二次函数的极值与最值问题

汇报人：XX二次函数的极值与最值问题2024-02-02目录二次函数基本概念回顾极值问题求解方法最值问题分类讨论典型例题分析与解答误区警示与易错点提示练习题及参考答案01二次函数基本概念回顾Chapter一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函数称为二次函数。二次函数定义二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由系数$a$决定，当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。二次函数性质二次函数的图像关于直线$x=-frac{b}{2a}$对称，该直线称为对称轴；二次函数的顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。对称轴与顶点二次函数定义及性质二次函数的图像是一个平滑的抛物线，可以是开口向上或开口向下的。抛物线形状与坐标轴交点顶点与最值二次函数图像与$x$轴的交点即为一元二次方程的根，与$y$轴的交点为$(0,c)$。对于开口向上的抛物线，顶点为其最小值点；对于开口向下的抛物线，顶点为其最大值点。030201二次函数图像特点一元二次方程形如$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）的方程称为一元二次方程。二次函数与一元二次方程的联系一元二次方程的解就是对应的二次函数图像与$x$轴的交点的横坐标；同时，二次函数的顶点坐标也与对应的一元二次方程的解有关。判别式与交点个数一元二次方程的判别式$Delta=b^2-4ac$决定了二次函数图像与$x$轴的交点个数，当$Delta>0$时有两个交点，当$Delta=0$时有一个交点（重根），当$Delta<0$时无交点。二次函数与一元二次方程关系02极值问题求解方法Chapter03判断极值类型通过二阶导数f''(x)或函数值的变化情况，判断极值点的类型（极大值或极小值）。01求导数首先求出二次函数f(x)的导数f'(x)。02令导数等于0解方程f'(x)=0，求得可能的极值点。导数法求极值配方将二次函数f(x)通过完全平方的方式化为f(x)=a(x-h)^2+k的形式。确定极值点对称轴x=h上的点即为极值点。判断极值类型根据a的正负判断函数开口方向，进而确定极值类型（极大值或极小值）。配方法求极值根据题目条件构造一个二次方程。构造二次方程通过判别式Δ=b^2-4ac的符号，判断二次方程的根的情况。利用判别式根据二次方程的根的情况，结合题目条件确定极值的存在性及取值范围。确定极值条件判别式法求极值条件03最值问题分类讨论Chapter区间内最值求解策略求解对称轴利用公式$x=-frac{b}{2a}$求解对称轴，对称轴将抛物线分为左右两部分。判断开口方向根据二次项系数$a$的正负，判断抛物线的开口方向。若$a>0$，则抛物线开口向上；若$a<0$，则抛物线开口向下。确定二次函数的一般形式首先，将二次函数化为一般形式$y=ax^2+bx+c$，其中$aneq0$。判断单调性根据开口方向和对称轴，判断函数在指定区间内的单调性。求解最值结合单调性和区间端点，求解函数在指定区间内的最大值或最小值。约束条件下最值问题转化识别约束条件分析题目中的约束条件，如变量的取值范围、函数定义域等。转化为无约束问题通过变量替换、函数变换等方法，将约束条件下的最值问题转化为无约束或简单约束的最值问题。应用极值定理利用极值定理（如费马定理、拉格朗日乘数法等）求解转化后的无约束最值问题。检验解的有效性将求得的解代入原问题中检验是否满足约束条件，若满足则为所求最值；若不满足，则需在约束条件边界上进一步讨论。在产品设计、工艺制定等过程中，通过调整参数、结构等实现性能最优、成本最低等目标。在生产过程中，通过优化原材料、人工等成本投入，使得总成本降至最低。在企业经营中，通过调整产量、价格等变量，使得总利润达到最大。在有限资源条件下，如何分配给各个项目或部门，使得整体效益最大化。成本最小化问题利润最大化问题资源分配问题优化设计问题实际应用中最值问题举例04典型例题分析与解答Chapter例题1已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，在区间$[1,3]$上的最大值为$M$，最小值为$m$，求$M$和$m$的值。例题2已知函数$f(x)=x^2-2x+2$在区间$[-1,2]$上的最小值为$m$，求$m$的值并求出此时$x$的值。解题思路首先判断二次函数的开口方向，然后确定对称轴的位置，结合区间端点值进行比较，得出最大值和最小值。