2019年黑龙江省绥化市中考数学试卷

2019年黑龙江省绥化市中考数学试卷

一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你

的选项所对应的大写字母涂黑

1.（3分）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000m2.把370000这个数用科学

记数法表示为（）

A.37xl04B.3.7xlO5C.0.37xlO67D.3.7xlO6

2.（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（）

A.>/9=±3B.（-1）°=0C.夜+石=石D.我=2

4.（3分）若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（

）

A.球体B.圆锥C.圆柱D.正方体

5.（3分）下列因式分解正确的是（）

A.x2-x=x（x+1）B.a1-3a-4=（a+4）（a-1）

C.a2+lab-h2=（a-b）2D.x2-y2=（x+y）（x-y）

6.（3分）不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随

机取出1个球是红球的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

3456

7.（3分）下列命题是假命题的是（）

A.三角形两边的和大于第三边

B.正六边形的每个中心角都等于60。

C.半径为R的圆内接正方形的边长等于&R

D.只有正方形的外角和等于360。

8.（3分）小明去商店购买A、8两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，8种玩

具每件2元.若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量.则小明的

购买方案有（）

A.5利।B.4种C.3种D.2种

9.（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）

x+8＞4x+2

10.（3分）如图，在正方形中，E、〃是对角线AC上的两个动点，尸是正方形四

边上的任意一点，且43=4,EF=2,设=当APEF是等腰三角形时，下列关于P

点个数的说法中，一定正确的是（）

①当x=0（即E、A两点重合）时，尸点有6个

②当0＜》＜4夜-2时，P点最多有9个

③当P点有8个时，x=2y/2-2

④当APEF是等边三角形时，P点有4个

A.①③B.①④C.②④D.②③

二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相

对应的题号后的指定区域内

11.（3分）某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为-20°C,绥化市的平均气温约为-23°C,

则两地的温差为°C.

12.（3分）若分式必有意义，则x的取值范围是—.

x-4

13.（3分）计算：（T/）2+加4.

14.（3分）已知数据1,3,5,7,9,则这组数据的方差是.

15.（3分）当a=2018时，代数式（，——［一）+上工•的值是—.

a+1a+1（〃+1）-

16.（3分）用一个圆心角为120。的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等

于4,则这个圆锥的母线长为—.

17.（3分）已知在A48C中，A8=AC,点力在AC上，且=则Z4=度.

18.（3分）一次函数x=-x+6与反比例函数必=&。＞。）的图象如图所示，当%＞为时,

X

19.（3分）甲、乙两辆汽车同时从A地出发，开往相距200也?的8地，甲、乙两车的速度

之比是4:5,结果乙车比甲车早30分钟到达B地，则甲车的速度为—hn/h.

20.（3分）半径为5的O是锐角三角形A8C的外接圆，AB=AC,连接08、OC,延

长CO交弦4?于点。.若△O8D是直角三角形，则弦的长为—.

21.（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的

规律摆放.点尸从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边

04,f&A—AA,f4A…”的路线运动，设第〃秒运动到点匕（〃为正整数）,

则点6（119的坐标是.

三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的

指定区域内

22.（6分）如图，已知AABC三个顶点的坐标分别为A（-2,-4）,8（0,Y）,C（l,-1）

（1）请在网格中，画出线段关于原点对称的线段BCi；

（2）请在网格中，过点C画一条直线8,将A43C分成面积相等的两部分，与线段旗相

交于点。，写出点。的坐标；

（3）若另有一点尸（一3,-3）,连接PC,贝han/BCP=.

23.（6分）小明为了了解本校学生的假期活动方式，随机对本校的部分学生进行了调查.收

集整理数据后，小明将假期活动方式分为五类：A.读书看报；B.健身活动；C.做家

务；D.外出游玩；E.其他方式，并绘制了不完整的统计图如图.统计后发现“做家务”

的学生人数占调查总人数的20%.

