD：AAi=l：2：4,AB=\.

(I)证明：AnL平面AiED；

(ID求二面角Ai-ED-F的余弦值.

第6页共24页

20.(12分)已知函数/(x)=-ex2-nix+lnx.

(I)当。=6=1,8=0时，f(X)在定义域上单调递增，求机的取值范围；

(II)当。=°=0,b=l时，f(x)存在两个极值点xi，X2，求证：XI+X2>2.

第7页共24页

21.(12分)已知曲线C：y=y,。为直线)，=一±上的动点，过。作C的两条切线，切点

分别为A，B.

(1)证明：直线AB过定点.

(2)若以E(0,|)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的

方程.

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（二）选考题：共10分。考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一

题计分。［选修4-4：坐标系与参数方程］

（%=1+与

22.（10分）在平面直角坐标系X。），中，直线/的参数方程为,一］T'（r为参数），

以原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P=

2cos0+4sin0.

（I）写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（II）直线/与曲线C相交于A,8两点，设点尸（1,0）,^\PA\+\PB\.

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［选修4-5：不等式选讲］

23.已知函数/(x)=|2x+l|-k-II-

(1)解不等式/(x)<2；

(2)若不等式(x)+伏-l|+|2x-3|有解，求实数机的取值范围.

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2022年云南省昆明市高考理科数学押题试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4),C={1,2,3,4},则(AUB)CC=()

A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}

解：•.,集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},

(AUB)AC={1,2,4,6}0{1,2,3,4}={1,2,4).

故选：B.

2.(5分)设复数z=l-3i,则2(l-i)=()

A.-2-4/B.4-2/C.-2+4/D.4+2/

解：；z=l-3i,；.z的共轨复数是2=l+3i,

/.z(l-i)=(l+3i)(1-j)=1-i+3i-3i2=4+2i.

故选：D.

3.(5分)设向量a=(m,1),6=(1,m~),如果a与b共线且方向相反，则m的值为()

A.-1B.1C.-2D.2

解析：因为向量之与3共线且方向相反，

故由共线向量定理可设之=Xb(A<0),

即{：二上解得加=±1,

由于入VO,-1,

故选：A.

22

4.(5分)命题p：VAWR,/+1>0,命题/30GR,sin0+cos0=1.5,则下列命题中真命

题是()

A.p/\qB.fpMqC.~"p\/qD.p/\Lq)

解：命题p：由于对已知VxWR,720,则/+i2i>o,

则命题p：/+1>0,为真命题，为假命题；

命题夕：由于对V9ER,sin20+cos20=l,

则命题q：30GR,si/e+cos2eu1.5为假命题，夕为真命题.

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则pAg、fp'q、为假命题，p\Lq)为真命题.

故选：D.

5.(5分)已知函数/(x)的图像如图所示，则/(x)的解析式可以是()

A.〃乃=弊B.7(x)=Y

C，(x)=良一1D./(x)=X--

解：根据题意，用排除法分析：

对于B,fCx)=",当X>0时，f(x)>0,与图象不符，

对于C,=妥一1,其定义域为3W0},有f(-x)=于Qx),为偶函数，与图象

不符；

对于£),f(x)=x-：，其定义域为{x^WO},当xf+8时，f(x)f+8,与图象不符;

故选：A.

6.(5分)第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕.为保证冬奥会顺利进行,

组委会需要提前把各项工作安排好.现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服

务，若甲去两天，乙去三天丙和丁各去一天则不同的安排方法有()

A.840种B.140种C.420种D.210种

解：由已知，甲的安排方法为行，乙的方法为磨，剩余的两天安排丙丁有掰种方法，

故共有C>废•掰=420.

故选：C.

7.(5分)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出

入口，且小区里有一条平行于AO的小路CZX已知某人从。沿0。走到。用了2分钟，

从。沿着OC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径

的长度为()

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C.50V1TD.50g

解：设该扇形的半径为，•米，连接co.

由题意，得CD=150（米），00=100（米），ZC£）O=60°,

在△C£>0中，CEr+OD1-2CD'OD-cos600=O8

即，1502+1002-2XI50X100x*=r2,

解得r=50夕（米）.

8.（5分）已知m、”为两条不同的直线，a、0为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

（）

A.若m-Ln9则〃〃a

B.若"?_La,〃〃口且（x〃0,则m_L〃

C.若mua,〃ua且相〃0,〃〃仇则a〃0

D.若直线“、〃与平面a所成角相等，则加〃〃

第13页共24页

如图可否定C；

9.(5分)已知直线/：x+y-l=O将圆C：7+y2-2x-4yH=0分为M,N两部分，且M

部分的面积小于N部分的面积.若在圆C内任取一点,则该点落在M部分的概率为()

111331

A.-B.---C.-D.---

442n4427r

解：圆C：-2x-4y+l=0,化为标准方程可得(x-1)2+(y-2)2=4,

所以圆C的圆心C(l,2),半径为厂=2,

直线/：x+y-I=0,

点C到直线/的距离为d=5=鱼，

设直线/与圆的两个交点为A,B,

故力B=2Vr2-d2=2V2,

所以NACB=90°,

1

故SM=,S圆-S&ACB=兀-2，

则该点落在M部分的概率为:"=-=

S圆4714271

故选：B.

