第五章知识资料材料力学（十七）

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第九节 压杆稳定细长压杆的临界力——欧拉公式欧拉公式如下式中E——压杆材料的弹性模量；I——截面的主惯性矩；μ——长度系数；μl——压杆失稳时挠曲线中一个“半波正弦曲线”的长度，称为相当长度，此相当长度等于压杆失稳时挠曲线上两个弯矩零点之间的长度。常用的四种杆端约束压杆的长度系数μ；(1)一端固定、一端自由，μ=2;(2)两端铰支，μ=1；(3)一端固定、一端铰支，μ=0.7；(4)两端固定，μ=0.5。工程实际中压杆的杆端约束往往比较复杂，不能容易地将它归于哪一类，要对其作详细分析，从而定出与实际较临近的μ值。例21-端固定，一端弹性支承的细长压杆如图所示，其长度系数的范围应为。A.0.5≤μ≤2B.0.7≤μ≤2 C.o.5≤p≤1D.0.7≤μ≤1解：从常用的四种杆端约束压杆的长度系数μ的值可看出，杆端的约束越强，μ值越小（压杆的临界力越大）。图所示压杆的杆端约束比一端固定、一端自由时(μ=2)强，但又比一端固定、一端铰支时(μ=0.7)弱，故0.7≤μ≤2，即为B的范围。2016--70真题真题两端铰支细长（大柔度）压杆，在下端铰链处增强一个扭簧弹性约束，如图所示，该压杆的长度系数μ的取值范围是（）。（A）0.7＜μ＜1（B）2＞μ＞1（C）0.5＜μ＜0.7（D）μ＜0.5提醒：从常用的四种杆端约束的长度系数μ的值可看出，杆端约束越强，μ值越小，而杆端约束越弱，则μ值越大。本题图中所示压杆的杆端约束比两端铰支压杆（μ=1）强，又比一端铰支、一端固定压杆（μ=0.7）弱，故0.7＜μ＜1，即为（Α）的范围。答案：（Α）例(2009年真题)两根彻低相同的细长（大柔度）压杆AB和CD如图所示，杆的下端为固定铰链约束，上端与刚性水平杆固结。两杆的弯曲刚度均为EI，其临界载荷Fa为。提醒：从常用的四种杆端约束的长度系数μ的值可看出，杆端约束越强，μ值越小，而杆端约束越弱，则μ值越大。本题图中所示压杆的杆端约束比两端铰支压杆（μ=1）强，又比一端铰支、一端固定压杆（μ=0.7）弱，故0.7＜μ＜1，即为（Α）的范围。答案：（Α）解：图示结构的临界载荷应该是使压杆AB和CD同时到达临界载荷，也就是压杆AB(或CD)临界载荷的两倍：故有答案：B（2011年、2017年真题）一端固定一端自由的细长（大柔度）压杆，长为L（图a），当杆的长度减小一半时(图Vb)，其临界载荷Fcr比本来增强()。(A)4倍(B)3倍(C)2倍(D)1倍提醒：由压杆临界载荷公式可知，与杆长的平方成反比，故杆长变为一半时，临界力则是本来的4倍，比本来增强了3倍。答案：(B)二、临界应力、柔度、欧拉公式的适用范围（一）临界应力、柔度其中式中i——惯性半径，它是反映截面形状和尺寸的一个几何量；λ——压杆的柔度，又称为长细比，它是一个无量纲量，它综合地反映了杆长、杆端约束以及截面形状和尺寸对临界应力的影响。可见，柔度λ是一个极其重要的量。（二）临界应力总图、欧拉公式的适用范围按照压杆的柔度值可将所有压杆分为三类：λ≥λP的压杆为细长杆或大柔度杆，其临界应力可按欧拉公式计算；λS<λ<λP的压杆为中长杆或中柔度杆，其临界应力可按经验公式σcr=a-bλ算；λ≤λS的压杆则为短杆或小柔度杆，应按强度问题处理，用σcr=σS来计算其临界应力。图表示出这三种压杆的临界应力σcr随柔度λ的变化关系，称为临界应力总图，由图中可以看到欧拉公式的使用条件是，亦即中长杆与短杆的柔度分界值为（a、b是由实验得到的材料常数）【真题解析】5—84（2006年真题）在材料相同的条件下，随着柔度的增大，。(A)细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是(B)中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是(c)细长杆和中长杆的临界应力均是减小的(D)细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的解：不同压杆的临界应力总图如图所示。图中AB段表示短杆的临界应力，BC段表示中长杆的临界应力，CD段表示细长杆的临界应力。从图中可以看出，在材料相同的条件下，随着柔度的增大，细长杆和中长杆的临界应力均是减小的。答案：(c)

三、压杆的稳定计算（一）安全系数法式中P——压杆所受的实际轴向压力；Pcr——压杆的临界力；nst——压杆的工作稳定安全系数；[nst]——规定的稳定安全系数。（二）折减系数法（土建结构规范中常用）式中[σ]——强度许用应力；A——压杆横截面面积；[σst]——稳定许用应力；φ——[σst]与[σ]的比值，称为折减系数，是一个小于1的系数，其值可按照有关材料的φ—λ关系曲线或折减系数表查得，或由经验公式算得。对折减系数表中没有的非整数λ开对应的φ值，可用线性插值公式计算式中λ1、λ2——整数的柔度；φ1、φ2——分离为λ1、λ2所对应的折减系数。利用式(5-87)、式(5-88)两个稳定条件，除了可用来对压杆的稳定性举行校核，决定压杆的允许荷载外，还可用试算法决定压杆的截面尺寸。若压杆横截面上两个形心主惯性轴方向μ和i各不相同，则应用公式分离计算λy和λz，求出最大柔度λmax作为计算的根据。四、提高压杆稳定性的措施(1)减小压杆长度l，或在压杆的中间增强支承。(2)改善杆端约束，使长度系数μ值减小。(3)挑选合理的截面形状：1)尽可能将材料分布的离截面形心较远，以增大惯性矩I。2)尽可能使压杆在两个形心主惯性平面内有相等或相近的稳定性，即λy≈λz。(4)合理选用材料。对大柔度杆，在弹性模量E值相同或相近的材料中，没有须要选用高强度钢。对中柔度杆和小柔度杆，选用高强度钢能提高其稳定性。