2022年中考数学复习：开放探究题

2022年中考数学复习：开放探究题

I.如图，在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,CD是中线，一个以点D为顶

点的45。角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F,

DF与AC交于点M,DE与BC交于点N.

(1)如图1,若CE=CF,求证：DE=DF.

(2)在NEDF绕点D旋转过程中：

①如图2,探究三条线段AB、CE、CF之间的数量关系，并说明理由；

②若AB=4拉，CE=2CF,求DN的长.

2.如图1,在正方形ABCDA3CD中，A5=8AB=8,点EE在ACAC1上，且AE=20，

AE=2/过E点作于点E,交AB于点F,连接CF,DE.

【问题发现】

(1)线段。E与。尸的数量关系是，直线DE与CF所夹锐角的度数是

【拓展探究】

（2）当A4铲绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2

给出证明；若不成立，请说明理由；

【解决问题】

（3）在（2）的条件下，当点E到直线A力的距离为2时，请直接写出CF的长.

3.【问题探究】在等边三角形A8C中，。于。，AB=2.

（1）如图①，点E为AO的中点，则点E到AB的距离为；

（2）如图②，点M为AD上一动点，求;AM+例C的最小值.

【问题解决】如图③，A8两地相距600km,AC■是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条

铁路，点8到AC1的距离为360km.今计划在铁路线AC1上修一个中转站A7,再在8"间

修一条笔直的公路.如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通

过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在使AM=—

（千米）处.

4.如图1所示，边长为4的正方形A8CD与边长为。（1＜。＜4）的正方形CFEG的顶点C重

合，点E在对角线AC上.

【类比探究】如图2所示，将正方形CEEG绕点C旋转，旋转角为a（O<av3O。），请问此

时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由;

【拓展延伸】若点尸为8c的中点，且在正方形CFEG的旋转过程中，有点A、F、G在一

条直线上，直接写出此时线段AG的长度为

5.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.

【探究1】：如图1,在AABC中，O是NABC与NACB的平分线B0和CO的交点，通过

分析发现/BOC=90o+g/A,（请补齐空白处）

理由如下：:下。和CO分别是/ABC和/ACB的角平分线，

.*.Z1=1ZABC,,

在AABC中，ZA+ZABC+ZACB=180°.

.,.Nl+N2=g(ZABC+ZACB)(180°-ZA)=90°-yZA,

/.ZBOC=180°-(Z1+Z2)=180°—()=90°+yZA.

【探究2】：如图2,己知O是外角/DBC与外角NECB的平分线BO和CO的交点，则

NBOC与/A有怎样的关系？请说明理由.

【应用】：如图3,在RtAAOB中，ZAOB=90°,已知AB不平行与CD,AC、BD分别是

NBAO和/ABO的角平分线，又CE、DE分别是/ACD和/BDC的角平分线，贝U

/E=；

【拓展】：如图4,直线MN与直线PQ相交于O,NMOQ=60。，点A在射线OP上运动，

点B在射线OM上运动，延长BA至G,已知/BAO、NOAG的角平分线与NBOQ的角

平分线及其延长线交于E、F,在AAEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则

ZABO=.

6.已知：三角形ABC中，ZA=90°,AB=AC,。为BC的中点，

(1)若点E,尸分别是A8,AC的中点，判断ADE尸的形状并说明理由;

图1

(2)如图，E,尸分别是48,AC上的点，且8E=AF,试说明ADEF是直角三角形;

图2

(3)若E,尸分别为AB,G4延长线上的点，仍有BE=AF,其他条件不变，(1)(2)中

的结论是否成立？直接写出结论.

BDC

£图3

7.(1)问题背景：

如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E,F分别

是BC,CD上的点，且/EAF=60。，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.

小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连结AG,先证明AABE三

△ADG,再证明AAEFMAAGF,可得出结论，他的结论应是.

(2)探索延伸：

如图2,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分别是BC,CD上的点,

ZEAF=yZBAD,上述结论是否依然成立？并说明理由.

8.问题呈现：己知等边三角形A5C边BC的中点为点。，ZEDF=120°,NEDF的两边分

别交直线AB,AC于点E,F,现要探究线段BE,CF与等边三角形4BC的边长BC之

间的数量关系.

G

AE

A

图

1图2图3

(1)特例研究：如图1,当点E,F分别在线段AB,AC上，且。E_LAB,DFLAC

时，请直接写出线段的,CT与8c的数量关系:

(2)问题解决：如图2,当点E落在射线BM上，点F落在线段AC上时，(1)中的结论

是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段8E,CF与等边三角形A8C的边长8c之间

的数量关系:

(3)拓展应用：如图3,当点E落在射线54上，点F落在射线AC上时，若C£>=0，

NCDF=45°sinNCFD=，请直接写出BE的长和此时&DEF的面积.

4

9.如图，在矩形ABCD中，E为CD上一点，将AADE沿直线AE翻折，使点D落在BC

(1)如图1,求证：ACD'E-^BAD；

(2)如图2,F为AD上一点，且〃尸=C£>',EF与BD相交于点G,试探究EF与BD的

位置关系，并说明理由;

(3)设4y与BD相交于点H,在(2)的条件下，若DE//BD,HG=2,求BD的长.

10.综合与实践

问题情境：^ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AD_LBC于点D,点E是射线AD上的一个

动点(不与点A重合)将线段AE绕点A顺时针旋转90。得到线段AF,连接CF交线段AB

于点G,交AD于点H、连接EG.