请根据图中的信息解答下列问题：

（1）本次调查的总人数是—人；

（2）补全条形统计图；

（3）根据调查结果，估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有多少人？

假期活动方式调查统计图

（1）如图①，求作一点P,使点P到NA8c的两边的距离相等，且在A48C的边4c上.（用

直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）如图②，8、C表示两个港口，港口C在港口8的正东方向上.海上有一小岛A在港

口3的北偏东60。方向上，且在港口C的北偏西45。方向上.测得AB=40海里，求小岛A与

港口C之间的距离.（结果可保留根号）

图①图②

25.（6分）已知关于x的方程送―3x+l=0有实数根.

（1）求k的取值范围；

（2）若该方程有两个实数根，分别为玉和尤2,当为+毛+不々=4时，求A的值.

26.（7分）如图，AB为。的直径，AC平分交弦BD于前G,连接半径比交8。

于点E,过点C的一条直线交A3的延长线于点F，ZAFC=ZACD.

（1）求证：直线C户是O的切线；

（2）DE=2CE=2.

①求的长；

②求A4CF的周长.（结果可保留根号）

27.（7分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时.在加工过程中乙机器因

故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工.甲机器在加工

过程中工作效率保持不变.甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（/z）之间

的函数图象为折线。4-M-3C，如图所示.

（1）这批零件一共有一个，甲机器每小时加工一个零件，乙机器排除故障后每小时加

工一个零件；

（2）当3领k6时，求y与x之间的函数解析式；

（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？

28.（9分）如图①，在正方形中，AB=6,M为对角线比）上任意一点（不与5、

。重合），连接C/0,过点M作交线段A8于点N

（1）求证：MN=MC；

（2）若£>M:£）B=2:5,求证：AN=4BN;

（3）如图②，连接NC交班）于点G.若BG:MG=3:5,求NGCG的值.

29.（10分）已知抛物线旷=以2+加+3的对称轴为直线x=g,交x轴于点A、B,交y轴

于点C,且点A坐标为A(-2,0).直线y=-mr-相(〃?>0)与抛物线交于点尸、Q(点P在

点。的右边)，交y轴于点

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若〃=—5,且ACP。的面积为3,求皿的值；

(3)当加工1时，若〃=一3〃2,直线AQ交y轴于点K.设APQK的面积为S,求S与机之

间的函数解析式.

备用图

2019年黑龙江省绥化市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你

的选项所对应的大写字母涂黑

1.（3分）我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000%>.把370000这个数用科学

记数法表示为（）

A.37xl04B.3.7xlO5C.0.37xlO6D.3.7xlO6

【考点】1/：科学记数法-表示较大的数

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中L,〃为整数.确定”的值

时，要看把原数变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值>1时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

【解答】解：370000用科学记数法表示应为3.7xl（）5,

故选：B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中

1„|«|<10,"为整数，表示时关键要正确确定a的值以及〃的值.

2.（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是（）

【考点】R5：中心对称图形

【分析】根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误;

8、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，故此选项正确；

。、不是中心对称图形，故此选项错误，

故选：C.

【点评】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形

旋转180。后与原图重合.

3.(3分)下列计算正确的是()

A.V9=±3B.(-1)°=0C.0+6=逐D.我=2

【考点】22：算术平方根；24：立方根；6E：零指数幕

【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案.

【解答】解：A、79=3,故此选项错误；

B、(-1)°=1,故此选项错误；

C、及+G无法计算，故此选项错误；

D、我=2,正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了立方根、零指数基的性质，正确化简各数是解题关键.

4.(3分)若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是(

)

A.球体B.圆锥C.圆柱D.正方体

【考点】U1：简单几何体的三视图；U3：由三视图判断几何体

【分析】利用三视图都是圆，则可得出几何体的形状.

【解答】解：主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球体.

故选：A.

【点评】本题考查了由三视图确定几何体的形状，学生的思考能力和对几何体三种视图的空

间想象能力.