解题思路将二次函数化为顶点式，根据顶点坐标和区间端点进行比较，得出最小值及对应的$x$值。解答过程略。解答过程略。已知区间求最值例题解题思路根据二次函数的单调性，结合对称轴的位置和区间端点进行比较，得出参数$a$的取值范围。例题2已知函数$f(x)=x^2+2(a-1)x+2$在区间$(-∞,4]$上是减函数，求实数$a$的取值范围。解答过程略。例题1已知二次函数$f(x)=x^2-2x+a$在区间$(-∞,2]$上是减函数，求实数$a$的取值范围。解答过程略。解题思路同样利用二次函数的单调性，结合对称轴的位置和区间端点进行比较，得出参数$a$的取值范围。010203040506已知条件求参数范围例题例题1例题2解题思路解答过程解答过程解题思路已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$满足$f(1)=0$，且对任意实数$x$均有$f(x)geq0$成立。若关于$x$的方程$f(x)=x$有两个相等的实数根，求$f(x)$的解析式。根据题目条件列出方程组，结合二次函数的性质进行求解。略。设函数$f(x)=ax^2+2x+1$在区间$(-∞,0)$上至少有一个零点，求实数$a$的取值范围。根据二次函数的零点存在性定理和判别式进行求解。略。综合应用题型举例05误区警示与易错点提示Chapter在求解二次函数的极值与最值问题时，首先要明确函数的定义域，否则可能会导致错误的解。有时候题目会对自变量的取值范围有限制，如果忽略这些限制条件，就可能导致解不符合实际情况。忘记考虑函数的定义域忽略限制条件忽视定义域导致错误极值与最值的概念不清极值是在函数局部范围内的最大值或最小值，而最值是在函数整个定义域内的最大值或最小值。二者概念不同，求解方法也有所区别。错误地将极值当作最值有时候函数在某个区间内只有一个极值点，但该极值点并不一定是整个区间的最值点。因此，在求解最值问题时，不能简单地将极值点当作最值点。混淆极值和最值概念导数计算错误01在求解二次函数的极值与最值问题时，需要用到导数知识。如果导数计算错误，就会导致后续求解过程出现偏差。未能准确判断导数的正负02导数的正负决定了函数在该点的单调性。如果未能准确判断导数的正负，就无法确定函数在该点附近的变化趋势，从而影响极值和最值的判断。忽略导数为零的点03导数为零的点可能是函数的极值点。如果忽略这些点，就可能导致漏解或错解。因此，在求解二次函数的极值与最值问题时，要特别注意检查导数为零的点。未能正确运用求导法则06练习题及参考答案Chapter求函数$f(x)=x^2-2x$的最小值。已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，当$x=-b/2a$时，函数取得最值，求该最值。求函数$f(x)=-x^2+4x-3$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。基础练习题

提高练习题已知函数$f(x)=x^2-2x+2$，求该函数在区间$[-1,3]$上的最大值和最小值，并指出取得最值时对应的$x$值。求函数$f(x)=x^2-2ax+2$在$xin[a,a+2]$上的最小值。对于函数$f(x)=(x-a)^2$，若其在区间$[1,3]$上的最大值为1，求$a$的取值范围。基础练习题解析对于函数$f(x)=x^2-2x$，其开口向上，对称轴为$x=1$，因此当$x=1$时，函数取得最小值$f(1)=-1$。对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其最值出现在对称轴$x=-b/2a$处。将$x=-b/2a$代入原函数，即可求得最值。参考答案及解析对于函数$f(x)=-x^2+4x-3$，其开口向下，对称轴为$x=2$。在区间$[0,3]$上，函数先增后减，因此最大值出现在对称轴处，即$f(2)=1$，最小值出现在区间端点处，比较$f(0)$和$f(3)$的大小，可得最小值为$f(0)=-3$。参考答案及解析提高练习题解析对于函数$f(x)=x^2-2x+2$，其开口向上，对称轴为$x=1$。在区间$[-1,3]$上，函数先减后增，因此最小值出现在对称轴处，即$f(1)=1$，最大值出现在区间端点处，比较$f(-1)$和$f(3)$的大小，可得最大值为$f(3)=5$。取得最小值时对应的$x$值为1，取得最大值时对应的$x$值为3。对于函数$f(x)=x^2-2ax+2$，其开口向上，对称轴为$x=a$。当$a\leq1$时，在区间$[a,a+2]$上函数单调递增，因此最小值为$f(a)=2-a^2$；当$a>1$时，在区间$[a,a+2]$上函数先减后增，因此最小值出现在对称轴处或区间端点处。比较$f(a)$