图1图2图3

特例分析：

⑴如图1,当点E与点D重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：

①求证：AF=CD；

②用等式表示线段CG与EG之间的数量关系为：；

拓展探究：

(2)如图2,当点E在线段AD的延长线上，且DE=AD时，“博睿”小组发现CF=2EG.请你

证明；

(3)如图3,当点E在线段AD的延长线上，且AE=AB时，段的值为;

推广应用：

(4)当点E在射线AD上运动时，41=-,则分的值为_____用含m.n的式子表示).

ADnCF

11.如图1,在菱形ABCD中，AO=4,NB=120°,点E,F分别是AC,AB上的点，且

AE=^AD,AF=2y/3,猜想：

DF

①行:的值是:

②直线DE与直线CF所成的角中较小的角的度数是.

(2)类比探究：如图2,将绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，(1)中结论是否

成立，就图2的情形说明理由.

(3)拓展延伸：

在尸绕点A旋转的过程中，当2瓦户三点共线时，请直接写出CF的长.

12.问题发现：⑴如图1,AMC与AOCE同为等边三角形，连接8aAE则如与AE的

数量关系为;直线8。与AE所夹的锐角为；

类比探究：(2)△ABC与AOCE同为等腰直角三角形，其他条件同(1),请问(1)中的

结论还成立吗？请说明理由；

拓展延伸：(3)AABC中NBAC'=90°,ZC=30°,为AAfiC的中位线，将△()£绕点C

逆时针自由旋转，已知4?=2,在自由旋转过程中，当A、D、E在一条直线上时，请直接

写出AD的值.

AA

图1C」5图2cE

13.在AABC中，CA=CB,NACB=a(0<a<180).点P是平面内不与A,C重合的任

意一点，连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段。尸，连接AO,CP点M是

A3的中点，点N是A0的中点.

(1)问题发现，如图1,当a=60时，主的值是,直线MN与直线PC相交

所成的较小角的度数是__________」

(2)类比探究，如图2,当a=120时，请写出翳的值及直线MN与直线PC相交所成

的较小角的度数，并就图2的情形说明理由；

(3)解决问题，如图3,当a=90时，若点E是C3的中点，点P在直线ME上，

MN=O,请直接写出点8,P,。在同一条直线上时的长.

14.【方法回顾】

(1)如图1,过正方形A8CD的顶点A作一条直线/交边BC于点P,于点E,

。尸，AP于点凡若。尸=2.5,BE=1,则£：尸=

【问题解决】

(2)如图2,菱形ABC。的边长为1.5,过点A作一条直线/交边BC于点P,且ND4P=

90。，点尸是AP上一点，且/区4£)+/4尸。=180。，过点8作BEL48,与直线/交于点

E,若EF=1,求BE的长.

【思维拓展】

(3)如图3,在正方形ABC。中，点P在A。所在直线上的上方，AP=2,连接P8,

PD,若ABA。的面积与△匕的面积之差为机(相＞0),贝IJPB2-P。2的值为.(用

含m的式子表示)

15.(1)问题发现：如图1,在△A8C中和△OCE中，AB=AC,DC=DE,

NBAC=NCDE=60°,点。是8c的垂线AF上任意一点.填空：

An

①。7的值为_______；

BE

②NABE的度数为.

(2)类比探究：如图2,在△ABC中和△OCE中，ABAC^ZCDE=90°,

AF)

NA3C=NDEC=30。，点。是8c的垂线AF上任意一点.请判断钎的值及NABE的度

BE

数，并说明理由；

(3)拓展延伸：在(2)的条件下，若AB=也,CD=2,请直接写出BE的长.

3

16.△ABC中，ZBAC=a°,AB=AC,D是BC上一点，将AD绕点A顺时针旋转a。，得

到线段AE,连接BE.

(1)【特例感知】如图1,若a=90,则BD+BE与AB的数量关系是.

(2)【类比探究】如图2,若a=120,试探究BD+BE与AB的数量关系，并证明.

(3)【拓展延伸】如图3,若a=120,AB=AC=4,BD=孚，Q为BA延长线上的一点,

将QD绕点Q顺时针旋转120°,得到线段QE,DE1BC,求AQ的长.

17.(1)问题发现:如图(1),在△O4B和4。。。中，04=08,0C=0D,NA0B=

AC

NCOO=36。，连接AC,BD交于点M.①而的值为；②NAMB的度数

为;

(2)类比探究：如图(2),在A0A8和△OCO中，ZAOB=ZCOD=90°,ZOAB=

ZOCD=30°,连接AC,交8。的延长线于点M.请计算一匕的值及/AM8的度数.

BD

(3)拓展延伸:在(2)的条件下，将AOCO绕点。在平面内旋转，AC,8。所在直线交于

点M.若。。=1,0B=岳,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.

18.(1)如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC,

以DC为边，在BC上方作等边△DCF,连接AF,你能发现AF与BD之间的数量关系

吗？并证明你发现的结论；

(2)如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与(1)相同，猜

想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；

(3)I.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与B不重合)，连接

DC,以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF,连接AF,BF,探究

AF,BF与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；

II.如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，

1中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论.

19.问题提出

(1)如图1,已知三角形ABC,请在BC边上确定一点。，使得4)的值最小.

问题探究

(2)如图2,在等腰“BC中，