5.(3分)下列因式分解正确的是()

A.x2-x==x(x+1)B.a2-3a-4=(a+4)(a-1)

C.a2+2ab-b2=(a-b)2D.x2-y2=(x+y)(x-y)

【考点】57：因式分解-十字相乘法等；55：提公因式法与公式法的综合运用

【分析】A、原式提取公因式x得到结果，即可做出判断；

8、原式利用十字相乘法分解得到结果，即可做出判断；

C、等式左边表示完全平方式，不能利用完全平方公式分解；

。、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断.

【解答】解：A、原式=x(x-l),错误；

B、原式=(4-4)(“+1),错误；

C、c^+Zab-b1,不能分解因式,错误；

D、原式=(x+y)(x-y),正确.

故选：D.

【点评】此题考查了提公因式法、十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方

法是解本题的关键.

6.(3分)不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随

机取出1个球是红球的概率是()

A.-B.-C.-D.-

3456

【考点】X4：概率公式

【分析】直接利用概率公式求解.

【解答】解：从袋子中随机取出1个球是红球的概率=二一=1.

2+43

故选：A.

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率尸(A)=事件A可能出现的结果数除以

所有可能出现的结果数.

7.(3分)下列命题是假命题的是()

A.三角形两边的和大于第三边

B.正六边形的每个中心角都等于60。

C.半径为R的圆内接正方形的边长等于应R

D.只有正方形的外角和等于360。

【考点】O1：命题与定理

【分析】利用三角形的三边关系、正多边形的外角和、正多边形的计算及正多边形的外角和

分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A、三角形两边的和大于第三边，正确，是真命题；

B、正六边形的每个中心角都等于60。，正确，是真命题；

C、半径为H的圆内接正方形的边长等于&R,正确，是真命题；

D、所有多边形的外角和均为360。，故错误，是假命题，

故选：D.

【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的三边关系、正多边形的

外角和、正多边形的计算及正多边形的外角和等知识，难度不大.

8.（3分）小明去商店购买A、8两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，8种玩

具每件2元.若每种玩具至少买一件，且4种玩具的数量多于8种玩具的数量.则小明的

购买方案有（）

A.5种B.4种C.3种D.2种

【考点】CE：一元一次不等式组的应用

【分析】设小明购买了A种玩具x件，则购买的3种玩具为止三件，根据题意列出不等式

2

组进行解答便可.

【解答】解：设小明购买了A种玩具x件，则购买的5种玩具为竺匚件，根据题意得，

2

X..1

10-x।

<---------..1,

2

解得，

3

x为整数，

=l或2或3.

有3种购买方案.

故选：C.

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买B种玩具的数量和

正确列出不等式组是解决本题的关键所在.

9.（3分）不等式组:工+2的解集在数轴上表示正确的是（）

A.012B.0

---1---6------i---►---1---6-------1

C.012D.012

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组

【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式用数轴表示即可.

x—1..0①

【解答】解:

x+8>4x+2②

解①得41,

解②得x<2,

利用数轴表示为:

012

故选：B.

【点评】此题主要考查了解不等式组，以及在数轴上表示解集，不等式的解集在数轴上表示

出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“…”实心圆点向右画折线，空心圆点向左

画折线，”实心圆点向左画折线.

10.（3分）如图，在正方形A8CD中，E、尸是对角线AC上的两个动点，P是正方形四

边上的任意一点，且4?=4,EF=2,设AE=x.当是等腰三角形时，下列关于P

点个数的说法中，一定正确的是（）

①当x=O（即E、A两点重合）时，P点有6个

②当0<》<40-2时，P点最多有9个

③当P点有8个时，x=2&-2

④当APER是等边三角形时，P点有4个

A.①③B.①④C.②④D.②③

【考点】KH-.等腰三角形的性质；KM-.等边三角形的判定与性质；LE-.正方形的性质

【分析】利用图象法对各个说法进行分析判断，即可解决问题.

【解答】解：①如图1-

当x=0（即E、A两点重合）时，P点有6个；

故①正确；

②当O<x<40-2时，P点最多有8个.

