数学北师大版必修2学案1-6-2垂直关系的性质

6．2垂直关系的性质知识点一直线与平面垂直的性质定理[填一填]定理内容：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.图形语言：如图所示．作用：证明两直线平行．[答一答]1．两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面吗？提示：垂直．因为两条平行线中的一条垂直于这个平面，所以这条直线垂直于平面内的两条相交直线，所以另一条直线也垂直于这两条相交直线，故另一条也垂直于这个平面．2．分别垂直于两个平行平面的两条直线是否平行？提示：平行．因为一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面的平行平面，所以这两条直线垂直于同一个平面，所以这两条直线平行．3．垂直于同一条直线的两平面平行吗？提示：平行．如图，过直线l作两个平面，分别与两个平面α，β相交于a，a′，b，b′，∵l⊥α，∴l⊥a，l⊥b.∵l⊥β，∴l⊥a′，l⊥b′.∴a∥a′，b∥b′.又a与b相交，a′与b′相交，∴α∥β.∴垂直于同一条直线的两个平面平行．知识点二平面与平面垂直的性质定理[填一填]定理内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．符号语言：α⊥β，α∩β＝m，lβ，l⊥m⇒l⊥α.图形语言：如图所示．作用：证明直线与平面垂直．[答一答]4．应用定理若分别去掉以下两个条件，探究定理是否成立．(1)将条件lβ去掉，结论是否成立？(2)将条件l⊥m去掉，结论是否成立？提示：(1)不一定成立，如图(1)让l⊥β，这时也有l⊥m，但l与α不垂直．(2)不成立，如图(2)直线lβ，但l与直线m不垂直，显然l与α不垂直．5．若两个平面互相垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？提示：若α⊥β，l⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则a⊥α，∴a∥l.∴l∥β或lβ，即直线l与平面β平行或在平面β内．1．直线与平面垂直的性质定理的三点说明(1)性质定理的前提是直线与平面垂直．(2)性质定理的结论是线线平行．(3)性质定理的作用：主要用于证明线线平行．2．直线与平面垂直的常见性质(1)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直．(2)过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．(3)垂直于同一直线的两个平面平行．3．平面与平面垂直的性质定理的关注点(1)性质定理成立要有两个条件：一是线在面内，二是线垂直于交线．(2)利用性质定理的关键点：一找，二证．即在其中一个平面内找到一条直线，然后证明所找直线与交线垂直．(3)定理的实质是由面面垂直得到线面垂直.类型一线面位置关系的判断【例1】已知直线m、n，平面α、β，下列说法正确的是()A．m⊥α，nβ，m⊥n，则α⊥βB．α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nC．α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nD．α⊥β，α∩β＝m，m⊥n，则n⊥β【思路探究】线线、线面、面面位置关系的判断要充分利用有关的定义、性质和定理．【解析】如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线C1C⊥平面AC，直线D1C1平面A1B1C1D1，直线C1C⊥直线D1C1，但是平面AC与平面A1B1C1D1平行，排除A选项；平面AC⊥平面D1C，直线C1C⊥平面AC，B1B∥平面D1C，但B1B∥C1C，排除B项；平面AC⊥平面A1B，平面AC∩平面A1B＝AB，AB【答案】C规律方法本题是符号语言表达题，以选择题形式出现，常通过借助几何模型，利用排除法、淘汰错误的选项来解题．已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，有下列命题：①若m∥n，nα，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β；③若l⊥n，m⊥n，则l∥m；④若α⊥β，α∩β＝m，nβ，n⊥m，则n⊥α.其中正确的个数是(C)A．4 B．3C．2 D．1解析：①m∥n，nα，则m∥α或mα，因此不正确；②若l⊥α，m⊥β且l⊥m，利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，因此正确；③若l⊥n，m⊥n，则l与m平行、相交或异面，因此不正确；④若α⊥β，α∩β＝m，nβ，n⊥m，利用面面垂直的性质定理即可得出n⊥α，因此正确．综上可知，只有②④正确．类型二线面垂直的性质定理的应用【例2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为A1D和AC上的点，EF与异面直线AC，A1D均垂直．求证：EF∥BD1【思路探究】BD1为正方体的体对角线，连接AB1，B1C后可证得BD1⊥平面AB1C，只需证EF⊥平面AB【证明】连接AB1，B1C，BD，B1D1∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.∴BD1⊥平面AB1又EF与异面直线AC，A1D均垂直，即EF⊥AC，EF⊥A1D.又A1D∥B1C，∴EF⊥B1∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1规律方法正方体、直棱柱、正棱锥、正四面体等特殊的几何体都有明显的几何特征，解题时，要充分挖掘这些几何体的线面关系．如直棱柱的侧棱垂直于底面等．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线aβ，a⊥AB.求证：a∥l.证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即lα，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，aβ，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.类型三面面垂直的性质定理的应用【例3】如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.【思路探究】由题目可获取以下主要信息：①四边形ABCD是边长为a的菱形；②平面PAD⊥平面ABCD.解答本题可先由面垂直于面得线垂直于面，再进一步得出线垂直于线．【证明】(1)如图，连接PG，BD，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD平面PAD，PG平面PAD，且AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，又BG平面PBG，PG平面PBG，且BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．