10.(5分)已知函数fG)满足f(1+x)-x)=0,且f(-x)=/(x),当1WXW2

时，f(x)=2X-1,贝I]/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

第14页共24页

解:v/(l+x)4/(1-x)=0,

：.f(1-x)=-/(1+x),

：.f(-x)=-f(2+x)

又'"(-x)—f(x),

：.f(x)=-f(x+2),即/(x+2)=-f(x),

：.f(x+4)=j[(x+2)+2]=-/(x+2)=f(x),

：.T=4,

：.f(2021)=/'⑴=2-1=1.

故选：C.

11.(5分)2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！

为进步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮

扶活动.该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%.每年年底扣

除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资

金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为()(单位：万元，结果精确

到万元)(参考数据：1.24^2.07,1.2562.49)

A.83B.60C.50D.44

解：设每年应扣除的消费资金为x万元，

则1年后投入再生产的资金为：500(1+20%)-x,

2年后投入再生产的资金为：[500(1+20%)-x](l+20%)-x=500(l+20%)2-(1+20%)

X-X,

5年后投入再生产的资金为：

500(1+20%)5-(1+20%)(1+20%)3》-(1+20%)2》-(1+20%)x-x=800,

12^—1

故一------%=500x1.25-800,解得x、60.

1.2-1

故选：B.

x2y2

12.(5分)已知椭圆=+々=1(。＞人＞0)的右焦点为尸(00),上顶点为A(0,b),

a2b2

直线上存在一点P满足(而+E1)-G=O,则椭圆的离心率取值范围为()

A.弓，1)B.＞1)C.[―-2—，1)D.(0,

第15页共24页

Q2TTTTTQ2Q2

解：设P(­,y)f由(尸P+FA)-AP=0,则FP+FA=(——c,y)+(-c")=(——2c,

ta2

y+/?),AP=(——，y~/?),

c

TTTQ22

所以由(EP+凡4)TP=0,可得：(一-2c)­—+(y+b)(y-b)=0,

cc

Q4

口J得：——2«2-/;2=-y2^0,整理可得：o'-2a2c2-(a2-c2)dWO,即e'-sJ+iw

cz

0,

3-V52

23+75

解得:——<e<

2~-2~

即造二-一店+1

2

V5-1

由于椭圆的离心率小于I,所以丁

故选：C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)已知双曲线C：(a>0,b>0)的右焦点到它的一条渐近线的距离为

4,且焦距为1。，则该双曲线的渐近线方程为」=±gx—.

解：•.♦双曲线C；(a>0,b>0),

渐近线方程为.y=±\x,

由双曲线的对称性，不妨设y=\x,

•.•焦距为10,

:.右焦点、为(5,0),

\5b\

•..R=%解得I,

,渐近线方程为〉=±&兀

4

故答案为：)=±可X.

14.(5分)已知sina-cosa=迎(0<a<n),则tana的值是-1

解：Vsina-cosa=V2sin(a—5)=V2,

/.sin(a—=1,

VaG(0,ii),

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・・。一4一2，即。一彳，

则tana=-1.

15.（5分）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺

品可以看成是一个球被一个棱长为48的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正

方体的中心重合），若其中一个载面圆的周长为4m则该球的表面积为647r.

解：由于球心和正方体的中心重合,

BC=**4V3=2V3,

所以球的半径R=AB=J22+（28片=4,

故S以=4•7T-42=647r.

故答案为：64n.

16.（5分）关于函数f（x）=3sin（2x-9,下列结论正确的有①②③个.

①函数/（X）的图像关于直线工=袈对称；

②函数/（x）的图像关于点（等，0）对称；

③函数/（X）在区间（一%—）内是增函数；

1■412

7T

④函数/（%）的图像是函数），=3sin2x的图像向右平移I个单位长度得到的.

解：由于当x=E^时，f（x）=3・sin（2x=3・sin*=-3,是函数的最值,

第17页共24页

故函数/(九)的图象关于直线工=浅对称；故①正确.

由于当x=争寸，/(x)=3*sin(2x学一号)=3・simr=0,故函数/(x)的图像关于点

,0)对称；故②正确；

C-Jr"rrC-rr

在区间(一各—)上，(-*-),故函数f(x)在区间(一各—)上是增

函数，故③正确；

把函数y=3sin2x的图象向右平移二个单位长度，可得函数f(x)=3sin(2xV)的图象，

故④错误，

故答案为：①②③.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：

共60分。

17.(12分)已知首项为2的数列｛%｝满足a.1=弛靖竺•.

(1)证明：数列｛簧｝是等差数列.

(2)令bn=a〃+〃,求数列｛与｝的前w项和S”.

(1)证明：依题意，由册+1=互喘君■,可得

(n+l)ana

-----------n-+--1-=------n-+I，

2n+12n

..1以1.

卞

,数歹U｛翳｝是以1为首项，1为公差的等差数列.

-h=\+n-1=〃,

2n

n

：.an=2f尤N*.