故②错误.

③当P点有8个时，如图2所示：

当0cx<6-1或6-1<*<4啦-4或2cx<4尤-0-1或4应-6-1<》<4夜-2时,

P点有8个：

故③错误；

④如图3,

当APMV是等边三角形时，

P点有4个；

故④正确；

当APEF是等腰三角形时，关于P点个数的说法中，

不正确的是②③，

一定正确的是①④；

故选：B.

【点评】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，有一定难度.

二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相

对应的题号后的指定区域内

11.（3分）某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为-20℃,绥化市的平均气温约为-23°C,

则两地的温差为3°C.

【考点】M：有理数的减法

【分析】用哈尔滨市的平均气温减去绥化市的平均气温，然后根据有理数的减法运算法则，

减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解.

【解答】解：-20-（-23）=-20+23=3（°C）.

故答案为3.

【点评】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键.

12.（3分）若分式正有意义，则x的取值范围是_XK4_.

x-4

【考点】62：分式有意义的条件

【分析】分式有意义，分母不等于零.

【解答】解：依题意得：x-4^0.

解得xw4.

故答案是：xw4.

【点评】考查了分式有意义的条件.分式有意义的条件是分母不等于零.

13.（3分）计算：+“=_7n2_.

【考点】47：幕的乘方与积的乘方；48：同底数累的除法

【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案.

【解答】解：（-w3）2m4=:m6-bm4=m2.

故答案为：mt

【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题

关键.

14.（3分）己知数据1,3,5,7,9,则这组数据的方差是8.

【考点】W1：方差

【分析】先计算出平均数，再根据方差公式计算即可.

【解答】解：1>3、5、7、9的平均数是（1+3+5+7+9）+5=5,

方差=中（1一5）2+（3-5>+（5-5『+（7-5）2+（9-]=8;

故答案为：8.

【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设”个数据，%，匕，…x”的平均数为元，

则方差大」[（西-君〜心—度+…+6一君2],它反映了一组数据的波动大小，方差

n

越大，波动性越大，反之也成立.

15.（3分）当。=2018时，代数式（'----1一）:上工的值是2019.

a+1a+1（a+l）2

【考点】6D：分式的化简求值

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将。的值代入化简后的式子即

可解答本题.

【解答】解：（」——匚）+士L

a+\a+\（a+l）2

a-1（67+1）2

=----«------

a+1a-1

=a+\9

当a=2018时，原式=2018+1=2019,

故答案为：2019.

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

16.（3分）用一个圆心角为120。的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等

于4,则这个圆锥的母线长为12.

【考点】MP-.圆锥的计算

【分析】根据底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长列式计算即可.

【解答】解：设圆锥的母线长为/,

根据题意得：担利=2万x4,

180

解得：/=12,

故答案为：12.

【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周

长.

17.（3分）己知在AA3c中，AB=AC,点。在AC上，且8£>==A。，则NA=36

度.

【考点】KH：等腰三角形的性质

【分析】已知有许多线段相等，根据等边对等角及三角形外角的性质得到许多角相等，再利

用三角形内角和列式求解即可.

【解答】解：设Z4=x

AD=BD,

\ZABD=ZA=x,ZBDC=2x

BD=BC

•.NC=ZBDC=2x,ZDBC=x

在BDC中x+2x+2x=180°

\x=36°

/.ZA=36°.

故填36.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；根据三角形的边的关系，转化

为角之间的关系，从而利用方程求解是正确解答本题的关键.

18.（3分）一次函数y=-x+6与反比例函数以=§（x>0）的图象如图所示，当当时，

X

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题

【分析】利用两函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围

即可.

【解答】解：当2cx<4时，yt>y2-

故答案为2Vx<4.

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐

标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两

者无交点.

19.（3分）甲、乙两辆汽车同时从4地出发，开往相距200初7的B地，甲、乙两车的速度

之比是4:5,结果乙车比甲车早30分钟到达3地，则甲车的速度为80km/h.