如图所示，已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．提示：(1)由平面PAB⊥平面ABC，且交线为AB，则在平面ABC内与AB垂直的直线一定与PA垂直，同理，由平面PAC⊥平面ABC，在平面ABC内与AC垂直的直线也与PA垂直，可证(1)；(2)垂心为高的交点，可先证BA⊥平面PAC.证明：(1)∵平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，在平面ABC内过C作CM⊥AB于M(如图)，则CM⊥平面PAB.∴CM⊥PA.又平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，在平面ABC内过B作BN⊥AC交CM于点O，则BN⊥平面PAC，∴BN⊥PA.又CM∩BN＝O，∴PA⊥平面ABC.(2)∵E为△PBC的垂心，连接BE并延长交PC于点F，则BF⊥PC.又AE⊥平面PBC，则AE⊥PC.∴PC⊥平面ABE，则PC⊥AB.又由(1)知PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，则AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC为直角三角形．类型四垂直关系的综合应用【例4】如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.【思路探究】解答本题可先根据题意作出辅助线，再借助辅助线解答相关的各个问题．【证明】(1)如图，取EC的中点F，连接DF.∵CE⊥平面ABC，∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.在Rt△EFD和Rt△DBA中，∵EF＝eq\f(1,2)CE＝DB，DF＝BC＝AB，∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.(2)如图，取AC的中点N，连接MN、BN，则MN綊CF.∵BD綊CF，∴MN綊BD，∴N∈平面BDM.∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.又∵AC⊥BN，∴BN⊥平面ECA.又∵BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA.(3)∵DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.又∵DM平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.规律方法(1)本题涉及线面垂直、面面垂直的性质和判定定理，证明的关键是BN⊥平面ECA，在这里应充分体会线线垂直、线面垂直与面面垂直的关系．(2)垂直关系的相互转化：eq\a\vs4\al(直线与直,线垂直)eq\o(,\s\up17(判定定理),\s\do15(定义及性质))eq\a\vs4\al(直线与平面,垂直)eq\o(,\s\up17(判定定理),\s\do15(性质定理))eq\a\vs4\al(平面与平,面垂直)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上是否存在一点G，使得AE⊥平面DFG？并说明理由．解：(1)证明：如图，连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1.又AE平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)存在，所示G点即为A1点，理由如下：由(1)可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.——多维探究系列——有关垂直的探究问题【例5】如图，四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．【思路分析】(1)取PD的中点E，可证四边形ABME是平行四边形，因此，BM∥AE，从而BM∥平面PAD.(2)可作MN⊥BE，交AE于点N，N即为所求．【精解详析】(1)取PD的中点E，连接EM、AE，如图所示．∴EM綊eq\f(1,2)CD，而AB綊eq\f(1,2)CD，∴EM綊AB.∴四边形ABME是平行四边形．∴BM∥AE.∵AE平面PAD，BM平面PAD.∴BM∥平面PAD.(2)存在．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB.而AB⊥AD，PA∩AD＝A.∴AB⊥平面PAD.∴AB⊥PD.∵PA＝AD，E是PD中点，∴PD⊥AE.∴PD⊥平面ABME.作MN⊥BE，交AE于点N.∴MN⊥平面PBD.易知△BME∽△MEN.而BM＝AE＝eq\r(2)，EM＝eq\f(1,2)CD＝1，∴eq\f(EN,EM)＝eq\f(EM,BM)，即EN＝eq\f(EM2,BM)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∴AN＝eq\f(\r(2),2)，即点N为AE的中点．【解后反思】此题是对条件开放的，因此解决此类问题一般用分析法，即从结论入手，分析得到该结论所需的条件或其等价的条件．此题也考查了空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力．如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．(1)求证：DE∥平面ACF；(2)若AB＝eq\r(2)CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出eq\f(EG,EO)的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，连接OF，由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点，又F为BE的中点，∴OF∥DE，又OF平面ACF，DE⃘平面ACF，∴DE∥平面ACF；(2)假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE.由于CG⊥平面BDE，则必有CG⊥OE，于是作CG⊥OE于点G，∵EC⊥底面ABCD，∴CE⊥BD，又底面是正方形，∴BD⊥AC，EC∩AC＝C，∴BD⊥平面ACE，而CG平面ACE，∴BD⊥CG，又OE∩BD＝O，∴CG⊥平面BDE，∵AB＝eq\r(2)CE，∴CO＝eq\f(\r(2),2)AB＝CE，∴G为EO的中点，∴eq\f(EG,EO)＝eq\f(1,2).故在线段EO上存在点G，且为中点，使CG⊥平面BDE.一、选择题1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ(A)A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m解析：选项A为平面与平面垂直的判定定理，故正确；选项B中，当α⊥β时，l，m