(2)解：由(1)知，bn~。〃+几=〃+2”.

S〃="+b2+…

=(1+21)+(2+22)+…+(〃+2”)

=(1+2+—+n)+(2'+22+—+2n)

一n(n+l)।2-2计1

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18.(12分)某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市3名成年男性进行了问卷

调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝100〃也以上的”为常喝.已知在所有的

4

30人中随机抽取1人，患糖尿病的概率为二.

常喝不常喝合计

有糖尿病6

无糖尿病18

合计30

(I)请将如表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明

理由；

(II)已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且

有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.

参考公式及数据：片=回需燃Ea.

P(犬20.150.100.050.0250.0100.0050.001

区)

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

解：⑴30x会4=8,

故糖尿病患者总计有8名，其中常喝酒的有8-2=6名,

2X2列联表如下:

常喝不常喝合计

有糖尿病628

无糖尿病41822

合计102030

9

30x(6x18—2x4)

：2«8.523>7.898,

■K-10x20x8x22-

...有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关.

(2)由题意可知，常喝酒且有糖尿病的6人中恰有2名老年人，则中年人为4人,

现从常喝酒且有糖尿病的这6人中随机抽取2人，

第19页共24页

故恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率p=姿=微.

cf)

19.(12分)如图，在长方体ABCQ-AiBiCiQi中，E、F分别是棱BC、CCi上的点，CF

=AB=2CE,AB：AD：M=l：2：4,AB=1.

(I)证明：AF_L平面AiE£＞；

(II)求二面角Ai-ED-F的余弦值.

(/)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，AB=\,

3

则D(0,2,0),F(1,2,1),Ai(0,0,4),E(1,一，0).

2

I1

zo3T

D=xf-

2,一，4),FD=(-1,0,-1).

2

于是=-1-3+4=0,AF-ED=-1+1=0.

因此，AFLEA\,AFVED.

又E4inE£>=E,."凡L平面AiED；

(//)解：设平面EF。的法向量能=(x,y,z),

则？号=一％一：=°,取z=-1.可得£=(1,2,-1),

n•ED=—x+2y=0

由(1)可知，族为平面AiE£)的一个法向量,

T7n-AF4

于是cosVn,AF>=

I1-1I-很―3'

2

・・・二面角A\-ED-F的余弦值为3

第20页共24页

20.(12分)已知函数f(x)=*d+9-CJ?-mx+lnx.

(I)当。=c=l,。=0时，，f(x)在定义域上单调递增，求相的取值范围；

(II)当a=c=0,b=l时，f(x)存在两个极值点xi，X2,求证：XI+X2>2.

【解答】(I)解：易知函数/G)的定义域为(0,+8),

由题意知函数/(x)=?-mx-^lnx,

所以/(x)=4-2%-〃?+亍N0在(0,+8)上恒成立，

即/nWf-M+l在(0,+8)上恒成立，

令函数g(x)=x3-2x+(x>0),

贝l]g'(x)=3/-2—.=3X4%21=QN+yj),

所以当x>l时，g'(x)>0,函数g(x)在(1,+8)上单调递增；

当0<x<l时，，g'(x)<0,函数g(x)在(0,1)上单调递减，

则当X=1时，g(X)取得最小值，即g(X)min=g(1)=0,

故mWO.

(II)证明：由题意的f(x)=/3-nvc+lnx(x>0),

令f(x)=-m+；=0,得m=%2+p

设函数6(x)=p+i(x>0),

则人(xi)=h(A2),且函数人(x)在(，+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减,

不妨设X1<X2,所以0Vxi<l〈X2，

令函数H(x)=h(尤)-h(2-尤)，xG(0,1),

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则H'QX)__吃+2--3=2-=巴曰/［空¥上1,

x(2-x)zX2(2—X)(2x—x2)

所以函数”(x)在(0,1)上单调递减，

又H(1)=0,故H(x)>/7(1)=0恒成立，

则力(x)>/?(2-%)对(0,1)恒成立，

因为0<用<1,所以力(用)>/?(2-xi),即〃(X2)>h(2-Xi),

又X2>1,2-加>1且函数〃(x)在(1,+8)上单调递增，

所以X2>2-XI，即Xl+X2>2.

2i

21.(12分)已知曲线C：y=号Y，。为直线)=—或上的动点，过。作C的两条切线，切点

分别为A,B.

(1)证明：直线A8过定点.

(2)若以E(0,|)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段A8的中点，求该圆的

方程.

1

(1)证明：设。(八一2)'A('1')")’则"J=2y「

yi+^

由于y'=x,.,.切线D4的斜率为xi,故----=x,

%1-亡t

整理得：2ai-2yi+l=0.

设3(必)2)，同理可得2比2-2)>2+1=0.

故直线AB的方程为2tx-2y+l=0.

1

・・・直线A3过定点(0,-)；

⑵解：由(1)得直线AB的方程y=fx+*.

(y=5+5

由彳％?，可得7-2a-1=0.

(7遥

于是+&=23yi+%=£(%1+%2)+1=2/+1.

设M为线段4B的中点，则MG,t2+1),

由于向而E%=(t,12一2),几与向量(1,力平行，

./