【考点】B7：分式方程的应用

【分析】设甲车的速度为则乙车的速度为/i,根据时间=路程+速度结合

4

乙车比甲车早30分钟到达8地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.

【解答】解：设甲车的速度为诲〃力，则乙车的速度为9H%//?,

4

依题意，得：变一等二，

xL60

4

解得：x=80,

经检验，x=80是原方程的解，且符合题意.

故答案为：80.

【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

20.（3分）半径为5的O是锐角三角形ABC的外接圆，AB=AC,连接08、OC,延

长CO交弦他于点。.若△03。是直角三角形，则弦3c的长为_5g或5夜

【考点】KQ：勾股定理；KH；等腰三角形的性质；MA：三角形的外接圆与外心

【分析】如图I,当NOD3=90。时，推出A4BC是等边三角形，解直角三角形得到

BC=AB=5y/3,如图2,当"03=90。，推出ABOC是等腰直角三角形，于是得到

BC=yf2OB=5yf2.

【解答】解：如图1,当/。/汨=90。时，

即C£）_LAB,

:.AD=BD,

AC=BC,

AB=AC,

.•.AABC是等边三角形，

NDBO=30。,

OB=5,

:.BD=—OB=—,

22

BC=AB=56

如图2,当"03=90。，

:.NBOC=90°,

.•.AfiOC是等腰直角三角形，

BC=0OB=5日

综上所述：若AO8D是直角三角形，则弦8c的长为5百或5夜，

故答案为：或5夜.

D

图2

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的

性质，正确的作出图形是解题的关键.

21.（3分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的

规律摆放.点尸从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边

44fAA…”的路线运动，设第“秒运动到点与（〃为正整数），

【考点】。2：规律型：点的坐标

【分析】通过观察可知，纵坐标每6个进行循环，先求出前面6个点的坐标，从中得出规律,

再按规律写出结果便可.

【解答】解：由题意知，

4(1,0)

A(2,0)

a<3,o)

由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：正，0,苴，0,-3

222

这样循环,

【点评】本题是一个规律题，根据题意求出点的坐标，从中找出规律来，这是解题的关键所

在.

三、解答题(本题共8个小题，共57分)请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的

指定区域内

22.(6分)如图，已知AABC三个顶点的坐标分别为A(-2,T),伙0,T),C(l,-1)

(1)请在网格中，画出线段8c关于原点对称的线段；

(2)请在网格中，过点C画一条直线8,将AA8C分成面积相等的两部分，与线段A3相

交于点。，写出点。的坐标;

(3)若另有一点夕(一3,-3),连接PC,则tanNBCP=1

【考点】R8：作图-旋转变换；77：解直角三角形

【分析】(1)根据坐标画得到对应点C,,连接即可;

(2)取他的中点。画出直线C。,

(3)得出APBC为等腰直角三角形，ZPCB=45°,可求出tanZBCP=l

【解答】解：如图：

(1)作出线段C连接即可；

(2)画出直线8,点。坐标为

(3)连接P8,PB2=fiC2=12+32=10,PC2=22+42=20,

:.PB-+BC1=PC2,

.•.AP3C为等腰直角三角形，

:.ZPCB=45°,

tanZBCP=i,

故答案为1.

【点评】本题考查关于原点对称的点的坐标关系，三角形中线的性质，三角函数值等有关知

识点.

23.(6分)小明为了了解本校学生的假期活动方式，随机对本校的部分学生进行了调查.收

集整理数据后，小明将假期活动方式分为五类：A.读书看报；8.健身活动；C.做家

务；D.外出游玩；E.其他方式，并绘制了不完整的统计图如图.统计后发现“做家务”

的学生人数占调查总人数的20%.

请根据图中的信息解答下列问题：

(1)本次调查的总人数是40人:

(2)补全条形统计图；

(3)根据调查结果，估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有多少人?

假期活动方式调查统计图

【分析】（1）由C方式的人数及其所占百分比可得总人数；

（2）根据各方式的人数之和等于总人数可得£＞人数，从而补全图形;

（3）利用样本估计总体思想求解可得.

【解答】解：（1）本次调查的总人数是8+20%=40（人），

故答案为：40；

（2）。活动方式的人数为40-（6+12+8+4）=10（人），

补全图形如下：

（3）估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有2360xg=354（人）.

40

【点评】本题考查了条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问

题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

24.（6分）按要求解答下列各题：

（1）如图①，求作一点P,使点尸到NA8C的两边的距离相等，且在AA8C的边AC上.（用

直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；

（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上.海上有一小岛A在港

口3的北偏东60。方向上，且在港口C的北偏西45。方向上.测得43=40海里，求小岛A与

港口C之间的距离.（结果可保留根号）

图①图②

【考点】N4：作图-应用与设计作图；TB：解直角三角形的应用-方向角问题；KF：角

平分线的性质

【分析】（1）利用尺规作44C的角平分线交AC于点P,点P即为所求.

（2）作">JL8c于。.解直角三角形求出4）,再利用等腰直角三角形的性质即可解决问

题.

【解答】解：（1）如图，点P即为所求.

国①

（2）作于。.

在RtAABD中，AB=4O海里，ZABD=30°,

.-.AD=-AB=20（海里），

2

ZACD=45°,

AC=y/2AD=20y/2（海里）.

答：小岛A与港口C之间的距离为20后海里.

【点评】本题考查则有-应用与设计，角平分线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键

是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

25.（6分）已知关于x的方程区2-3》+1=0有实数根.

（1）求k的取值范围；

（2）若该方程有两个实数根，分别为司和起，当玉+乙+4々=4时，求上的值.

【考点】AB：根与系数的关系；A1：一元二次方程的定义：加：根的判别式

【分析】（1）分人=0及AfO两种情况考虑：当人=0时，原方程为一元一次方程，通过解

方程可求出方程的解，进而可得出Z=0符合题意；当时，由根的判别式△..（）可得出

关于左的一元一次不等式，解之即可得出2的取值范围.综上，此问得解；

Q1

（2）利用根与系数的关系可得出%+%=—，大/=一，结合尤1+x,+元］无2=4可得出关于A

kk

的分式方程，解之经检验后即可得出结论.

【解答】解：（1）当4=0时，原方程为—3%+1=0,

解得：x=L

3

.•"=0符合题意；

当AwO时，原方程为一元二次方程，

.该一元二次方程有实数根，

/.△=（-3）2-4xA：xl..O,

解得：鼠2.

4

综上所述，A的取值范围为£,2.

4

（2）x1和x2是方程依？-3x+l=0的两个根，

x}+x2+XyX2=4，

314

/.—+—=4,

kk

解得：k=T,

经检验，Z=1是分式方程的解，旦符合题意.

的值为1.

【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的定义、解一元一次方程

以及解分式方程，解题的关键是：（1）分2=0及ZwO两种情况，找出人的取值范围；（2）

利用根与系数的关系结合占+w+占％=4,找出关于4的分式方程.

26.（7分）如图，AB为的直径，AC平分N/MD,交弦BD于点G,连接半径OC交3。

于点£,过点C的一条直线交的延长线于点f,ZAFC=ZACD.

（1）求证：直线CF是。的切线；

（2）若DE=2CE=2.

①求的长；

②求A4b的周长.（结果可保留根号）

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；M5：圆周角定理；ME：切线

的判定与性质

【分析】（1）根据圆周角定理，垂径定理，平行线的性质证得OCLCV,即可证得结论；

（2）①利用勾股定理求得半径，进而求得OE,根据三角形中位线定理即可求得；

②由平行线分线段成比例定理得到七=丝="，求得CF=W,OF=—,即可求得

FCOCOF36

AF=OF+OA=—然后根据勾股定理求得AC,即可求得三角形ACF的周长.

39

【解答】（1）证明：AC平分N3AD,

:,ZBAC=ZDAC,

.•.C是弧3。的中点

：.OCA.BD.

BE—DE，

ZAFC=ZACD,ZACD=ZABD,

:.ZAFC=ZABD,

..BD//CF,

/.OC±CF,

OC是半径，

，C尸是圆O切线;

(2)解：①设OC=R.

DE=2CE=2,

，BE=DE=2,CE=\,

:.OE=R-\,

在RWDBE中(R-l)2+22=/?2.

解得R=』.

2

53

22

由(1)得，OA=OB,BE=DE,

AD=2OE=3;

②连接BC.

BD//CF,

.BEOEOB

~FC~~OC~~OF"

35

BE=2,OE=~,R=-

22

:.CF=—,OF=—,

36

AF=OF+OA=—,

在RtABCE中，CE=l,BE=2,

：.BC=yJCE2+BE2=百.

AB是直径，

.•.AAC8为直角三角形.

AC=-JAB2-BC2=2y/5.

.•.△4(7厂周长=4。+尸。+4尸=10+26.

【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理的应用，平行线

分线段成比例定理，三角形中位线定理等，熟练掌握性质定理是解题的关键.

27.（7分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时.在加工过程中乙机器因

故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工.甲机器在加工

过程中工作效率保持不变.甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（/?）之间

的函数图象为折线。4-舫-3。，如图所示.

（1）这批零件一共有2有个,甲机器每小时加工个零件，乙机器排除故障后每小时

加工个零件；

（2）当3篇k6时，求y与x之间的函数解析式；

（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时,，甲与乙加工的零件个数相等？

【考点】FH：一次函数的应用

【分析】（1）根据图象解答即可；

（2）设当3领k6时，y与x之间的函数关系是为＞=履+匕，运用待定系数法求解即可；

（3）设甲价格x小时时，甲乙加工的零件个数相等，分两种情况列方程解答：①当噫!kI时,

20x=30；②当3瓢6时，20x=30+40（x—3）.

【解答】解：（1）这批零件一共有270个，

甲机器每小时加工零件：（90-550）+（3-1）=20（个），

乙机器排除故障后每小时加工零件：（270-90-20x3）^3=40（个）；

故答案为：270；20；40；

（2）设当3麴k6时，y与x之间的函数关系是为》=日+人

把8（3,90）,C（6,270）代入解析式，得

产+6=9。，解得[=6。

162+6=270[h=-90

.•.y=60x-90(3•6)；

(3)设甲价格x小时时，甲乙加工的零件个数相等,

①20x=30,解得x=15;

②50-20=30,

20x=30+40(x-3),解得x=4.5,

答:甲加工1.5/z或4.5期寸，甲与乙加工的零件个数相等.

【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问

题的关键.

28.(9分)如图①，在正方形ABCD中，AB=6,M为对角线皮)上任意一点(不与3、

。重合)，连接CM,过点M作MN_LCM,交线段至于点N

(1)求证：MN=MC;

(2)若DW:£>8=2:5,求证：AN=4BN；

(3)如图②，连接NC交应)于点G.若BG.MG=3:5,求NG.CG的值.

【考点】SO：相似形综合题

【分析】(1)作、MF!IBC,证四边形班MF是正方形得小=叱，再证

ZCME=ZFMN,从而得=AMEC,据此可得证；

(2)由婷0/M£>,£M//CE>知"=匕=丝=上，据此得AF=2.4,CE=2A,由

ABBCBD5

AWN三AMEC知RV=EC=2.4,4V=4.8,BN=6-4.8=1.2,从而得出答案；

(3)把ADMC绕点C逆时针旋转90。得到^BHC.连接GH.先证AMCG=AWCG得

MG=HG,由BG:MG=3:5可设BG=3a,贝ijMG=G”=5a,继而知3〃=4“，MD=4a,

由ZW+MG+8G=I2a=6夜得。=变，知BG=£^,MG=—,vE/SMGC^^NGB^

222

—.从而得出答案.

GBNG

【解答】解：(1)如图①，过M分别作ME//A8交3c于石，MF//BC交AB于F,

图①

则四边形班MF是平行四边形，

四边形ABCD是正方形，

.-.ZABC=90°,ZABD=Z.CBD=ZBME45°,

:.ME=BE,

・•・平行四边形BEMF是正方形,

,•.ME=MF，

,CM1,MN,

:.NCMN=900,

NFME=90°,

:"CME=/FMN,

AMFN=^MEC(ASA),

:.MN=MC；

(2)由(1)得EW/MD,EM//CD,

.AFCEDM2

~AB~~BC~^D~'5'

.,.AF=2.4,CE=2.4,

M^IFN=J\MEC，

:.FN=EC=2A,

••.4V=4.8,BV=6-4.8=1.2,

：.AN=4BN；

(3)如图②，把ADMC绕点。逆时针旋转90。得到ABAC,连接G”，

^DMC=ABHC,ZBCD=90°,

:.MC=HC,DM=BH,ZCDM=ZCBH,ZDCM=ZBCH=45。,

=ZMS=90o,

MC=MN,MCLMN,

.•.AM?VC是等腰直角三角形，

；.ZMNC=45。,

:.ZNCH=45°f

AMCG=AHCG(SAS),

:.MG=HG,

BG:MG=3:5,

设8G=3a,贝ljMG=G〃=5a,

在RtABGH中，BH=4a,则例£)=4〃，

正方形ABC。的边长为6,

/.BD=65/2,

:.DM+MG+BG=\2a=6五,

,一叵

..u,——，

2

.3夜50

..BG=-----,MG=-------,

22

ZMGC=ZNGB,ZMNG=NGBC=45。,

:.^MGCs^NGB,

.GCMG

而一而‘

CG.NG=BG，MG=—.

2

【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的判定与性质、等腰直角

三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点.

29.(10分)已知抛物线＞=以2+法+3的对称轴为直线彳=；,交x轴于点A、B,交y轴

于点C,且点A坐标为A(-2,0).直线y=Tnr-,〃(机＞0)与抛物线交于点P、Q(点P在

点Q的右边)，交y轴于点

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若〃=-5,且ACP。的面积为3,求机的值；

(3)当机关1时，若”=一3加，直线AQ交)，轴于点K.设APQK的面积为S,求S与机之

间的函数解析式.

备用图

【考点】HF-.二次函数综合题

【分析】(1)将点A(-2,0)代入解析式，对称轴为》=-2=_1,联立即可求。与匕的值；

2a2

(2)设点。横坐标M，点、P的横坐标&，则有石＜£，联立y二一771V+5，y=-^x2+；x+3

根据韦达定理可得X[+毛=2m+1，X1%2=4，由面积之间的关系：SCAPQ=SACHP-S&CHQ，可

求加的值;

(3)当〃=一3机时，P。解析式为y=-如+3机，联立有：一〃a+3m=-3工2+；x+3,解得

x=3^x=2m-2；由条件可得尸(3,0),。(2加一2,-2加+5”)，K(0,5—2m),所以有

HK^5m-5\=5\m-\\^

①当Ovmvl时，HK=5-5m,

]13525

S"OK=S"HK+SAQHK=/XHK(X._q)=]X(5_5〃Z)(5-2m)=5nV+,

2

②当1<加<士时,，HK=5m-5,S.POK=-5m+—m~~,

2Q22

③当26-2>3时，如图③，有=—xypl='|(2w2—5m)=3m2~~m,

【解答】解：3)将点A(-2,0)代入解析式，得4«-%+3=0,

b1

X=---=—，

2a2

1,1

：.a=——，b=—;

22

y=—J4—x+3;

22

(2)设点。横坐标大，点。的横坐标Z，则有XV马，

把〃=-5代入y=-mx-n,

/.y=-mx+5,

联立y=-mx+